Lois de Kirchhoff : nœuds, mailles et exercices corrigés

En physique, les lois de Kirchhoff sont deux règles qui permettent de calculer les intensités et les tensions dans un circuit électrique : la loi des nœuds pour les courants et la loi des mailles pour les tensions. Dans cette fiche, on te donne les définitions, les formules, une méthode pas à pas et deux exercices corrigés. Besoin d’un coup de pouce ? Tu peux aussi prendre des cours de physique avec un de nos professeurs. Tu es prêt, jeune physicien ? C’est parti ! ⚡

💡 En bref

Les lois de Kirchhoff, établies en 1845, servent à calculer les courants et les tensions d’un circuit. La loi des nœuds dit que la somme des intensités qui arrivent à un nœud égale la somme de celles qui en repartent. La loi des mailles dit que, dans une boucle orientée, la somme algébrique des tensions est nulle.

Les lois de Kirchhoff, kézako ? 🤔

Il existe deux lois de Kirchhoff : la loi des nœuds, qui relie les intensités des courants, et la loi des mailles, qui relie les tensions. Elles s’appliquent aux circuits électriques usuels, même avec plusieurs branches, et permettent de calculer une intensité ou une tension qu’on ne connaît pas encore.

Pourquoi deux lois ? Parce qu’on étudie deux grandeurs dans un circuit, l’intensité et la tension : l’intensité se répartit aux nœuds, alors que les tensions s’additionnent le long des mailles.

💡 Elles portent le nom du physicien allemand Gustav Robert Kirchhoff, qui les a établies en 1845. La loi des nœuds traduit la conservation de la charge électrique, la loi des mailles l’additivité des tensions. En pratique, on les utilise avec la loi d’Ohm, qu’on te conseille vivement de connaître si ce n’est pas déjà fait. 🏃

Notions à connaître 🧐

Avant d’entrer dans le vif du sujet, on te fait le point sur les notions à maîtriser.

👉 Circuit électrique

Un circuit électrique est un chemin fermé par lequel circule le courant. Il est composé de fils conducteurs, d’un générateur, de récepteurs, etc.

👉 Générateur

Un générateur est un dispositif qui fournit de l’énergie électrique comme une pile.

👉 Récepteur

Un récepteur est un composant d’un circuit électrique qui utilise l’énergie électrique fournie par le générateur comme une résistance, une lampe ou encore un moteur.

👉 Dipôle

Un dipôle est un composant qui possède deux bornes, comme une pile, une résistance ou une lampe. Dans les circuits qu’on étudie en cours, un dipôle est un générateur ou un récepteur.

👉 Branche

Une branche est une portion de circuit comprise entre deux nœuds (les points où se rejoignent au moins trois fils). Elle contient un ou plusieurs dipôles placés en série, donc la même intensité la traverse sur toute sa longueur.

👉 Intensité

L’intensité (I) correspond au débit de charges électriques : c’est la quantité de charges qui traverse une section du fil en une seconde. Elle se mesure avec un ampèremètre, branché en série, et s’exprime en ampère (A).

Exemple : I = 0,3 A

👉 Tension

La tension correspond à la différence de potentiel électrique entre deux points d’un circuit.

On la note U et elle s’exprime en volt (V). Elle se mesure avec un voltmètre, branché en dérivation :

Exemple : U=5V

👉 Résistance et loi d’Ohm

Une résistance (R) s’exprime en ohm (Ω). Aux bornes d’une résistance, la tension est proportionnelle à l’intensité : U = R × I (loi d’Ohm). Par exemple, avec R = 2Ω et I = 3A, on obtient U = 2 × 3 = 6V.

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Première loi de Kirchhoff : la loi des nœuds 🪢

La loi des nœuds relie les intensités des courants autour d’un point de jonction : tout le courant qui arrive à un nœud en ressort. Elle traduit le fait que la charge électrique ne s’accumule pas et s’écrit I_entrants = I_sortants.

🤔 Un nœud, c’est quoi ?

Un nœud est un point du circuit où se rejoignent au moins 3 fils.

Un nœud plus compliqué 😬

Énoncé de la loi des nœuds

La somme des intensités des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des intensités qui repartent. On peut aussi l’écrire autrement : la somme algébrique des intensités est nulle, en comptant positivement les courants qui arrivent et négativement ceux qui repartent.

Application de la loi des nœuds

💡 Rappel

Le courant électrique ne peut pas s’accumuler. Donc ce qui entre, ressort forcément.

Ici le courant $i_1$ arrive et repart en $i_2$ et $i_3$ .

Et donc $i_1=i_2+i_3$

Ici le courant arrive en $i_2$ et $i_3$ et repart en $i_1$ .

