Les dérivées : Guide pratique

Introduction aux dérivées

En termes simples, la dérivée mesure combien une fonction change par rapport à une petite variation de l'une de ses variables indépendantes. La notion de dérivée est utile dans divers domaines scientifiques comme la physique, les sciences économiques et l'ingénierie.

Définition mathématique

Matériellement, la dérivée d'une fonction f(x) par rapport à x est la limite du rapport de l'accroissement de la fonction sur l'accroissement de la variable lorsque ce dernier tend vers zéro :

$f^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x+\Delta x)-f\left(x\right)}{\Delta x}$

Interprétation géométrique

Géométriquement, la dérivée d'une fonction en un point donné correspond à la pente de la tangente à la courbe représentative de cette fonction au même point.

Les formules de base

Pour dériver une fonction, plusieurs formules dites "de base" sont utilisées pour simplifier le processus.

Dérivée de fonctions usuelles

Voici quelques exemples de dérivées courantes que l'on rencontre fréquemment :

• $\frac{d}{dx}\left(c\right)=0$ où c est une constante.
• $\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=n{x}^{n-1}$ où n est un nombre réel.
• $\frac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x$
• $\frac{d}{dx}(ln(x\left)\right)=\frac{1}{x}$
• $\frac{d}{dx}\left(\sin \right(x\left)\right)=\cos \left(x\right)$
• $\frac{d}{dx}\left(\cos \right(x\left)\right)=-\sin \left(x\right)$

Règles de dérivation

Ces règles permettent de dériver des fonctions plus complexes en les décomposant en morceaux plus simples :

1. Règle de somme : $(f+g)\text{'}=f^{\text{'}}+g^{\text{'}}$
2. Règle du produit : $\left(fg\right)\text{'}=f^{\text{'}}g+f{g}^{\text{'}}$
3. Règle du quotient : $\left(\frac{f}{g}\right)\text{'}=\frac{f^{\text{'}}g-f{g}^{\text{'}}}{g^2}$
4. Règle de la chaîne (composition) : $(f\circ g)\text{'}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(g\right(x\left)\right)g^{\text{'}}\left(x\right)$

Application des dérivées

La dérivation ne se limite pas à des applications académiques; elle a aussi un rôle crucial dans diverses disciplines pratiques. Voici quelques exemples illustratifs.

Analyser les variations d'une fonction

L'étude des dérivées permet de déterminer les intervalles où une fonction augmente ou diminue. Plus précisément :

• Si $f^{\text{'}}\left(x\right)>0$ pour tout x dans un intervalle I, alors f est croissante sur I.
• Si $f^{\text{'}}\left(x\right)<0$ pour tout x dans un intervalle I, alors f est décroissante sur I.

Les points critiques et les extrema

Les points où la dérivée première s'annule sont potentiellement des maxima, minima ou points d'inflexion. Pour confirmer cela :

$Si f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)>0, alors f a un \mathrm{minimum} local à x.$

$Si f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)<0, alors f a un \mathrm{maximum} local à x.$

Dérivées et cinématique

Dans les sciences physiques, les dérivées jouent un rôle central notamment en mécanique classique où elles peuvent être utilisées pour modéliser des déplacements, des vitesses et des accélérations.

Vitesse et accélération

Considérons une particule en mouvement dont la position est donnée par une fonction $s\left(t\right)$. Alors :

$v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)$ représente la vitesse instantanée de cette particule.

$a\left(t\right)=s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)$ représente son accélération instantanée.

Exercices pratiques

Afin de maîtriser les techniques de dérivation, il est essentiel de pratiquer régulièrement via des exercices variés.

Exercice 1 : Dérivée d'une fonction polynomiale

Dérivez la fonction suivante : $f\left(x\right)=4x^3-5x^2+6x-7$. Solution :

Exercice 2 : Utilisation de la règle de la chaîne

Dérivons maintenant une fonction composée telle que $h\left(x\right)=(3x^2+2)5^{}$ :

Utilisant la règle de la chaîne :

$h^{\text{'}}\left(x\right)=5(3x^2+2)4^{}\left(6x\right)$

Soit, en simplifiant :

$h^{\text{'}}\left(x\right)=30x(3x^2+2)4^{}$

La dérivation est une branche essentielle des mathématiques qui trouve diverses applications pratiques dans le monde réel. Maîtriser les principes de base ainsi que pratiquer avec des exercices réguliers permet de développer une compréhension approfondie de ce concept. Considérez chaque problématique de manière analytique et appliquez les règles adéquates pour obtenir les résultats désirés.