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Découvertes et théories mathématiques fondamentales : les génies de la géométrie et de l'algèbre

William Mievre - Mis à jour le 

Les mathématiques, cette science universelle, ont toujours fasciné les esprits humains. Des géomètres de l'antiquité aux analystes modernes, les découvertes et théories mathématiques ont façonné notre compréhension du monde. Dans cet article, nous allons explorer les travaux de cinq grands mathématiciens : Euler, Ramanujan, Euclide, Lagrange et Leibniz. Chacun a apporté un éclairage unique sur les fondements des mathématiques à travers des thématiques variées telles que la réciprocité quadratique, les séries infinies, la théorie des nombres, ainsi que des points de vue novateurs sur la nature des équations et des formes.

Découvertes Théories Maths

Euler et ses contributions révolutionnaires

La formule d'Euler

Leonhard Euler est souvent considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Sa formule emblématique, e^{iπ} + 1 = 0, relie cinq des constantes les plus importantes en mathématiques : e, i, π, 1 et 0. Cette formule n'est pas seulement élégante, mais elle révèle également des connexions profondes entre différentes branches des mathématiques, y compris l'algèbre et la trigonométrie.

Les graphes d'Euler

Euler a également posé les bases de la théorie des graphes par son célèbre problème des ponts de Königsberg qui a conduit à la notion de circuit eulérien. Ce concept est essentiel en informatique moderne pour résoudre les problèmes de parcours et de connectivité dans les réseaux.

  • Relier des points sans lever le crayon (théorie des graphes)
  • Utilisation dans la cartographie et les circuits électroniques
  • Application à la logistique et aux trajets optimaux

Ramanujan : Le prodige autodidacte

Les séries infinies de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan, malgré son éducation limitée, a proposé des résultats étonnants sur les séries infinies. Ses formules pour les fractions continues et les sommes infinies ont trouvé des applications en analyse complexe et en théorie des nombres. Les Identités de Ramanujan sont encore explorées aujourd'hui pour leur profondeur et leur originalité.

Les fonctions modulaires et le nombre pi

Ramanujan a dévoilé des correspondances surprenantes entre certaines fonctions modulaires et le nombre π (pi). Sa contribution inclut la série de Ramanujan pour 1/π, une découverte qui stimule les calculs précis de pi :


 1 / π = 12 Σ (k=0 à ∞) ((-1)^k (6k) ! (13591409 + 545140134k)) / ((3k) ! (k !)^3 (640320^(3k+3/2)))
 
Image qui représente les Découvertes et les Théories Mathématiques

Euclide et la fondation de la géométrie

Les Éléments d'Euclide

Euclide de l'Antiquité gréco-romaine est souvent nommé le "Père de la Géométrie". Son chef-d'œuvre, Les Éléments, se compose de treize livres couvrant une vaste gamme de concepts géométriques et algébriques. Il fournit un cadre axiomatique sur lequel repose la géométrie euclidienne, base essentielle de nombreuses théories contemporaines.

Le postulat des parallèles

Un des aspects controversés de la géométrie euclidienne est le cinquième postulat ou le postulat des parallèles. Ce postulat a stimulé de nombreuses explorations menant finalement à la création de géométries non-euclidiennes, changeant radicalement notre vision de l'espace.

Axiomes clés dans Les Éléments :

  • Une ligne droite peut être tracée entre deux points quelconques.
  • Un segment de droite peut être étendu indéfiniment.
  • Un cercle peut être dessiné avec n'importe quel centre et rayon.
  • Tous les angles droits sont congruents.
  • Si une ligne tombe sur deux autres lignes et forme des angles internes du même côté inférieurs à deux angles droits, ces deux lignes se rejoindront sur ce côté.

Lagrange et la mécanique analytique

L'équation de Lagrange

Joseph-Louis Lagrange a profondément influencé la formulation modernisée des lois du mouvement. Ses équations, connues sous le nom d'équations de Lagrange, sont dérivées du principe de moindre action et permettent de décrire toute la dynamique d'un système en termes de coordonnées généralisées. Elles se présentent sous forme compacte :


 d/dt (∂L/∂(dq_i/dt)) - ∂L/∂q_i = 0
 

Théorie des nombres et polynômes

Lagrange a également travaillé sur la théorie des nombres, démontrant notamment le théorème des quatre carrés, selon lequel tout entier positif peut être exprimé comme somme de quatre carrés d'entiers. De plus, sa méthode pour trouver les racines des polynômes a jeté les bases de nombreuses techniques numériques actuelles.

Le calcul variationnel

Dans le domaine du calcul variationnel, Lagrange a mis au point des méthodes pour trouver des extrema de fonctionnelles, ce qui a des applications en physique, économie et ingénierie. Sa méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de résoudre des problèmes d'optimisation avec contraintes.

Leibniz et le développement du calcul infinitésimal

La notation différentielle de Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz est co-fondateur, avec Newton, du calcul infinitésimal. La notation qu'il a développée, utilisant d et S pour différentiation et intégration respectivement, est encore utilisée dans la plupart des cours de calcul aujourd'hui. Par exemple, pour la dérivée d'une fonction f(x), on utilise :

df/dx

Monades et précurseur de l'informatique

En philosophie, Leibniz a introduit le concept de monades, qui peut être vu comme un précurseur des idées modernes en matière de traitement de l'information et de structures complexes. Il a aussi imaginé des machines capables de calculer, posant les jalons de l'informatique.

Les séries de Leibniz

Ses travaux sur les séries infinies, particulièrement la série de Leibniz pour π qui est donnée par :


 π = 4 Σ (-1)^n / (2n + 1)
 

a montré son habileté à découvrir des liens cachés entre des objets mathématiques apparemment sans rapport.

Ce tour d'horizon des contributions majeures par Euler, Ramanujan, Euclide, Lagrange et Leibniz montre combien leurs découvertes sont la quintessence des propriétés et des théories mathématiques fondatrices. Chacune représente une avancée significative et continue de susciter l'intérêt et l'étude approfondie dans diverses disciplines scientifiques et technologiques.

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William Mievre

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP (3e meilleure école de commerce française), j'ai co-fondé Les Sherpas, une entreprise innovante dans le secteur de l'EdTech spécialisée dans le soutien scolaire.Avec 10 années d'expérience dans les cours particuliers, ma passion réside dans l'éducation et le développement personnel. Mon objectif est de vous offrir des conseils pratiques et éprouvés pour aider vos enfants à réussir et à s'épanouir dans leur parcours scolaire. A très bientôt ✌️💖 !