On a donc $i_2+i_3=i_1$

Exemple avec un nœud à quatre branches

Un nœud peut avoir quatre branches ou plus, la loi ne change pas. Imagine que 2A et 1A arrivent à un nœud et que 2,5A en repart par une troisième branche. Pour la quatrième branche, la loi des nœuds donne 2 + 1 = 2,5 + I, donc I = 0,5A. Ce courant repart du nœud, puisque le résultat est positif. Un résultat négatif signalerait que le courant circule en réalité dans l’autre sens.

Fais attention au sens des flèches : seul ce sens indique si un courant arrive ou repart. La position du fil sur un schéma (à gauche ou à droite du nœud) n’a aucune importance.

Deuxième loi de Kirchhoff : la loi des mailles ➰

La loi des mailles dit que, dans une maille orientée, la somme algébrique des tensions est nulle. Elle est utilisée dans les circuits électriques pour calculer une tension inconnue à partir des autres tensions de la boucle, que la maille contienne un générateur ou non.

💡 Une maille, c’est quoi ?

Une maille est un parcours fermé dans le circuit qui forme une boucle sans passer 2 fois par le même point.

Énoncé de la loi des mailles

Dans une maille orientée, la somme algébrique des tensions est nulle : ΣU = 0.

Une maille (ou boucle) est un parcours fermé dans un circuit, qui ne passe qu’une seule fois par chaque nœud. Elle ne contient pas forcément un générateur : une maille sans générateur donne, elle aussi, une équation utile.

🤔 Orienter une maille, ça veut dire quoi ?

Pour orienter une maille, on choisit librement un sens de parcours dans la maille, puis on fait la somme algébrique en comptant chaque tension positivement si sa flèche est dans le sens de parcours choisi, négativement sinon.

Application de la loi des mailles 📋

On prend l’exemple d’un circuit à une seule maille : un générateur et trois récepteurs placés en série, avec les points A, B, C et D.

Étape 1 : tu indiques le sens du courant de la borne positive à la borne négative.

Étape 2 : tu orientes la maille librement : ici dans le sens ABCDA, qui est celui du courant.

Étape 3 : tu indiques les tensions U.

🤔 Comment fait-on ?

👉 Pour un générateur, la tension est orientée dans le même sens que l’intensité du courant. Donc U_G suit le sens de la boucle.

👉 Pour un récepteur, la tension est orientée dans le sens inverse à celui de l’intensité du courant. U₁, U₂ et U₃ vont dans le sens inverse de la boucle.

Étape 4 : on applique la loi des mailles en faisant la somme algébrique. Si la flèche de la tension et la flèche de la boucle de courant sont dans le même sens, on met un signe +, si elles sont dans le sens inverse, on met un signe −.

Maille ABCDA : $U_G-U_1-U_2-U_3=0$

Avec des valeurs : si le générateur délivre U_G = 12V, que U₁ = 3V et U₂ = 4V, alors U₃ = U_G − U₁ − U₂ = 12 − 3 − 4 = 5V.

Récapitulatif : loi des nœuds et loi des mailles 📊

Le tableau ci-dessous résume ce qu’il faut retenir sur les deux lois de Kirchhoff : la grandeur qu’elles concernent, leur énoncé, leur formule et le principe physique sur lequel elles reposent. Tu peux t’en servir comme fiche de révision avant un contrôle ou un exercice.

Critère	Loi des nœuds (1re loi)	Loi des mailles (2e loi)
Grandeur concernée	Intensité I (en ampère)	Tension U (en volt)
Où l’appliquer	En un nœud (au moins 3 fils)	Dans une maille (boucle fermée)
Énoncé	Somme des intensités qui arrivent = somme des intensités qui repartent	Somme algébrique des tensions = 0 dans une maille orientée
Formule	I_entrants = I_sortants	ΣU = 0
Exemple	i₁ = i₂ + i₃	U_G − U₁ − U₂ − U₃ = 0
Principe physique	Conservation de la charge électrique	Additivité des tensions (conservation de l’énergie)

Comment résoudre un circuit avec les lois de Kirchhoff ? 🧩

Pour résoudre un circuit, on écrit la loi des nœuds et la loi des mailles, puis on relie chaque tension à l’intensité avec la loi d’Ohm. Le système d’équations obtenu donne toutes les intensités et toutes les tensions. On procède en cinq étapes, toujours dans le même ordre.

