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Comment factoriser une expression algébrique en maths : techniques efficaces

William Mievre - Mis à jour le 

La factorisation est un outil indispensable en maths pour simplifier les expressions algébriques. En utilisant différentes techniques de calcul, on peut transformer des expressions complexes en leurs facteurs plus simples. Cet article explore les méthodes variées pour y parvenir, que ce soit par identification des facteurs communs, l'application des identités remarquables ou d'autres astuces mathématiques.

Factoriser Une Expression

Identifier le facteur commun

Lorsqu'on souhaite factoriser une expression, la première étape consiste souvent à identifier un facteur commun dans tous les termes de l'expression. Les facteurs communs facilitent grandement la simplification de l'expression.

Rechercher les coefficients communs

La recherche d'un coefficient numérique commun parmi les termes représente la méthode de base. Par exemple, pour factoriser 6x + 12y, le facteur commun ici est 6 :

  • 6x = 6 * x
  • 12y = 6 * 2y

Cela nous permet d'écrire l'expression sous forme factorisée : 6(x + 2y).

Facteur algébrique commun

Parfois, le terme commun pourrait inclure des variables. Prenons l'exemple de l'expression suivante : x2y + xy2. Le facteur commun ici est xy :

  • x2y = xy * x
  • xy2 = xy * y

L'expression factorisée devient alors : xy(x + y).

Utiliser les identités remarquables

Les identités remarquables sont des formules prêtes à l'emploi qui permettent de factoriser certaines expressions spécifiques rapidement et efficacement.

Formule du carré parfait

Cette technique utilise l'identité (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Par exemple, considérons l'expression x2 + 4x + 4 :

  • a = x
  • b = 2

Ainsi, x2 + 4x + 4 peut se réécrire comme (x + 2)2.

Différence de carrés

Une autre identité remarquable utile est a2 - b2 = (a + b) (a - b). Prenons l'exemple de x2 - 9 :

  • a = x
  • b = 3

Cela devient donc (x + 3) (x - 3).

Image qui représente la Factorisaton d'Une Expression

Factorisation par regroupement

Cette technique s'applique principalement aux polynômes en quatre termes en regroupant les termes par paires avant de les factoriser individuellement.

Exemple pratique

Pour illustrer cette méthode, prenons l'expression x3 + x2 + x + 1. Regroupons les termes par paires :

  • (x3 + x2)
  • + (x + 1)

Pour chaque paire, extrayons les facteurs communs :

  • x2(x + 1)
  • + 1(x + 1)

Ainsi, l'expression factorisée devient (x + 1)(x2 + 1).

Utiliser la somme et la différence de cubes

Il existe aussi des identités spécifiques pour la somme et la différence de cubes, telles que a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) et a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).

Somme de cubes

Examinons l'expression x3 + 27 :

  • a = x
  • b = 3 (car 27 = 33)

Par conséquent, elle peut être factorisée comme suit : (x + 3)(x2 - 3x + 9).

Différence de cubes

Prenons maintenant x3 - 8 :

  • a = x
  • b = 2 (car 8 = 23)

La factorisation devient : (x - 2)(x2 + 2x + 4).

Factorisation de trinômes

Les trinômes de la forme ax2 + bx + c peuvent souvent être factorisés en binômes grâce à diverses techniques, incluant la recherche de racines et d'autres approches algébriques.

Trinôme de forme simple

Considérons x2 + 5x + 6. L'objectif est de trouver deux nombres dont le produit est 6 et la somme est 5 :

  • Produits possibles : 1*6, 2*3
  • Somme : 2 + 3 = 5

En conclusion, l'expression peut être factorizée sous la forme (x + 2)(x + 3).

Trinôme avec un coefficient principal différent de 1

Un trinôme tel que 2x2 + 7x + 3 nécessite un traitement différent. On recherche deux nombres dont le produit est 2*3 = 6 et la somme est 7 :

  • Produit : 6
  • Somme : 7 obtenue avec 1*6

En réorganisant les termes : 2x2 + x + 6x + 3 puis en factorisant par regroupement : x(2x + 1) + 3(2x + 1). Finalement, cela donne (2x + 1)(x + 3).

Voici d'autres astuces et méthodes utiles pour réussir en maths :

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William Mievre

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP (3e meilleure école de commerce française), j'ai co-fondé Les Sherpas, une entreprise innovante dans le secteur de l'EdTech spécialisée dans le soutien scolaire.Avec 10 années d'expérience dans les cours particuliers, ma passion réside dans l'éducation et le développement personnel. Mon objectif est de vous offrir des conseils pratiques et éprouvés pour aider vos enfants à réussir et à s'épanouir dans leur parcours scolaire. A très bientôt ✌️💖 !