Comment factoriser une expression algébrique en maths : techniques efficaces

Identifier le facteur commun

Lorsqu'on souhaite factoriser une expression, la première étape consiste souvent à identifier un facteur commun dans tous les termes de l'expression. Les facteurs communs facilitent grandement la simplification de l'expression.

Rechercher les coefficients communs

La recherche d'un coefficient numérique commun parmi les termes représente la méthode de base. Par exemple, pour factoriser $6x+12y$, le facteur commun ici est $6$ :

• $6x$ = $6*x$
• $12y$ = $6*2y$

Cela nous permet d'écrire l'expression sous forme factorisée : $6(x+2y)$.

Facteur algébrique commun

Parfois, le terme commun pourrait inclure des variables. Prenons l'exemple de l'expression suivante : $x^{2}y+x{y}^2$. Le facteur commun ici est xy :

• $x^{2}y$ = $xy*x$
• $x{y}^2$ = $xy*y$

L'expression factorisée devient alors : $xy(x+y)$.

Utiliser les identités remarquables

Les identités remarquables sont des formules prêtes à l'emploi qui permettent de factoriser certaines expressions spécifiques rapidement et efficacement.

Formule du carré parfait

Cette technique utilise l'identité ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$. Par exemple, considérons l'expression $x^2+4x+4$ :

• $a=x$
• $b=2$

Ainsi, $x^2+4x+4$ peut se réécrire comme ${(x+2)}^2$.

Différence de carrés

Une autre identité remarquable utile est $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. Prenons l'exemple de $x^2-9$ :

• $a=x$
• $b=3$

Cela devient donc $(x+3)(x-3)$.

Factorisation par regroupement

Cette technique s'applique principalement aux polynômes en quatre termes en regroupant les termes par paires avant de les factoriser individuellement.

Exemple pratique

Pour illustrer cette méthode, prenons l'expression $x^3+x^2+x+1$. Regroupons les termes par paires :

• $(x^3+x^2)$
• $+(x+1)$

Pour chaque paire, extrayons les facteurs communs :

• $x^2(x+1)$
• $+1(x+1)$

Ainsi, l'expression factorisée devient $(x+1)(x^2+1)$.

Utiliser la somme et la différence de cubes

Il existe aussi des identités spécifiques pour la somme et la différence de cubes, telles que a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) et a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

Somme de cubes

Examinons l'expression $x^3+27$ :

• $a=x$
• $b=3(\mathrm{car}27=3^3)$

Par conséquent, elle peut être factorisée comme suit : $(x+3)(x^2-3x+9)$.

Différence de cubes

Prenons maintenant $x^3-8$ :

• $a=x$
• $b=2(\mathrm{car}8=2^3)$

La factorisation devient : $(x-2)(x^2+2x+4)$.

Factorisation de trinômes

Les trinômes de la forme $a{x}^2+bx+c$ peuvent souvent être factorisés en binômes grâce à diverses techniques, incluant la recherche de racines et d'autres approches algébriques.

Trinôme de forme simple

Considérons $x^2+5x+6$. L'objectif est de trouver deux nombres dont le produit est $6$ et la somme est $5$ :

• Produits possibles : $1*6$, $2*3$
• Somme : $2+3=5$

En conclusion, l'expression peut être factorizée sous la forme $(x+2)(x+3)$.

Trinôme avec un coefficient principal différent de 1

Un trinôme tel que $2x^2+7x+3$ nécessite un traitement différent. On recherche deux nombres dont le produit est $2*3=6$ et la somme est $7$ :

• Produit : $6$
• Somme : $7$ obtenue avec $1*6$

En réorganisant les termes : $2x^2+x+6x+3$ puis en factorisant par regroupement : $x(2x+1)+3(2x+1)$. Finalement, cela donne $(2x+1)(x+3)$.