Elle est loin l’époque où vous portiez votre cartable avec une seule bretelle sur l’épaule, où vous découvriez les bancs du collège et où vous alliez aux cours de M. Pichard avec la boule au ventre parce que vous n’étiez pas très bon en maths. 😓
On est sympa, on va vous replonger dans cette époque merveilleuse. Mais promis, cette fois-ci, vous serez des génies des mathématiques et vous allez même pouvoir aider votre enfant à faire ses devoirs. Prêt ? C’est parti ! 🚀
Les fractions, c’est quoi ? 🧐
Reprenons les bases mathématiques du début du collège et faisons un récap du cours sur les fractions !
Définitions 🪶
Une fraction est simplement une manière d’écrire un nombre rationnel sous forme d’un quotient (le résultat d’une division) de deux nombres entiers. La fraction a/b exprime le quotient de a par b (a ÷ b). ✍️
Exemple : La fraction 1/4 équivaut à 1 ÷ 4, ce qui vaut 0,25. Donc 1/4 = 0,25.
Parfois, la fraction n’est pas équivalente à un nombre fini, comme le fameux 1/3 qui est égale à 0,333333 (avec des 3 à l’infini), on écrit donc 1/3 ≈ 0,33. ♾️
D’ailleurs, dans a/b, on appelle « a » le numérateur et « b » le dénominateur.
Les fractions décimales 👀
Avec 1/4 et 1/3, on a essayé de donner la valeur d’une fraction sous forme d’un nombre (0,25 ou 0,33), à l’inverse, on peut aussi très bien partir d’un nombre décimal et lui donner la forme d’une fraction. 👍
Dès lors, lorsque vous avez un nombre décimal, vous pouvez toujours le ramener sous forme de fraction en utilisant un dénominateur tel que 10, 100, 1000, etc. C’est ce qu’on nomme « une fraction décimale ». 💯
Exemple :
3,4 = 34/10
1,12 = 112/100.
2,135 = 2 135/1000.
Les fractions égales 🟰
Voici une propriété importante dans l’univers des fractions : on ne change pas une fraction lorsqu’on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre. ✖️
En bref, si vous avez la fraction suivante : 3/4 (égale à 0,75 d’ailleurs), vous n’allez pas changer sa valeur si vous multipliez le « 3 » et le « 4 » par des nombres identiques. Ce qui nous donne, par exemple, 3/4 = 6/8 = 9/12 = 30/40. 🧠
💡 La multiplication de deux fractions
Pour multiplier deux nombres fractionnaires, on multiplie les deux numérateurs entre eux et, en parallèle, les deux dénominateurs entre eux aussi.
Ce qui nous donne : (4/3) x (5/8)
= (4 x 5) / (3 x 8)
= 20/24
= 5/6 (on simplifie toujours si on le peut et 5/6 est une simplification de 20/24, on a juste divisé par « 4 » le dénominateur et le numérateur de la fraction).
Le quotient ➗
Reprenons l’exemple de 3/4 = 6/8 = 9/12. Pour passer de 3/4 à 6/8 on a multiplié en haut (numérateur) et en bas (dénominateur) par « 2 » puis on a multiplié par « 3 » pour avoir 9/12.
Pour ce qui est de la division, c’est la même chose que la multiplication, mais dans le sens inverse, on peut dire que pour passer de 9/12 à 3/4, on a fait une division : en haut et en bas, par « 3 » et pour aller de 6/8 à 3/4, une division du numérateur et du dénominateur par « 2 ». 👏
En résumé, pour revenir à notre propriété sur la multiplication, on peut donc aussi dire qu’une fraction ne change pas lorsqu’on divise son numérateur et son dénominateur par le même nombre. 💬
👁️🗨️ Le quotient de deux fractions
Sachez qu’on a la propriété suivante : a/b ÷ cd
= (a/b) / (c/d)
= (a/b) x (d/c)
Exemple :
(1/3) / (4/6)
= 1/3 x 6/4
= 6/12
Pour résumer cette partie, on peut simplement dire que deux fractions sont égales quand leurs numérateurs et dénominateurs sont proportionnels. Autrement dit, la valeur d’une fraction ne change pas quand on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. ⭐
➕ Et l’addition d’un nombre alors, ça change la fraction ?
Si on prend 3/4 et que l’on ajoute « 5 » au numérateur et « 5 » au dénominateur, cela va nous donner (3 + 5) / (4 + 5), donc 8/9. Mais 8/9 n’est pas égal à 0,75 mais environ à 0,9.
Résultat : si on additionne un même nombre au numérateur et au dénominateur, on n’obtient pas nécessairement une fraction égale à celle de base.