Repère les nœuds et les branches, puis donne un nom et un sens à l’intensité de chaque branche.
Écris la loi des nœuds. Dans un circuit à deux nœuds, une seule équation suffit : celle du second nœud dit exactement la même chose.
Choisis des mailles, oriente-les, puis indique les tensions : sur chaque dipôle, la flèche de tension d’un générateur est dans le sens de la flèche d’intensité, celle d’un récepteur est dans le sens inverse.
Écris la loi des mailles pour chaque maille choisie, avec un signe + si la tension est dans le sens de la boucle et un signe − sinon.
Remplace chaque tension de résistance par R × I, résous le système, puis vérifie le résultat avec une autre équation.

Il faut autant d’équations que d’inconnues. Un circuit qui compte b branches et n nœuds a b − n + 1 mailles indépendantes : inutile d’écrire une maille qui se déduit déjà des autres.

Série et dérivation 🔌

Les lois de Kirchhoff expliquent les règles des circuits en série et en dérivation. En série, la même intensité traverse tous les dipôles et la loi des mailles donne U = U₁ + U₂. En dérivation, la tension est la même aux bornes de chaque branche et la loi des nœuds donne I = I₁ + I₂. Avec la loi d’Ohm, on en déduit les résistances équivalentes : R = R₁ + R₂ en série et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ en dérivation.

Exercice ✍️

À toi de jouer maintenant !

Soit un circuit électrique avec un générateur de tension de 6 volts et 3 récepteurs $R_1$ , $R_2$ et $R_3$ qui ont une résistance de $1\Omega$ ( $R_1=R_2=R_3=1\Omega$ )
On sait que pour une résistance $U=R\times{i}$ (loi d’Ohm).

Détermine la tension $U_3$ et les intensités $i_3$ ainsi que $i_2$

Voici le circuit : R₁ et R₂ sont dans la même branche, l’une derrière l’autre, et R₃ est dans une autre branche, en dérivation. Le générateur est dans une troisième branche, entre les mêmes deux nœuds, ce qui donne trois branches et deux mailles à étudier. Les courants sont notés i₁ (dans le générateur), i₂ (dans R₁ et R₂) et i₃ (dans R₃). Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé !

Corrigé 💯

Étape 1 : tu identifies les nœuds et les mailles du circuit.

Il y a deux nœuds, aux deux points où la branche de R₃ rejoint le reste du circuit, et deux mailles : celle du générateur et de R₃, puis celle de R₁, R₂ et R₃.

Étape 2 : tu marques le sens du courant ( $i_1$ , $i_2$ et $i_3$ ) du sens positif vers le sens négatif. Quand il y a un nœud, tu sépares le courant. Pour le premier nœud, $i_1$ entre dans le nœud et $i_2$ et $i_3$ ressortent du nœud. Pour le second nœud, $i_2$ et $i_3$ entrent et $i_1$ ressort.

Selon la loi des nœuds : $i_1=i_2+i_3$

Étape 3 : tu définis les tensions $U_3$ , $U_2$ et $U_1$ .

Selon la loi des mailles : $U_3-6V=0$ => $U_3=6V$

$U=R\times{i}$

$U_3=R_3\times{i_3}$

$i_3=\frac{U_3}{R_3}=\frac{6}{1}=6A$

Selon la loi des mailles : $U_1+U_2-U_3=0$ => $U_1+U_2=U_3=6V$
$R_1\times{i_2}+R_2\times{i_2}=i_2(R_1+R_2)=i_2(1\Omega+1\Omega)=i_2\times2\Omega=6V$

$i_2=\frac{6}{2}=3A$

Étape 4 : tu vérifies. Selon la loi des nœuds, i₁ = i₂ + i₃ = 3 + 6 = 9A. Les tensions sont U₁ = U₂ = 1 × 3 = 3V, donc U₁ + U₂ = 6V = U₃, ce qui confirme la loi des mailles. Avec la résistance équivalente, on retrouve le même résultat : R₁ + R₂ = 2Ω, en dérivation avec R₃ = 1Ω, donne R = (2 × 1) ÷ (2 + 1) = 2/3Ω, donc i₁ = 6 ÷ (2/3) = 9A.

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Deuxième exercice : à toi de jouer ✍️

Un générateur de 12V alimente un circuit. Une résistance R₁ = 4Ω est branchée à sa sortie, en série avec un groupe de deux résistances en dérivation : R₂ = 6Ω et R₃ = 3Ω. Pour t’entraîner, dessine d’abord le circuit : le courant i₁ traverse R₁, puis se partage entre R₂ et R₃.

Détermine l’intensité i₁ fournie par le générateur, la tension U₁ aux bornes de R₁, puis les intensités i₂ et i₃ dans R₂ et R₃.

Corrigé du deuxième exercice 💯

Étape 1 : tu écris la loi des nœuds. Le courant i₁ arrive au nœud où se rejoignent R₁, R₂ et R₃, puis repart en i₂ et i₃. On a donc i₁ = i₂ + i₃.

