Comment utiliser la fonction exponentielle en maths : fiche de révisions

Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est notée exp(x) ou e^x, où e représente un nombre irrationnel approximé à 2,71828. La fonction a plusieurs caractéristiques intéressantes qui facilitent la résolution d'équations et d'inéquations.

Fonction exponentielle de base

La forme mathématique de la fonction exponentielle est :

f(x) = e^x

Ici, x peut être n'importe quel nombre réel. L'exponentielle se distingue par le fait qu'elle croît plus rapidement que toute autre fonction polynomiale ou logarithmique quand x augmente.

Propriétés de la fonction exponentielle

Les principales propriétés de la fonction exponentielle incluent :

• Sa dérivée et sa primitive sont identiques à la fonction elle-même : $(e^x)\text{'}=e^x$ et $\int e^{x}dx=e^x+C$
• Pour tout réel $x$, $e^x>0$
• La fonction exponentielle est strictement croissante sur $R$
• $e^0=1$

Dérivation et intégration de la fonction exponentielle

Dériver et intégrer la fonction exponentielle est particulièrement simple grâce à ses propriétés uniques. Voyons quelques exemples pratiques pour illustrer leur utilité.

Calcul de la dérivée

La dérivée de la fonction exponentielle $f\left(x\right)=e^x$ est également $e^x$. Cela signifie que si nous avons une fonction $g\left(x\right)=e^{kx}$, sa dérivée sera :

$g\text{'}\left(x\right)=k*e^{kx}$

Exemple :

$Sih\left(x\right)=e^{3x}$, alors $h\text{'}\left(x\right)=3*e^{3x}$.

Calcul de l'intégrale

L'intégrale de la fonction exponentielle suit directement de la propriété fondamentale citée plus tôt :

$\int e^{x}dx=e^x+C$

Pour une fonction sous la forme $f\left(x\right)=e^{kx}$ :

$\int e^{kx}dx=\frac{1}{k}*e^{kx}+C$

Exemple :

$Sig\left(x\right)=e^{2x}$, alors $\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}*e^{2x}+C$.

Résolution d'équations exponentielles

Les équations exponentielles peuvent parfois paraître complexes, mais en utilisant les logarithmes, elles deviennent beaucoup plus faciles à gérer.

Utilisation des logarithmes

Pour résoudre une équation de la forme :

$e^x=a$

Il suffit d'appliquer le logarithme népérien des deux côtés de l'équation :

$\ln \left(e^x\right)=\ln \left(a\right)$

Ce qui donne $x=\ln \left(a\right)$.

Exemples de résolutions

Supposons que nous devons résoudre : $e^{2x}=5$

Nous appliquons le logarithme népérien aux deux côtés :

$\ln \left(e^{2x}\right)=\ln \left(5\right)$ ce qui nous donne $2x=\ln \left(5\right)$

Donc $x=\frac{\ln }{5}/2$.

Inéquations exponentielles

Les inéquations impliquant des exponentielles suivent des principes similaires à celles relatives aux équations, mais avec quelques nuances supplémentaires.

Considérations clés

Lorsque nous avons une inéquation telle que $e^x>b$ :

On applique le logarithme népérien des deux côtés :

$\ln \left(e^x\right)>\ln \left(b\right)$

Ce qui simplifie à :

$x>\ln \left(b\right)$

Exemple :

Résolvons $e^{x+1}\le 4$.

Appliquons les logs :

$\ln \left(e^{x+1}\right)\le \ln \left(4\right)$

$(x+1)\le \ln \left(4\right)$

Donc $x\le \ln \left(4\right)-1$

Applications et exercices pratiques

L'utilisation pratique de la fonction exponentielle est étendue. Elle permet de modéliser la croissance continue, ce qui est vital en finance et sciences naturelles.

Application en finance

En finance, la formule de capitalisation continue utilise la fonction exponentielle :

A = P e^rt

Où :

• A est le montant final
• P est le principal initial
• r est le taux d'intérêt annuel
• t est le temps en années

Par exemple, si vous investissez 1000 € à un taux d'intérêt continuellement composé de 5 % pendant 3 ans :

A = 1000 * e^0.05*3 ≈ 1161,83 €.

Exercices pratiques

Pour s'assurer de bien comprendre, voici quelques exercices :

1. Calculez la dérivée de $f\left(x\right)=e^{4x}$.
2. Simplifiez l'expression $\ln \left(e^{2x}\right)$.
3. Résolvez l'équation $e^{3x}=9$.
4. Intégrez $g\left(x\right)=e^{-2x}$.
5. Résolvez l'inéquation $e^{x-1}\ge 7$.

Représentation graphique de la fonction exponentielle

Comprendre la courbe d'une fonction exponentielle aide grandement dans l'interprétation des données et la visualisation des solutions.

Caractéristiques de la courbe

La courbe de $y=e^x$ a les caractéristiques suivantes :

• Traverse le point $(0,1)$
• Est strictement croissante
• Ne touche jamais l'axe des $x$, restant toujours positive
• Asymptote horizontale $y=0$

Variation et asymptotes

Lorsqu'on analyse les variations :

1. Sur $(-\infty ,\infty )$, $e^x$ est toujours croissant
2. Asymptote horizontale à $x$ tend vers $-\infty$ : $y=0$

Ces caractéristiques sont essentielles pour comprendre comment manipuler et appliquer la fonction exponentielle dans divers contextes mathématiques et scientifiques.