Maîtriser les logarithmes : comprendre et utiliser les lois des logarithmes pour optimiser vos calculs

Introduction aux logarithmes

Le concept de logarithme a été introduit au 17^ème siècle par John Napier pour faciliter les calculs complexes, en particulier la multiplication et la division de grands nombres. Un logarithme est essentiellement l'inverse d'une puissance. Par exemple, si ${10}^2$ = $100$, alors le logarithme base 10 de $100$ est $2$.

Définition et notation

Un logarithme se définit comme suit : ${\log }_b\left(x\right)$ est l'exposant auquel il faut élever la base $b$ pour obtenir le nombre $x$. Mathématiquement, cela s'écrit :

${\log }_b\left(x\right)$ = $y$ signifie que $b^y$ = $x$.

Exemples pratiques

Pour davantage illustrer cette définition, examinons quelques exemples concrets :

• ${\log }_{10}\left(1000\right)$ = $3$ car ${10}^3$ = $1000$
• ${\log }_2\left(16\right)$ = $4$ car $2^4$ = $16$
• ${\log }_5\left(25\right)$ = $2$ car $5^2$ = $25$

Lois des logarithmes

Les logarithmes possèdent plusieurs propriétés utiles qui simplifient les calculs. Ces propriétés sont souvent appelées "lois des logarithmes". Voici une explication détaillée des principales lois des logarithmes.

Produit

La loi du produit stipule que le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs individuels. Mathématiquement, cela s'écrit :

${\log }_b\left(xy\right)={\log }_b\left(x\right)+{\log }_b\left(y\right)$.

Exemple : ${\log }_{10}\left(100\right)+{\log }_{10}\left(10\right)={\log }_{10}\left(1000\right).\; Étant\; donné\; que$ {\log }_{10}\left(100\right)$=$ 2$et$ {\log }_{10}\left(10\right)$=$ 1$,\; alors$ {\log }_{10}\left(100\right)+{\log }_{10}\left(10\right)$=$ 2$+$ 1$=$ 3$,\; ce\; qui\; correspond\; bien\; à$ {\log }_{10}\left(1000\right)$.$

Quotient

La loi du quotient stipule que le logarithme d'un quotient est égal à la différence des logarithmes du numérateur et du dénominateur. Mathématiquement, cela s'écrit :

${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_b\left(x\right)-{\log }_b\left(y\right)$.

Exemple : ${\log }_{10}\left(\frac{1000}{10}\right)={\log }_{10}\left(1000\right)-{\log }_{10}\left(10\right)=3-1=2,\; ce\; qui\; équivaut\; bien\; à{\log }_{10}\left(100\right).$

Puissance

La loi de la puissance stipule que le logarithme d'un nombre élevé à une puissance est égal au produit de cette puissance par le logarithme du nombre. Mathématiquement, cela s'écrit :

${\log }_b\left(x^y\right)=y*{\log }_b\left(x\right)$.

Exemple : ${\log }_{10}({1000}^2=2*{\log }_{10}\left(1000\right)=2*3=6,\; ce\; qui\; correspond\; bien\; à{\log }_{10}\left(1000000\right).$

Utilisations courantes des logarithmes

Les logarithmes trouvent de nombreuses applications dans différents domaines tels que la science, l'ingénierie et les finances. Examinons certaines de ces utilisations plus en détail.

Calculateur scientifique

Les calculateurs scientifiques intègrent fréquemment des fonctions logarithmiques pour aider à résoudre des équations exponentielles et logaritmiques complexes. Ces outils sont essentiels pour les étudiants et les professionnels qui travaillent avec des calculs précis et nécessitent une résolution rapide.

Analyse de données

En analyse de données, les logarithmes permettent de déterminer les taux de croissance, de modéliser des phénomènes naturels ou économiques et de transformer des distributions de données non linéaires en formes linéaires facilitant ainsi leur interprétation.

Applications en génie électrique

Les ingénieurs électriques utilisent les logarithmes pour analyser les signaux et les systèmes électroniques. Par exemple, le décibel (dB), unité utilisée pour mesurer l'intensité sonore, est basée sur une échelle logarithmique.

Finances

Dans le domaine financier, les logarithmes aident à calculer les intérêts composés et à analyser les tendances de marché à long terme. Ils sont également utilisés pour évaluer les investissements et estimer l'évolution des portefeuilles.

Différences entre types de logarithmes

Il existe plusieurs types de logarithmes, chacun ayant une base différente et une utilisation spécifique. Les deux types principaux sont le logarithme décimal (base 10) et le logarithme naturel (base e).

Logarithmes décimaux

Les logarithmes décimaux, aussi connus sous le nom de logarithmes communs, utilisent $10$ comme base. Ils sont notés comme ${\log }_{10}$. Ils sont largement utilisés dans les sciences et les calculs d'ingénierie.

Logarithmes naturels

Les logarithmes naturels, notés $\ln$, utilisent la constante mathématique e (environ égale à 2,718) comme base. Ils jouent un rôle crucial en mathématiques pures et appliquées, en particulier en calcul différentiel et intégral. Les logarithmes naturels facilitent la résolution de certains types d'équations différentielles.

Méthodes pour calculer avec les logarithmes

Pour tirer pleinement profit des logarithmes, différentes méthodes peuvent être utilisées selon le contexte des calculs. Examinons quelques approches clés.

Utilisation de tables de logarithmes

Avant l'avènement des calculateurs, les tables de logarithmes étaient couramment utilisées. Ces tables listent les valeurs logarithmiques prédéterminées pour une large gamme de nombres. Elles permettent de convertir rapidement des multiplications et divisions en sommes et différences.

Emploi de calculateurs scientifiques

Aujourd'hui, l'utilisation des calculateurs scientifiques est beaucoup plus répandue. Ceux-ci disposent de fonctions logarithmiques dédiées facilitant ainsi les calculs rapides et précis sans avoir besoin de consulter des tables.

Conversions entre bases

Parfois, il peut être nécessaire de convertir un logarithme d'une base à une autre. Cette conversion s'effectue via la formule suivante :

${\log }_a\left(x\right)=\frac{{\log }_b}{\left(x\right)}$.

Par exemple, pour convertir ${\log }_2\left(8\right)$ en base 10 :

${\log }_2\left(8\right)=\frac{{\log }_{10}}{\left(8\right)}\approx \frac{0.9031}{0.3010}\approx 3.$

Expressions logarithmiques communes et résolution

Les expressions logarithmiques apparaissent fréquemment sous diverses formes. Savoir comment manipuler et résoudre ces expressions facilite grandement leur utilisation.

Équations logarithmiques simples

Résoudre des équations logarithmiques simples implique généralement l'application directe des lois des logarithmes. Exemple :

- Équation : ${\log }_2\left(x\right)=3$
- Résolution : Convertir à la forme exponentielle : $2^3$ = $x$, donc $x=8$.

Systèmes d'équations logarithmiques

Dans des situations plus complexes, surtout celles impliquant des systèmes d'équations logarithmiques, il peut être utile de recourir à plusieurs lois des logarithmes. Exemple :

- Système :
${\log }_2\left(x\right)+{\log }_2\left(y\right)=5$
log2(xy) = 5.

- Combiner les lois donne :
${\log }_2\left(8*4\right)={\log }_2\left(32\right).\; Donc\; les\; solutions\; possibles\; incluent$ x=8$et$ y=4$.$