Votre ado vous parle des équations et des inéquations et cela vous rappelle de mauvais souvenirs de mathématiques. 💭
Pas d’inquiétude ! Nous allons tout vous expliquer pour que vous soyez de vrais pros à la table des devoirs ! 🦸
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Comprendre les équations
Définition
Résoudre une équation, c’est déterminer toutes les valeurs de l’inconnue (ou des inconnues) pour lesquelles l’égalité est vérifiée. Chacune de ces valeurs est appelée solution de l’équation. ✅
Équation du premier degré⚙️
On appelle équation du premier degré à une inconnue toute équation pouvant se ramener à une équation du type ax = b, où x est l’inconnue.
Exemples
8x + 6 = -5x +26
8x + 5x = 26 – 6
13x = 20
x = 20 ⁄ 13
La solution de l’équation est 20 ⁄ 13.
-3(2x – 6) + 12 = 6 – 4 (x +1)
-6x + 18 + 12 = -6 – 4x – 4
-6x + 4x = -6 -4 – 18 – 12
-2x = -40
x = -40⁄-2
x = 20
La solution de l’équation est 20.
Équation du second degré⚙️
Une équation du second degré est une équation de la forme ax² + bx +c = 0.
Exemple :
Pour cet exemple, prenons a = 1, b = -3, et c = 2. Donc, notre équation devient x²−3x+2=0
Pour résoudre cette équation, nous allons utiliser les formule suivante : x1 = [-b +√(b² – 4a)] ⁄[2a] et
x2 = [-b -√(b² – 4a)] ⁄[2a].
x1 = [3 +√((-3)² – 4 X 1 X2)] ⁄ [2 X 1] et x2 = [3 – √((-3)² – 4 X 1 X2)] ⁄ [2 X 1]
x1 = [3 +√(9 – 8)] ⁄ 2 et x2 = [3 -√(9 – 8)] ⁄ 2
Donc les solutions sont x1 = [3 +1]⁄2 = 2 et x2 = [3 -1]⁄2 = 1.
Équation produit⚙️
Une équation produit est de la forme f(x) X g(x) = a
Exemples
Soit l’équation (3𝑥−5)(𝑥+2)=4
(3𝑥−5)(𝑥+2)=4
On développe l’équation.
3x² +x -10 = 4
3x² +x – 14 = 0
Ensuite, on utilise la formule suivante : x1 = [-b +√(b² – 4a)] ⁄[2a] et x2 = [-b -√(b² – 4a)] ⁄[2a].
x1 = [-1 +√(1² – 4 X 3 X (-14))] ⁄[2 X 3] x2 = [-1 -√(1² – 4 X 3 X (-14))] ⁄[2 X 3]
x1 = [-1 +13] ⁄[2 X 3] = 2 x2 = [-1 -13] ⁄[2 X 3] = -73
C’est-à-dire x1 = 2 ou x2 = -73
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Équation quotient ⚙️
Une équation quotient est de la forme f(x) ⁄g(x) = a
Exemples
(x +2) ⁄(3x+4) =4
x + 2 = 4 (3x + 4)
x + 2 = 12x +16
x = 12x + 14
-11x = 14
x = -14 ⁄-11
En passant, si votre ado a des difficultés en mathématiques, prenez-lui des cours de soutien en maths pour l’aider à remonter sa moyenne !
Résolution d’équations produits nuls
Produit de facteurs égal à 0
On appelle équation produit nul toute équation écrite sous la forme d’un produit d’expressions égal à 0.
Propriété 🚨
Un produit de facteurs est nul (donc égale à 0) si au moins l’un des facteurs est nul.
Exemple :
(2x – 1) (x + 5) = 0
2x – 1 = 0 ou x + 5 = 0
C’est-à-dire :
x = 12 ou x = -5
Les solutions de l’équation sont 12 et -5.
Remarque 💡
En factorisant (notamment à l’aide des identités remarquables), certaines équations peuvent se ramener à une équation produit. ✖️
Exemple
(x + 1)² – 4 = 0
(x + 1)² – 2² = 0
On factorise cette équation à l’aide d’une identité remarquable. ➗
a² – b² = (a + b)(a – b)
(x + 1 + 2)(x + 1 – 2) = 0
(x + 3)(x – 1) = 0
x + 3 = 0 ou x – 1 = 0
C’est-à-dire si :
x = -3 ou x = 1
Les solutions de l’équation sont donc : -3 et 1.
Les équations de la forme x² = a
Soit a un nombre. L’équation x² = a, d’inconnue x, admet :
➡️ Deux solutions x = √a et x = -√a si a > 0
➡️ Une solution x = 0 si a = 0
➡️ Aucune solution si a < 0
Exemples
L’équation x² = 81 a pour solutions x = √81 = 9 et x = -√81 = -9
L’équation x² = -12 n’a pas de solution car -12 < 0.
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Les inéquations
Après les équations, nous allons passer à la partie « inéquations ».
Définition
Soient a et b deux nombres.
Pour dire que a est supérieur ou égal à b, on note ab.
Pour dire que a est inférieur ou égal à b, on note ab.
Pour dire que a est strictement supérieur à b, on note a>b.
Pour dire que a est strictement inférieur à b, on note a<b.
Attention ! 🚨
Les différents types d’inéquations sont les mêmes que ceux des équations ( premier degré, second dégré, produit, quotient).
Propriété 🤔
➡️ On ne change pas le sens d’une inégalité si on ajoute (ou on soustrait) le même nombre aux deux membres de l’inégalité.
➡️ On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie (ou on divise) par un même nombre positif (pas égal à 0 dans le cas de la division) les deux membres de l’intégralité.
➡️ On change le sens d’une inégalité si on multiplie (ou on divise) par un même nombre négatif (pas égal à 0 dans le cas de la division) les deux membres de l’intégralité.
Exemple
3x – 6 ≤6x – 12
3x – 6x ≤ -12 + 6
-3x ≤ -6
x ≥ -6⁄-3
x ≥ 2
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Petit Récap’ 📜
✅ Les équations et les inéquations servent à trouver un ou plusieurs inconnus x.
✅ En mathématiques, il existe différents types d’équations et d’inéquations : premier degré (ax [< ou= ou>] b), second degré (ax² + bx +c [< ou= ou>] e), produit (f(x) X g(x) [< ou= ou>] a) et quotient (f(x) ⁄g(x) [< ou= ou>] a).
Clap de fin sur cet article ! On espère qu’il vous aura plu. Si votre ado rencontre des difficultés dans une matière, vous comptez sur les cours de soutien de maths en ligne des Sherpas pour l’aider. On vous revoit très vite ! 👋
