Introduction à la trigonométrie  : Comprendre les bases

Qu'est-ce que la trigonométrie ?

La trigonométrie se concentre sur les propriétés géométriques des triangles, spécialement les triangles rectangles. Un triangle rectangle possède un angle droit, c'est-à-dire un angle de 90 degrés (ou π/2 radians). Les deux autres angles sont appelés angles aigus et leur somme est toujours égale à 90 degrés.

• Le côté opposé : Le côté situé en face de l'angle considéré.
• Le côté adjacent : Le côté qui forme l'angle donné avec le côté opposé.
• L'hypoténuse : Le côté le plus long du triangle, situé en face de l'angle droit.

Définition des fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques principales – sinus, cosinus et tangente – définissent les ratios spécifiques entre les côtés d'un triangle rectangle.

Sinus : Le sinus d'un angle A est défini comme le rapport entre la longueur du côté opposé à l'angle et la longueur de l'hypoténuse.
$\sin \left(A\right)=\frac{\mathrm{côté} \mathrm{opposé}}{\mathrm{hypoténuse}}$.

Cosinus : Le cosinus d'un angle A est le ratio entre la longueur du côté adjacent à l'angle et celle de l'hypoténuse.
$\cos \left(A\right)=\frac{\mathrm{côté} \mathrm{adjacent}}{\mathrm{hypoténuse}}$.

Tangente : La tangente d'un angle A est le ratio entre les longueurs du côté opposé et du côté adjacent.
$\tan \left(A\right)=\frac{\mathrm{côté} \mathrm{opposé}}{\mathrm{côté} \mathrm{adjacent}}$.

Utilisation des valeurs trigonométriques

Les valeurs trigonométriques permettent d'établir des relations pratiques entre les angles et les longueurs des côtés de triangles. Cela s'avère utile pour résoudre des problèmes complexes en géométrie et en calcul scientifique.

Tables trigonométriques

Avant l'avènement des calculatrices, les tables trigonométriques étaient essentielles pour obtenir les valeurs de sinus, cosinus et tangente. Ces tables permettaient de trouver rapidement ces rapports précieux sans avoir besoin de réaliser des calculs laborieux.

Aujourd'hui, bien que les calculatrices et logiciels aient remplacé les tables traditionnelles, celles-ci restent utiles dans l'apprentissage de la trigonométrie car elles nous forcent à comprendre le concept derrière les opérations.

Exemple pratique

Imaginons un triangle rectangle où l'angle A vaut 30° et l'hypoténuse mesure 10 unités. Pour déterminer les longueurs des côtés opposé et adjacent, utilisons les fonctions trigonométriques :

• Sinus de 30° : sin(30°) = 0.5 donc, côté opposé = sin(30°) * 10 = 5 unités.
• Cosinus de 30° : cos(30°) ≈ 0.866 donc, côté adjacent = cos(30°) * 10 ≈ 8.66 unités.
• Tangente de 30° : tan(30°) ≈ 0.577 donc, tan(30°) = 5 / 8.66.

Relations entre les fonctions trigonométriques

En trigonométrie, quelques identités relient les fonctions trigonométriques entre elles. Elles peuvent simplifier grandement certains problèmes mathématiques.

Identité fondamentale

L'identité trigonométrique la plus connue est :
${\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)=1$.
Cette identité découle directement du théorème de Pythagore appliqué à un cercle unité.

Formules de co-fonctions et symétries

Les valeurs des fonctions trigonométriques changent selon l'angle observé. Par exemple :

• $\sin (90°-\theta )=\cos \left(\theta \right)$
• $\cos (90°-\theta )=\sin \left(\theta \right)$
• $\tan (90°-\theta )=\cot \left(\theta \right)$, où cotangent : $\cot \left(\theta \right)=\frac{1}{\tan }$

Elles montrent comment un changement d'angle peut affecter les relations entre les fonctions.

Formule de l'addition et proportionnalité

Les formules d'addition et de proportionnalité permettent de travailler avec des angles supplémentaires ou divisés. Par exemple :
$\sin (A+B)=\sin \left(A\right)\cos \left(B\right)+\cos \left(A\right)\sin \left(B\right)$ et $\cos (A+B)=\cos \left(A\right)\cos \left(B\right)-\sin \left(A\right)\sin \left(B\right)$, ce qui aide à exprimer des angles composés sous forme simple.

Applications de la trigonométrie

La trigonométrie trouve une multitude d'applications pratiques dans différents domaines.

Astronomie

Depuis les temps anciens, l'astronomie utilise la trigonométrie pour mesurer la distance entre des étoiles ou des planètes. Grâce à ces techniques avancées, les astronomes peuvent calculer les distances relativistes et établir des cartes précises du ciel.

Ingénierie

Dans le domaine de l'ingénierie, les constructions modernes nécessitent souvent des calculs très précis. Que ce soit pour la création de ponts, de bâtiments ou même de circuits électroniques, la trigonométrie est indispensable.

Cartographie et navigation

Les navigateurs et cartographes exploitent la trigonométrie pour créer des cartes précises. Les systèmes GPS actuels utilisent des principes trigonométriques pour déterminer des positions exactes sur la Terre, facilitant ainsi la navigation.

Interprétation graphique des fonctions trigonométriques

Visualiser les fonctions trigonométriques permet de mieux comprendre leurs comportements et fluctuations.

Cercle unité

Sur un cercle unité de rayon 1 centré à l'origine d'un système de coordonnées, chaque point sur le cercle correspond à un angle spécifique mesuré depuis l'axe x positif. Par conséquent, ses coordonnées x et y représentent respectivement le cosinus et le sinus de cet angle.

Graphiques de sinus et cosinus

Les graphes des fonctions sinus et cosinus oscillent périodiquement. Pour le sinus, commence à zéro, monte jusqu'à 1, redescend à -1 et retourne à zéro en 360°. Tandis que le cosinus commence à 1 et suit une trajectoire similaire mais décalée par rapport au sinus.

Avec ces informations en main, nous pouvons aborder de manière plus analytique les défis posés par la résolution de triangles ou autres tâches géométriques, renforçant ainsi notre compréhension globale des mathématiques et leurs multiples branches.