La géométrie analytique expliquée : De l'origine aux applications pratiques

Les bases de la géométrie analytique

Qu'est-ce que la géométrie analytique ?

La géométrie analytique est un domaine des mathématiques qui utilise un système de coordonnées pour étudier les propriétés et les relations de différentes figures géométriques. Cette approche lie géométrie et algèbre en utilisant des équations pour représenter des lignes, des courbes, et autres formes dans un plan ou un espace tridimensionnel.

Le plan cartésien

Un élément central de la géométrie analytique est le plan cartésien, introduit par René Descartes. Il se compose de deux axes perpendiculaires : l'axe des abscisses (x) et l'axe des ordonnées (y). Leur point d'intersection est appelé l'origine. Grâce au repère cartésien, chaque point du plan peut être identifié par un couple de coordonnées (x, y).

Les objets géométriques et leurs représentations

Les points

En géométrie analytique, un point est défini comme un lieu sans dimensions, spécifié uniquement par ses coordonnées (x, y) sur le plan. Par exemple, le point A(2, 3) se trouve à deux unités à droite de l'origine et trois unités au-dessus de celle-ci.

Les droites

Une droite dans un plan cartésien peut être définie par une équation linéaire de la forme $y=\mathrm{mx}+c$, où m est la pente et c est l'ordonnée à l'origine. Par exemple, l'équation $y=2x+1$ représente une droite avec une pente de 2 et une intersection à 1 sur l'axe y.

Les cercles

Les cercles peuvent être représentés par une équation standard $(x-h){²}^{}+(y-k){²}^{}=r^2$, où (h, k) sont les coordonnées du centre du cercle et r est le rayon. Par exemple, le cercle centré à (3, 4) avec un rayon de 5 a pour équation $(x-3){²}^{}+(y-4){²}^{}=25$.

Les équations et inéquations en géométrie analytique

Équations linéaires

Les équations linéaires décrivent les droites dans le plan cartésien. Elles ont une forme générale $y=\mathrm{mx}+b$ où m est la pente et b l'ordonnée à l'origine. Une équation comme $y=-x+4$ décrit une ligne décroissante qui croise l'axe y à 4.

Systèmes d'équations

Les systèmes d'équations permettent de trouver les points d'intersection de plusieurs droites. Par exemple :

• Première droite : $y=2x+3$
• Deuxième droite : $y=-x+1$

Pour trouver l'intersection, on résout ce système simultanément :

$2x+3=-x+1$ → $3x=-2$ → $x=-\frac{2}{3}$ et $y=2(-\frac{2}{3})+3$ → $y=\frac{1}{3}$

Ainsi, les droites se croisent en $(-\frac{2}{3},\frac{1}{3})$.

Inéquations

Les inéquations sont similaires aux équations mais utilisent des signes d'inégalité comme $<$ ou $>$ au lieu de $=$. Par exemple, l'inéquation $y>2x-3$ désigne toutes les régions au-dessus de la ligne $y=2x-3$.

Applications pratiques de la géométrie analytique

Calculer la distance entre deux points

L'une des applications pratiques consiste à calculer la distance entre deux points dans le plan cartésien. La formule pour cela est dérivée du théorème de Pythagore :

1. Soit deux points $A(x_1,y_1)$ et $B(x_2,y_2)$
2. La distance AB se calcule par $\sqrt{(x_2-x_1){²}^{}+(y_2-y_1){²}^{}}$

Exemple : Pour $A(1,2)$ et $B(4,6)$, la distance est $\sqrt{(4-1){²}^{}+(6-2){²}^{}}$ = $\sqrt{3{²}^{}+4{²}^{}}$ = $\sqrt{9+16}$ = $\sqrt{25}=5$

Calcul du milieu d'un segment

Pour déterminer le milieu d'un segment entre deux points $A(x_1,y_1)$ et $B(x_2,y_2)$, utilisez la formule suivante :

$M(\frac{(x_1+x_2)}{2},\frac{(y_1+y_2)}{2})$. Par exemple, pour $A(2,3)$ et $B(4,7)$, le milieu M est à $(3,5)$.

Équation de la médiane d'un triangle

Pour tout triangle ABC, la médiane est la ligne joignant un sommet au milieu du côté opposé. Pour calculer cela, trouvons d'abord le milieu du côté BC puis utilisons la formule de la fraction :

Futur développement

Avec ces fondamentaux bien compris, il devient possible d'explorer des concepts complexes tels que les coniques, ellipses, hyperboles, paraboles, ainsi que d'approfondir l'étude des vecteurs dans différents espaces dimensionnels.

Par conséquent, la géométrie analytique reste un outil puissant non seulement pour les mathématiciens, mais aussi pour les physiciens, ingénieurs et économistes cherchant à modéliser et analyser divers phénomènes.