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Réduire au même dénominateur 👁️
Pour simplifier les calculs, il faut évidemment chercher à mettre les fractions au même dénominateur si on veut plus facilement faire des calculs (surtout additions et soustractions) ou bien même comparer deux fractions entre elles.
Comment faire ? 🤔
Prenons deux fractions : 4/6 et 8/18. Compliqué de comparer ou faire une addition/une soustraction entre des sixièmes et des dix-huitièmes, vous êtes bien d’accord ? Pour nous faciliter la tâche, on va mettre ces deux nombres fractionnaires au même dénominateur. 🔥
Pour 4/6, on peut effectivement passer du dénominateur « 6 » à « 18 ». On va donc multiplier 6 par 3, mais il faut aussi multiplier par le même nombre (3) le numérateur pour ne pas changer la fraction. On a donc 4/6 = (4 x 3) / (6×3) = 12/18. 🤯
Les deux fractions 12/18 et 8/18 sont donc au même dénominateur.
Comparer des fractions 🔎
Dès lors que les fractions sont sur le même dénominateur, on peut les comparer. Il était difficile de savoir quelle fraction était plus grande entre 4/6 et 8/18, mais maintenant qu’on a 8/18 et 12/18 on peut dire que :
12/18 > 8/18 et donc que 4/6 > 8/18.
Additions et soustractions 👌
Mettre au même dénominateur, ça sert aussi à faire des additions et des soustractions plus facilement.
Même dénominateur ✔️
Lorsqu’on additionne deux fractions qui ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur.
Voici une jolie propriété pour que cela soit plus clair : a/D + b/D = (a + b) / D. 📚
Exemple :
6/5 + 7/5
= (6 + 7) / 5
= 13/5.
La propriété est la même pour les soustractions que celle pour les additions, ce qui nous donne donc, par exemple :
8/3 – 4/3
= (8 – 4) / 3
= 4/3.
Pas le même dénominateur 😬
Cette fois-ci, le dénominateur des deux fractions n’est pas le même et nous voilà bien embêtés. Comment faire pour les additionner ou les soustraire ?
Prenons un exemple : 5/8 + 2/4. Dès lors, comment calculer des huitièmes avec des quarts ? C’est très simple, dans ce cas, car 8 est un multiple de 4 et on va pouvoir ramener la fraction 2/4 sur le dénominateur « 8 ». 😀
Ce qui nous donne 5/8 + 2/4
= 5/8 + (2 x 2) / (4 x 2)
= 5/8 + 4/8. Rappelez-vous, on ne change pas une fraction en multipliant son numérateur et son dénominateur par le même nombre, la fraction 2/4 est bien égale à 4/8.
= 9/8.
Le principe est toujours le même pour la soustraction, 1/5 – 2/15
= (1 x 3) / (5 x 3) – 2/15
= 3/15 – 2/15
= 1/15.
Recherche d’un multiple commun 🤝
Prenons l’addition « 3/9 + 4/6 ». Au premier abord, on est dans la panade, car les deux fractions n’ont pas le même dénominateur et qui plus est, 9 n’est pas un multiple de 6 et inversement. 💢
Pour réaliser le calcul, il faut donc rechercher un multiple commun (le plus petit possible) de 6 et de 9. Quel est ce fameux multiple ? Roulement de tambour, c’est 18. Eh oui, 6 x 3 = 18 et 9 x 2 = 18 aussi. 🍀
Dès lors, 3/9 + 4/6
= (3 x 2) / (9 x 2) + (4 x 3) / (6 x 3)
= 6/18 + 12/18
= 18/18
= 1.
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Récap ✅
1️⃣ Une fraction est simplement une manière d’écrire un nombre rationnel sous forme d’un quotient de deux nombres entiers. La fraction a/b exprime le quotient de a par b (a ÷ b).
2️⃣ Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est égal à 10, 100, 1000, etc. Elle est utilisée afin d’exprimer un nombre décimal sous forme de fraction.
3️⃣ On ne change pas une fraction lorsqu’on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par le même nombre.
4️⃣ Multiplier deux nombres fractionnaires, cela nous donne : (a/b) x (c/d) = (a x c) / (b x d).
5️⃣ Pour diviser deux fractions entre elles, cela nous donne : a/b ÷ cd
= (a/b) / (c/d)
= (a/b) x (d/c).
6️⃣ Lorsqu’on additionne (ou soustrait) deux fractions qui ont le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur. C’est pour cela que pour les additions et les soustractions, on cherche toujours à ramener les deux fractions sur le même dénominateur afin de faire le calcul en toute simplicité.
Voilà voilà, les fractions n’ont plus de secrets pour vous et vous pouvez désormais répondre aux questions de votre enfant et l’aider en maths. 🫂
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