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Maîtriser les logarithmes : comprendre et utiliser les lois des logarithmes pour optimiser vos calculs

William Mievre - Mis à jour le 

Les logarithmes sont un outil mathématique fondamental permettant de simplifier et de résoudre divers problèmes complexes. Dans cet article, nous explorerons les bases des logarithmes, leurs lois, leur application pratique et comment les utiliser efficacement pour des calculs quotidiens. Développer une bonne compréhension des logarithmes vous permettra d'optimiser de nombreux aspects de vos travaux scientifiques et techniques.

Logarithme

Introduction aux logarithmes

Le concept de logarithme a été introduit au 17ème siècle par John Napier pour faciliter les calculs complexes, en particulier la multiplication et la division de grands nombres. Un logarithme est essentiellement l'inverse d'une puissance. Par exemple, si 102 = 100, alors le logarithme base 10 de 100 est 2.

Définition et notation

Un logarithme se définit comme suit : logb(x) est l'exposant auquel il faut élever la base b pour obtenir le nombre x. Mathématiquement, cela s'écrit :

logb(x) = y signifie que by = x.

Exemples pratiques

Pour davantage illustrer cette définition, examinons quelques exemples concrets :

  • log10(1000) = 3 car 103 = 1000
  • log2(16) = 4 car 24 = 16
  • log5(25) = 2 car 52 = 25

Lois des logarithmes

Les logarithmes possèdent plusieurs propriétés utiles qui simplifient les calculs. Ces propriétés sont souvent appelées "lois des logarithmes". Voici une explication détaillée des principales lois des logarithmes.

Produit

La loi du produit stipule que le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs individuels. Mathématiquement, cela s'écrit :

logb(xy) = logb(x) + logb(y).

Exemple : log10(100) + log10(10) = log10(1000). Étant donné que log10(100) = 2 et log10(10) = 1, alors log10(100) + log10(10) = 2 + 1 = 3, ce qui correspond bien à log10(1000).

Quotient

La loi du quotient stipule que le logarithme d'un quotient est égal à la différence des logarithmes du numérateur et du dénominateur. Mathématiquement, cela s'écrit :

logb(xy) = logb(x) - logb(y).

Exemple : log10(100010) = log10(1000) - log10(10) = 3 - 1 = 2, ce qui équivaut bien à log10(100).

Puissance

La loi de la puissance stipule que le logarithme d'un nombre élevé à une puissance est égal au produit de cette puissance par le logarithme du nombre. Mathématiquement, cela s'écrit :

logb(xy) = y * logb(x).

Exemple : log10(10002) = 2 * log10(1000) = 2 * 3 = 6, ce qui correspond bien à log10(1000000).

Image qui représente le Logarithme

Utilisations courantes des logarithmes

Les logarithmes trouvent de nombreuses applications dans différents domaines tels que la science, l'ingénierie et les finances. Examinons certaines de ces utilisations plus en détail.

Calculateur scientifique

Les calculateurs scientifiques intègrent fréquemment des fonctions logarithmiques pour aider à résoudre des équations exponentielles et logaritmiques complexes. Ces outils sont essentiels pour les étudiants et les professionnels qui travaillent avec des calculs précis et nécessitent une résolution rapide.

Analyse de données

En analyse de données, les logarithmes permettent de déterminer les taux de croissance, de modéliser des phénomènes naturels ou économiques et de transformer des distributions de données non linéaires en formes linéaires facilitant ainsi leur interprétation.

Applications en génie électrique

Les ingénieurs électriques utilisent les logarithmes pour analyser les signaux et les systèmes électroniques. Par exemple, le décibel (dB), unité utilisée pour mesurer l'intensité sonore, est basée sur une échelle logarithmique.

Finances

Dans le domaine financier, les logarithmes aident à calculer les intérêts composés et à analyser les tendances de marché à long terme. Ils sont également utilisés pour évaluer les investissements et estimer l'évolution des portefeuilles.

Différences entre types de logarithmes

Il existe plusieurs types de logarithmes, chacun ayant une base différente et une utilisation spécifique. Les deux types principaux sont le logarithme décimal (base 10) et le logarithme naturel (base e).

Logarithmes décimaux

Les logarithmes décimaux, aussi connus sous le nom de logarithmes communs, utilisent 10 comme base. Ils sont notés comme log10. Ils sont largement utilisés dans les sciences et les calculs d'ingénierie.

Logarithmes naturels

Les logarithmes naturels, notés ln, utilisent la constante mathématique e (environ égale à 2,718) comme base. Ils jouent un rôle crucial en mathématiques pures et appliquées, en particulier en calcul différentiel et intégral. Les logarithmes naturels facilitent la résolution de certains types d'équations différentielles.

Méthodes pour calculer avec les logarithmes

Pour tirer pleinement profit des logarithmes, différentes méthodes peuvent être utilisées selon le contexte des calculs. Examinons quelques approches clés.

Utilisation de tables de logarithmes

Avant l'avènement des calculateurs, les tables de logarithmes étaient couramment utilisées. Ces tables listent les valeurs logarithmiques prédéterminées pour une large gamme de nombres. Elles permettent de convertir rapidement des multiplications et divisions en sommes et différences.

Emploi de calculateurs scientifiques

Aujourd'hui, l'utilisation des calculateurs scientifiques est beaucoup plus répandue. Ceux-ci disposent de fonctions logarithmiques dédiées facilitant ainsi les calculs rapides et précis sans avoir besoin de consulter des tables.

Conversions entre bases

Parfois, il peut être nécessaire de convertir un logarithme d'une base à une autre. Cette conversion s'effectue via la formule suivante :

loga(x) = logb(x)/logb(a).

Par exemple, pour convertir log2(8) en base 10 :

log2(8) = log10(8)/log10(2)0.90310.30103.

Expressions logarithmiques communes et résolution

Les expressions logarithmiques apparaissent fréquemment sous diverses formes. Savoir comment manipuler et résoudre ces expressions facilite grandement leur utilisation.

Équations logarithmiques simples

Résoudre des équations logarithmiques simples implique généralement l'application directe des lois des logarithmes. Exemple :

- Équation : log2(x) = 3
- Résolution : Convertir à la forme exponentielle : 23 = x, donc x = 8.

Systèmes d'équations logarithmiques

Dans des situations plus complexes, surtout celles impliquant des systèmes d'équations logarithmiques, il peut être utile de recourir à plusieurs lois des logarithmes. Exemple :

- Système :
log2(x) + log2(y) = 5
log2(xy) = 5.

- Combiner les lois donne :
log2(8*4) = log2(32). Donc les solutions possibles incluent x = 8 et y = 4.

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William Mievre

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP (3e meilleure école de commerce française), j'ai co-fondé Les Sherpas, une entreprise innovante dans le secteur de l'EdTech spécialisée dans le soutien scolaire.Avec 10 années d'expérience dans les cours particuliers, ma passion réside dans l'éducation et le développement personnel. Mon objectif est de vous offrir des conseils pratiques et éprouvés pour aider vos enfants à réussir et à s'épanouir dans leur parcours scolaire. A très bientôt ✌️💖 !