Équations du mouvement en ligne droite : définitions et exemples

Définition et concepts de base

Mouvement rectiligne et référentiel cartésien

Lorsqu'on parle de mouvement rectiligne, on fait référence à un déplacement qui se fait suivant une trajectoire droite. Ce type de mouvement peut être étudié efficacement en utilisant un référentiel cartésien, où la position d'un objet est déterminée par ses coordonnées sur un axe.

Par exemple, imaginons un train se déplaçant sur une voie ferroviaire parfaitement droite. La position du train à un moment donné peut être définie par une coordonnée unique sur cette voie. Cela simplifie énormément les calculs par rapport à des mouvements plus complexes qui impliquent plusieurs dimensions.

Vitesse et accélération

Deux notions cruciales dans l'étude des équations de mouvement sont la vitesse et l'accélération. La vitesse peut être constante ou varier avec le temps. On distingue deux types de vitesses :

• Vitesse moyenne : le rapport entre le déplacement total d'un objet et le temps mis pour effectuer ce déplacement.
• Vitesse instantanée : la vitesse à un moment précis, c'est-à-dire la dérivée de la position par rapport au temps.

L'accélération représente quant à elle le taux de variation de la vitesse. Dans de nombreux cas pratiques, surtout quand force et friction entrent en jeu, l'accélération peut être traitée comme constante, menant au concept de mrua (mouvement rectiligne uniformément accéléré).

Les principales équations du mouvement en ligne droite

Équation de la vitesse

La première équation clé concerne la relation entre la vitesse, l'accélération et le temps. Elle s'écrit ainsi :

v = v₀ + at

où v est la vitesse finale, v₀ la vitesse initiale, a l' accélération constante, et t le temps écoulé.

Prenons l'exemple d'une voiture accélérant de manière uniforme depuis le repos (vitesse initiale de zéro). Si elle accélère à 2 m/s² pendant 5 secondes, sa vitesse finale sera donnée par :

v = 0 + 2 * 5 = 10 m/s

Équation du déplacement

La deuxième équation importante permet de trouver le déplacement d'un objet à tout moment t. Cette équation est :

d = v₀t + 0.5at²

où d est le déplacement, v₀ la vitesse initiale, a l'accélération constante, et t le temps.

Pour reprendre notre exemple de la voiture, si celle-ci démarre avec une vitesse initiale de 0, après 5 secondes d'accélération à 2 m/s², son déplacement sera :

d = 0 * 5 + 0.5 * 2 * 5² = 25 mètres

Équation de la vitesse indépendante du temps

Il existe aussi une formule très utile qui ne dépend pas du temps directement mais relie la vitesse, l'accélération et le déplacement :

v² = v₀² + 2ad

Ainsi, si nous voulons savoir quelle sera la vitesse d'une voiture après avoir parcouru une certaine distance sous une accélération constante, on peut utiliser cette formule sans connaître le temps exact. Par exemple, si la voiture a déjà atteint une vitesse de 10 m/s sur une distance de 25 mètres avec une accélération de 2 m/s², nous pouvons vérifier que :

10² = 0 + 2 * 2 * 25

et donc cela confirme bien les valeurs trouvées précédemment.

Applications pratiques des équations du mouvement rectiligne

Chute libre

L'une des applications classiques est l'analyse de la chute libre. Lorsqu'un objet tombe sans résistance de l'air, il subit une accélération constante due à la gravité, approximativement 9.8 m/s². En appliquant les équations de mouvement, il est possible de prédire le temps que mettra un objet pour atteindre le sol et sa vitesse à l'impact. Une autre application intéressante concerne le mouvement et la cinématique.

Imaginons une pierre lâchée d'une hauteur de 50 mètres. Pour calculer le temps nécessaire avant qu'elle touche le sol, nous utilisons l'équation du déplacement avec v₀ = 0 :

d = 0.5 * g * t²

et donc :

50 = 0.5 * 9.8 * t² => t² = 10.204 => t ≈ 3.19 secondes

Sa vitesse à cet instant serait alors :

v = g * t = 9.8 * 3.19 ≈ 31.26 m/s

Conception de systèmes de transport

Dans le domaine de la conception des systèmes de transport, les équations de mouvement permettent d'optimiser les trajets, de gérer l'énergie consommée, et d'assurer la sécurité des véhicules. Par exemple, pour un métro automatisé, il est essentiel de calculer exactement comment et quand freiner pour arrêter le train pile à la station suivante. Une mauvaise estimation pourrait mener à des incidents graves.

Si un métro doit s'arrêter sur une distance de 100 mètres avec une décélération uniforme, son conducteur ou système automatique peut appliquer l'équation de la vitesse indépendamment du temps. En sachant que la vitesse initiale est de 20 m/s et qu'il doit arrêter complètement (v = 0), voici comment faire :

0 = 20² + 2 * (-a) * 100

Ce qui donne :

-400 = -200a => a = 2 m/s²

Donc, il faudra une décélération uniforme de 2 m/s² pour s'arrêter correctement.

Les équations de mouvement sont des outils puissants permettant de modéliser avec précision le mouvement rectiligne. Que ce soit pour étudier la chute libre ou pour concevoir des systèmes de transports efficaces, leur compréhension et application jouent un rôle crucial. Les exemples abordés montrent combien il est simple de prédire et d'analyser le comportement d'un objet lorsque certaines conditions sont remplies. Ces concepts restent fondamentaux pour toute personne intéressée par la physique ou l'ingénierie, et trouvent de nombreuses applications pratiques dans notre vie quotidienne.