Comprendre les équations quadratiques en maths

Définition et forme générale d'une équation quadratique

Une équation quadratique est une équation polynomiale de degré 2, généralement écrite sous la forme $a{x}^2+bx+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des coefficients réels et $a\ne 0$. Le terme "quadratique" dérive du mot latin quadratus, qui signifie "carré". Les trois termes présents dans l'équation représentent respectivement le coefficient quadratique, le coefficient linéaire, et le terme constant.

Exemple d'équation quadratique

Considérons l'équation suivante : $2x^2-4x+1=0$. Ici :

• $a=2$ (coefficient quadratique)
• $b=-4$ (coefficient linéaire)
• $c=1$ (terme constant)

Méthodes de résolution des équations quadratiques

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre une équation quadratique, chacune adaptée à différents types de problèmes. Nous allons explorer les méthodes les plus couramment utilisées.

Utilisation de la formule quadratique

L'une des méthodes les plus universelles pour trouver les solutions d'une équation du type $a{x}^2+bx+c=0$ est d'utiliser la formule quadratique :

$x=\frac{(-b\pm \sqrt{b^2-4ac})}{2a}$

Ici, $\Delta$ (delta) représente le discriminant de l'équation et est défini par $b^2-4ac$. Selon la valeur de $\Delta$, les solutions peuvent différer :

• Si $\Delta >0$, il y a deux solutions distinctes réelles.
• Si $\Delta =0$, il n'y a qu'une solution réelle, ou une solution double.
• Si $\Delta <0$, il n'y a aucune solution réelle mais deux solutions complexes conjuguées.

En utilisant notre exemple $2x^2-4x+1=0$ :

$\Delta =(-4{)}^2-4*2*1=16-8=8$. Puisque $\Delta >0$, il y a deux solutions :

$x{1}_{}=\frac{4+\sqrt{8}}{4}etx{2}_{}=\frac{4-\sqrt{8}}{4}$

Factorisation

Cette méthode consiste à réécrire l'équation quadratique sous forme factorisée, c'est-à-dire sous la forme $(\mathrm{px}+q)(\mathrm{rx}+s)=0$. Cette technique requiert souvent de reconnaître des produits remarquables.

• Équation : $x^2-5x+6=0$
• Facteur commun : $(x-2)(x-3)=0$

Les racines sont donc $x=2$ et $x=3$ puisque chaque facteur peut être mis à zéro.

Compléter le carré

Cette méthode permet de réécrire une équation quadratique sous la forme canonique $a(x-h)2^{}+k=0$. Cela peut faciliter l'analyse graphique de l'équation.

Pour l'équation $x^2-6x+9=0$ :

• Ajouter et soustraire le même nombre pour former un carré parfait : $x^2-6x+9$
• Réécrire : $(x-3)2^{}=0$

Alors, la solution unique est $x=3$.

Discriminant et nature des solutions

Le discriminant $b^2-4ac$ joue un rôle crucial dans la détermination du type de solutions d'une équation quadratique. Examinons cela plus en détail.

Discriminant positif

Si $\Delta >0$, cela signifie que l'équation possède deux racines distinctes. Ces racines sont réelles et se trouvent sur l'axe des abscisses.

Discriminant nul

Un discriminant nul ($\Delta =0$) indique qu'il n'y a qu'une seule racine réelle. Cette racine est également appelée racine double, située exactement au sommet de la parabole représentée par l'équation.

Discriminant négatif

Lorsque $\Delta <0$, l'équation n'a pas de solution réelle. Elle a cependant deux solutions conjuguées complexes, ce qui signifie que les valeurs trouvées incluent des parties imaginaires.

Formes et transformations des équations quadratiques

Les équations quadratiques peuvent prendre différentes formes facilitant leur résolution et interprétation. Voici quelques-unes des formes les plus utilisées.

Forme standard

La forme standard est $a{x}^2+bx+c=0$. C'est la forme la plus courante et celle utilisée le plus fréquemment pour appliquer la formule quadratique.

Forme canonique

La forme canonique est obtenue via la complétion du carré, exprimée en $a(x-h)2^{}+k$. Elle permet d'analyser facilement la position et l'orientation de la parabole associée à l'équation.

Par exemple, transformons l'équation $x^2-6x+8=0$ en forme canonique :

• $x^2-6x=-8$
• Compléter le carré : $(x-3)2^{}=1$

Cela donne la forme canonique $(x-3)2^{}-1=0$.

Forme factorisée

La forme factorisée $\mathrm{px}{2}^{}+\mathrm{qx}=0$ met en évidence les racines de l'équation, car elle permet de voir immédiatement les solutions en égalisant chaque facteur à zéro.

Représentation graphique

Analyser les solutions graphiquement implique de tracer la fonction $y=a{x}^2+bx+c$ et de localiser ses points d'intersection avec l'axe des abscisses.

• Si la parabole coupe l'axe $x$ en deux points distincts, cela reflète deux racines réelles.
• Si elle touche l'axe $x$ en un seul point, cela traduit une racine double.
• Enfin, si la parabole ne croise pas l'axe des abscisses, il n'y a pas de solution réelle.

Applications pratiques des équations quadratiques

Les équations quadratiques interviennent dans plusieurs domaines pratiques tels que l'économie, la physique, l'ingénierie et bien d'autres. Voici quelques exemples concrets :

Lancer de projectiles

En physique, les trajectoires des objets projetés peuvent souvent être modélisées par des équations quadratiques. Par exemple, l'équation $y=-4.9t^2+\mathrm{vt}+h$ décrit la hauteur $y$ en fonction du temps $t$, où $v$ est la vitesse initiale et $h$ est la hauteur initiale.

Optimisation

Dans l'économie, les équations quadratiques permettent de déterminer les points maximaux ou minimaux, utiles pour prévoir les bénéfices ou pertes d'un produit. Elles sont utilisées dans des analyses optimisantes afin de maximiser les profits ou minimiser les coûts.

Construction d'arcs et ponts

En ingénierie, surtout dans la construction, les arcs des ponts sont souvent conçus selon des équations quadratiques pour assurer stabilité et résilience structurelle.

Importance des équations quadratiques en algèbre

Les équations quadratiques forment la base de concepts plus avancés en algèbre et préparent aux fonctions polynomiales de degré supérieur. Maîtriser la résolution des équations quadratiques facilite grandement l'apprentissage ultérieur de domaines thématiques complexes comme le calcul différentiel et intégral. Leur compréhension marque un jalon crucial dans le parcours académique des étudiants en mathématiques.