Comment réaliser un tableau de variations pour une fonction mathématique

Définir la fonction et son domaine

La première étape consiste à définir la fonction que vous souhaitez étudier ainsi que son domaine de définition. C'est-à-dire, identifier les valeurs de x pour lesquelles la fonction est définie.

Exemple de définition de fonction

Supposons que nous avons la fonction $f\left(x\right)=x^2-4x+3$. Cette fonction est une parabole et est définie pour tout réel $x$. Par conséquent, son domaine de définition est l'ensemble des réels : $R$.

Calculer la dérivée de la fonction

Le tableau de variations repose principalement sur la dérivée de la fonction. La dérivée permet en effet d'étudier les variations de la fonction, c'est-à-dire de déterminer si elle croît ou décroît selon les intervalles de sa variable.

Exemple de calcul de la dérivée

Pour la fonction $f\left(x\right)=x^2-4x+3$, sa dérivée est donnée par $f\text{'}\left(x\right)$. En utilisant les règles de la différentiation : $f\text{'}\left(x\right)=2x-4$. Cette dérivée nous permettra d'identifier les points critiques et le comportement de la courbe.

Trouver les extremum et les points critiques

Les points critiques sont déterminés en trouvant les valeurs de $x$ pour lesquelles la dérivée est nulle ou ne possède pas de sens. Ces points permettent ensuite de distinguer les changements de direction dans la fonction.

Résolution de la dérivée nulle

Posons la dérivée égale à zéro :
$2x-4=0$
$2x=4$
$x=2$

Nous obtenons alors un unique point critique en $x=2$.

Analyser le signe de la dérivée

Après avoir déterminé les points où la dérivée s'annule, il faut analyser le signe de la dérivée autour de ces points pour comprendre le comportement de la fonction sur les différents intervalles.

Signe de la dérivée de part et d'autre du point critique

Pour $x<2$ :
Prenons $x=1$ :
$f\text{'}\left(1\right)=2\left(1\right)-4=-2$ (négatif)

Pour $x>2$ :
Prenons $x=3$ :
$f\text{'}\left(3\right)=2\left(3\right)-4=2$ (positif)

En analysant le signe de la dérivée, nous pouvons conclure que la fonction décroît pour $x<2$ et croît pour $x>2$.

Construire le tableau de variations

Après avoir rassemblé toutes les informations nécessaires, nous pouvons construire le tableau de variations de la fonction.

Présentation générale du tableau

• Première ligne : Intervalle de variation de $x$
• Deuxième ligne : Valeur de la dérivée $f\text{'}\left(x\right)$
• Troisième ligne : Sens de variation de $f\left(x\right)$ (flèches montantes ou descendantes)
• Quatrième ligne : Valeurs de $f\left(x\right)$ aux points critiques et extrêmes

Il est utile de repérer également les limites aux bornes lorsque c'est nécessaire.

Tableau de variations pour la fonction exemple

Synthèse graphique par rapport à la courbe

La compréhension du tableau de variations sera améliorée avec une représentation graphique correspondante. Analyser graphiquement signifie tracer la courbe représentative de la fonction et marquer ses variations globales sur le même graphe. Cela aide à visualiser rapidement les minimas et maximas locaux, ainsi que les comportements asymptotiques éventuels.

Conseils pour le tracé de la courbe

Quand on dessine la courbe, suivez ces conseils :

• Prenez soin de bien placer les axes et les graduations.
• Repérez correctement les points extrêmes ou critiques comme trouvés précédemment.
• Utilisez assez de points pour lisser la courbe entre les variations détectées. Comme cela, la courbature sera plus précise.

Une fois la courbe dessinée, vérifiez vos résultats en superposant le tableau et en ajustant si nécessaire.

Pratiquez avec des exercices variés

Pour maîtriser parfaitement la réalisation des tableaux de variations, il est recommandé de pratiquer avec différents types de fonctions. Voici quelques exemples de fonctions sur lesquelles vous pouvez vous exercer :

Fonctions polynomiales

Les fonctions polynomiales comme $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ ou encore $g\left(x\right)=-2x^4+5x^3-x^2+7x-1$ offrent de bons défis pour analyser les points critiques et dresser des tableaux de variations.

Fonctions rationnelles

Analysez les fonctions du type $h\left(x\right)=\frac{2x-3}{x^2+1}$ qui nécessitent une étude fine de leurs dérivées pour découvrir les asymptotes et les points de retournement.

Fonctions trigonométriques

L'utilisation des fonctions sinus et cosinus comme $p\left(x\right)=\sin \left(x\right)$ ou $q\left(x\right)=\cos \left(2x\right)$ expose également à l'entretien régulier de l'étude des courbes périodiques.

Ancrage théorique par résolutions multiples

Avec des exercices variés, résolvez plusieurs fois le même type de problème jusqu'à ce que des automatismes clairs et créatifs se forment naturellement. Cela favorisera une meilleure prise en main des concepts.