Le développement du calcul différentiel et intégral
Newton est largement crédité pour l'invention du calcul différentiel et intégral, bien que ce mérite soit partagé avec son contemporain Leibniz. Cette avancée mathématique a été essentielle dans plusieurs branches de la physique et de l'ingénierie.
Calcul différentiel
Le calcul différentiel implique l'analyse des variations instantanées dans des fonctions. Les concepts de dérivées et de tangentes se trouvent au cœur de cette discipline. Par exemple, pour déterminer la vitesse d'un objet à n'importe quel point donné, on peut appliquer le calcul différentiel pour trouver la dérivée de sa fonction position par rapport au temps.
- Dérivée : La dérivée d'une fonction spécifique à un point mesure la pente de la courbe représentant la fonction en ce point.
- Tangente : Trouver la tangente à une courbe en un certain point est une application directe du calcul différentiel.
Newton a montré comment les changements infinitésimaux pouvaient être utilisés pour décrire le mouvement uniforme et non uniforme, créant ainsi un lien direct entre le calcul différentiel et les lois de la cinématique.
Calcul intégral
En parallèle, Newton a aussi développé le calcul intégral, qui traite de l'addition infinie de petites quantités ou « sommes » pour trouver des grandeurs comme l'aire sous une courbe.
- Intégrale définie : Utilisée pour déterminer l'aire sous une courbe entre deux points.
- Intégrale indéfinie : Liée aux antécédents des dérivées, c'est-à-dire primitiver une fonction.
Ces concepts ont permis de résoudre des problèmes physiques complexes, tels que trouver la quantité totale de substance accumulée au fil du temps ou la distance parcourue par un objet.
Le théorème du binôme
C'est dans les années 1660 que Newton a présenté son travail sur le théorème du binôme, une autre contribution décisive dans le domaine des mathématiques.
Le théorème du binôme permet d'exprimer la puissance d'une somme de termes de manière développée. Plus précisément, il montre comment x + y élevé à la puissance n peut être exprimé sous forme de polynômes ordonnés.
Expression générale du théorème
La forme générale du théorème du binôme s'écrit :
(x + y)^n = Σ (k=0 à n) [C(n,k) * x^(n-k) * y^k],
où C(n,k) est le coefficient binomial égal à n ! / [k !(n-k) !].
Ce théorème a trouvé des applications significatives dans divers domaines des sciences et de l'ingénierie, et demeure encore aujourd'hui un outil fondamental pour les mathématiciens et scientifiques.
Exemple d'application
Par exemple, pour (x + y)^3, en utilisant le théorème du binôme, on a :
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.
Un tel développement facilite beaucoup la computation des termes individuels sans avoir à réaliser une multiplication répétitive.
La méthode de Newton pour les approximations numériques
Outre ses accomplissements dans le calcul et l'analyse, Newton est également reconnu pour la mise au point de méthodes d'approximation. L'une des plus notables est la méthode de Newton, utilisée pour approcher les racines des équations non linéaires.
Principe de la méthode
Cette méthode itérative consiste à choisir un point initial approximatif et à utiliser la dérivée pour améliorer continuellement cette estimation. Formellement, si f(x) = 0 est l'équation à résoudre, alors l'itération de Newton est donnée par :
x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n),
où x_n est l'estimation actuelle et f'(x_n) est la dérivée de la fonction en x_n.
Application pratique
Supposons qu'on veuille trouver la racine carrée de 2 en résolvant x^2 - 2 = 0. En utilisant une estimation initiale x_0 = 1, et la dérivée f'(x) = 2x, on applique la méthode :
x_1 = 1 - (1^2 - 2)/(2*1) = 1.5, puis
x_2 = 1.5 - (1.5^2 - 2)/(2*1.5) ≈ 1.4167.
Cette approche rapide converge souvent vers des solutions précises avec seulement quelques itérations.
Les séries infinies
Une autre réalisation majeure concerne le travail de Newton sur les séries infinies. Ces séries sont des sommes de termes qui continuent indéfiniment.
Série géométrique
Newton a utilisé des séries infinies pour développer des fonctions compliquées en des formes plus simples et manipulables. Une série géométrique généralisée est écrite comme :
S = a / (1 - r), où |r| < 1,
ce qui représente la somme d'une série infinie de ratio constant.
Applications des séries infinies
Cette analyse trouve diverses applications, telles que l'évaluation de π, la résolution d'équations différentielles et la représentation d'autres fonctions transcendantales.
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