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Comment utiliser la fonction exponentielle en maths : fiche de révisions

William Mievre - Mis à jour le 

La fonction exponentielle est une des fonctions fondamentales en mathématiques, utile dans divers domaines tels que les calculs financiers, la modélisation physique et l'analyse statistique. Comprendre son utilisation, ses propriétés et sa représentation graphique peut grandement aider lors des examens. Dans cette fiche de révisions, nous allons explorer de manière détaillée les différents aspects de la fonction exponentielle.

Formules Fonction Exponentielle

Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est notée exp(x) ou ex, où e représente un nombre irrationnel approximé à 2,71828. La fonction a plusieurs caractéristiques intéressantes qui facilitent la résolution d'équations et d'inéquations.

Fonction exponentielle de base

La forme mathématique de la fonction exponentielle est :

f(x) = ex

Ici, x peut être n'importe quel nombre réel. L'exponentielle se distingue par le fait qu'elle croît plus rapidement que toute autre fonction polynomiale ou logarithmique quand x augmente.

Propriétés de la fonction exponentielle

Les principales propriétés de la fonction exponentielle incluent :

  • Sa dérivée et sa primitive sont identiques à la fonction elle-même : (ex)' = ex et ex dx = ex + C
  • Pour tout réel x, ex > 0
  • La fonction exponentielle est strictement croissante sur R
  • e0 = 1

Dérivation et intégration de la fonction exponentielle

Dériver et intégrer la fonction exponentielle est particulièrement simple grâce à ses propriétés uniques. Voyons quelques exemples pratiques pour illustrer leur utilité.

Calcul de la dérivée

La dérivée de la fonction exponentielle f(x) = ex est également ex. Cela signifie que si nous avons une fonction g(x) = ekx, sa dérivée sera :

g'(x) = k * ekx

Exemple :

Si h(x) = e3x, alors h'(x) = 3 * e3x.

Calcul de l'intégrale

L'intégrale de la fonction exponentielle suit directement de la propriété fondamentale citée plus tôt :

ex dx = ex + C

Pour une fonction sous la forme f(x) = ekx :

ekx dx = 1k * ekx + C

Exemple :

Si g(x) = e2x, alors e2x dx = 12 * e2x + C.

Image qui représente la Fonction Exponentielle

Résolution d'équations exponentielles

Les équations exponentielles peuvent parfois paraître complexes, mais en utilisant les logarithmes, elles deviennent beaucoup plus faciles à gérer.

Utilisation des logarithmes

Pour résoudre une équation de la forme :

ex = a

Il suffit d'appliquer le logarithme népérien des deux côtés de l'équation :

ln(ex) = ln(a)

Ce qui donne x = ln(a).

Exemples de résolutions

Supposons que nous devons résoudre : e2x = 5

Nous appliquons le logarithme népérien aux deux côtés :

ln(e2x) = ln(5) ce qui nous donne 2x = ln(5)

Donc x = ln5 / 2.

Inéquations exponentielles

Les inéquations impliquant des exponentielles suivent des principes similaires à celles relatives aux équations, mais avec quelques nuances supplémentaires.

Considérations clés

Lorsque nous avons une inéquation telle que ex > b :

On applique le logarithme népérien des deux côtés :

ln(ex) > ln(b)

Ce qui simplifie à :

x > ln(b)

Exemple :

Résolvons ex + 1 4.

Appliquons les logs :

ln(ex + 1) ln(4)

(x + 1) ln(4)

Donc x ln(4) - 1

Applications et exercices pratiques

L'utilisation pratique de la fonction exponentielle est étendue. Elle permet de modéliser la croissance continue, ce qui est vital en finance et sciences naturelles.

Application en finance

En finance, la formule de capitalisation continue utilise la fonction exponentielle :

A = P ert

Où :

  • A est le montant final
  • P est le principal initial
  • r est le taux d'intérêt annuel
  • t est le temps en années

Par exemple, si vous investissez 1000 € à un taux d'intérêt continuellement composé de 5 % pendant 3 ans :

A = 1000 * e0.05*3 ≈ 1161,83 €.

Exercices pratiques

Pour s'assurer de bien comprendre, voici quelques exercices :

  1. Calculez la dérivée de f(x) = e4x.
  2. Simplifiez l'expression ln(e2x).
  3. Résolvez l'équation e3x = 9.
  4. Intégrez g(x) = e-2x.
  5. Résolvez l'inéquation ex - 1 7.

Représentation graphique de la fonction exponentielle

Comprendre la courbe d'une fonction exponentielle aide grandement dans l'interprétation des données et la visualisation des solutions.

Caractéristiques de la courbe

La courbe de y = ex a les caractéristiques suivantes :

  • Traverse le point (0,1)
  • Est strictement croissante
  • Ne touche jamais l'axe des x, restant toujours positive
  • Asymptote horizontale y = 0

Variation et asymptotes

Lorsqu'on analyse les variations :

  1. Sur (-∞,), ex est toujours croissant
  2. Asymptote horizontale à x tend vers -∞ : y = 0

Ces caractéristiques sont essentielles pour comprendre comment manipuler et appliquer la fonction exponentielle dans divers contextes mathématiques et scientifiques.

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William Mievre

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP (3e meilleure école de commerce française), j'ai co-fondé Les Sherpas, une entreprise innovante dans le secteur de l'EdTech spécialisée dans le soutien scolaire.Avec 10 années d'expérience dans les cours particuliers, ma passion réside dans l'éducation et le développement personnel. Mon objectif est de vous offrir des conseils pratiques et éprouvés pour aider vos enfants à réussir et à s'épanouir dans leur parcours scolaire. A très bientôt ✌️💖 !