Étape 2 : tu écris la loi des mailles. Dans la maille du générateur, de R₁ et de R₂ : 12 − U₁ − U₂ = 0. Dans la maille de R₂ et de R₃, branchées entre les deux mêmes nœuds : U₂ − U₃ = 0, donc U₂ = U₃.

Étape 3 : tu appliques la loi d’Ohm, U₁ = 4 × i₁, U₂ = 6 × i₂ et U₃ = 3 × i₃. Comme U₂ = U₃, on a 6 × i₂ = 3 × i₃, donc i₃ = 2 × i₂. Alors i₁ = i₂ + 2 × i₂ = 3 × i₂.

Étape 4 : tu résous. La maille du générateur donne 12 = 4 × i₁ + 6 × i₂ = 4 × 3 × i₂ + 6 × i₂ = 18 × i₂, donc i₂ = 12 ÷ 18 = 2/3A, soit environ 0,67A. On en déduit i₃ = 4/3A (environ 1,33A), i₁ = 2A et U₁ = 4 × 2 = 8V.

Étape 5 : tu vérifies. U₂ = U₃ = 6 × 2/3 = 4V, donc 12 − 8 − 4 = 0 et i₂ + i₃ = 2/3 + 4/3 = 2A = i₁. Les deux lois sont bien respectées.

Erreurs à éviter avec les lois de Kirchhoff ⚠️

Les erreurs sur les lois de Kirchhoff viennent le plus souvent des signes et des sens, pas des calculs. Avant d’écrire une équation, vérifie toujours le sens des flèches du courant et des tensions, puis relis les points ci-dessous une fois ton exercice terminé.

Se fier à la position des fils au lieu du sens des flèches pour écrire la loi des nœuds.
Mélanger les signes dans la loi des mailles : une tension dans le sens de la boucle est comptée +, en sens inverse elle est comptée −.
Oublier la tension du générateur dans l’équation d’une maille qui le contient.
Confondre nœud, branche et maille : un nœud est un point, une branche relie deux nœuds, une maille est une boucle fermée.
Croire qu’un résultat négatif est une erreur : il indique seulement que le sens choisi au départ est l’inverse du sens réel.
Oublier les unités ou les mélanger : l’intensité est en ampère (A), la tension en volt (V) et la résistance en ohm (Ω).

Jusqu’où les lois de Kirchhoff sont-elles valables ? 🔬

Les lois de Kirchhoff s’appliquent aux circuits en courant continu, c’est-à-dire quand les intensités et les tensions ne varient pas dans le temps. Elles restent valables quand le courant varie dans l’approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), c’est-à-dire quand le temps de propagation du signal dans le circuit est négligeable devant sa période, et si le flux magnétique qui traverse la maille varie très peu.

Voilà, notre fiche de cours sur les lois de Kirchhoff touche à sa fin. On espère qu’elle t’aura aidé à mieux comprendre la loi des nœuds et la loi des mailles. Si tu rencontres encore des difficultés, n’hésite pas à prendre des cours particuliers de physique en ligne avec un de nos professeurs. Tiens-nous au courant ! 😬

FAQ

Quelles sont les deux lois de Kirchhoff ?

Ce sont la loi des nœuds et la loi des mailles. La première dit que ce qui arrive à un nœud en repart : la somme des intensités entrantes vaut celle des intensités sortantes. La seconde dit que la somme algébrique des tensions dans une maille est nulle.

Quelle est la différence entre un nœud et une maille ?

Un nœud est un point où se rejoignent au moins trois fils, alors qu’une maille est un parcours fermé qui revient à son point de départ. Le nœud sert à comparer des intensités, la maille sert à additionner des tensions.

Qu’est-ce qu’une branche en électricité ?

Une branche est une portion de circuit placée entre deux nœuds. Elle contient un ou plusieurs dipôles en série, donc la même intensité la traverse sur toute sa longueur.

Quelles sont les formules des lois de Kirchhoff ?

Pour la loi des nœuds, I entrants = I sortants, par exemple i1 = i2 + i3. Pour la loi des mailles, la somme des tensions est nulle le long d’une maille orientée, par exemple UG − U1 − U2 − U3 = 0 pour un générateur et trois récepteurs en série.

Faut-il connaître la loi d’Ohm pour utiliser les lois de Kirchhoff ?

Oui, pour résoudre un circuit en pratique. Les lois de Kirchhoff donnent des relations entre les intensités et entre les tensions, et la loi d’Ohm U = R × I relie la tension à l’intensité pour chaque résistance.

Quelles sont les 4 lois de l’électricité ?

Cette expression n’a pas de définition officielle. On cite le plus souvent la loi d’Ohm, la loi de Joule, la loi des nœuds et la loi des mailles.