Comprendre les fonctions affines : concept et applications

Définition et caractéristiques des fonctions affines

Une fonction affine est une relation de la forme $f\left(x\right)=ax+b$, où a et b sont des constantes. La variable x représente une entrée indépendante et f(x) est la sortie dépendante. Les constantes a et b définissent la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite formée par cette fonction sur un plan cartésien.

Les composants d'une fonction affine

L'équation d'une fonction affine est composée de différents éléments essentiels :

• a : le coefficient directeur ou pente de la droite. Il indique le taux de variation de la fonction. Si a est positif, la droite monte; si a est négatif, elle descend.
• b : l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des y quand x est égal à 0.
• x : la variable indépendante, souvent représentée sur l'axe des abscisses (axe des x).
• f(x) : la variable dépendante, représentée sur l'axe des ordonnées (axe des y).

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine sur un plan cartésien est une droite. Pour tracer cette droite, il suffit de connaître au moins deux points distincts par lesquels elle passe. Par exemple :

1. Si x = 0, f(x) est égal à b. Donc, le point (0, b) se trouve sur la droite.
2. Choisir une autre valeur pour x, calculer f(x), et déterminer un deuxième point.

Ces deux points permettent de dessiner la droite correspondante à la fonction affine. Par exemple, considérons $f\left(x\right)=2x+3$ :

• Pour x = 0, $f\left(0\right)=3$, donc le point (0,3) se trouve sur la droite.
• Pour x = 1, $f\left(1\right)=2*1+3=5$, donc le point (1,5) se trouve également sur la droite.

En connectant ces deux points, on obtient la droite représentant la fonction affine $f\left(x\right)=2x+3$.

Différence entre fonction affine et fonction linéaire

Il est crucial de distinguer une fonction affine d'une fonction linéaire. Une fonction linéaire possède une forme spécifique : $f\left(x\right)=ax$. Contrairement à une fonction affine, elle ne contient pas de constante ajoutée b. Cela signifie que le graphe d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine du plan cartésien (point (0,0)).

Par exemple, $f\left(x\right)=4x$ est une fonction linéaire tandis que $f\left(x\right)=4x+2$ est une fonction affine. La forme simplifiée des fonctions linéaires en fait un cas particulier des fonctions affines où b = 0.

Exemple comparatif

Comparons les fonctions :

• Fonction affine : $f\left(x\right)=2x+3$ - Cette fonction a une pente de 2 et coupe l'axe des y au point (0,3).
• Fonction linéaire : $g\left(x\right)=2x$ - Cette fonction a une pente de 2 mais coupe l'axe des y au point (0,0).

Les graphes de ces fonctions partagent la même pente, mais leur interception avec l'axe des y diffère en raison de la valeur de b.

Applications pratiques des fonctions affines

Les fonctions affines trouvent leur utilité dans plusieurs domaines pratiques. Voici quelques exemples illustratifs :

Économie

En économie, les fonctions affines peuvent être utilisées pour modéliser des coûts fixes et variables. Prenons par exemple le coût total C de production d'un bien avec un coût fixe F et un coût variable proportionnel à la quantité produite q. La fonction associée pourrait être $C\left(q\right)=vq+F$, où v est le coût variable par unité produite.

Physique

Dans le domaine de la physique, les fonctions affines peuvent modéliser la vitesse constante. Si un objet se déplace à une vitesse constante v, sa position x à tout moment t peut être donnée par $x\left(t\right)=vt+x_0$, où x0 est la position initiale de l'objet.

Systèmes de proportionnalité

Une situation de proportionnalité directe peut souvent être modélisée par une fonction affine. Lorsque deux quantités varient constamment à un taux fixe, leur relation peut être décrite par une telle fonction.

Un bon exemple est celui des conversions de monnaies. Si le taux de change entre deux devises est constant, alors le montant obtenu y après conversion d'un montant x sera donné par une fonction affine $y=kx+b$, où k est le taux de change et b représente les frais fixes de transaction.

Coordonnées et géométrie analytique

Les coordonnées jouent un rôle fondamental dans la géométrie analytique et notamment dans l'étude des fonctions affines. Dans ce contexte, chaque point du plan cartésien est défini par une paire de valeurs de coordonnées (x, y).

L'utilisation systématique des coordonnées permet la visualisation précise des fonctions affines et la résolution de problèmes géométriques par des méthodes algébriques.

Intersection de droites

Une application directe est la détermination du point d'intersection de deux droites. Considérons deux fonctions affines $f_1\left(x\right)=a_{1}x+b_1$ et $f_2\left(x\right)=a_{2}x+b_2$. Pour trouver leur point d'intersection, nous devons résoudre le système d'équations :

$a_{1}x+b_1=a_{2}x+b_2$

En réarrangeant, cela donne $(a_1-a_2)x=b_2-b_1$, soit $x=\frac{b_2-b_1}{a_1-a_2}$. Substituant cette valeur de x dans l'une des équations initiales donne la coordonnée y correspondante. Le résultat est le point d'intersection des deux droites.