{"id":309277,"date":"2026-07-28T12:40:22","date_gmt":"2026-07-28T10:40:22","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=309277"},"modified":"2026-07-29T12:50:29","modified_gmt":"2026-07-29T10:50:29","slug":"serie-mathematique","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/serie-mathematique\/","title":{"rendered":"Les s\u00e9ries math\u00e9matiques et leur convergence : comprendre les fondements"},"content":{"rendered":"<section class=\"you-know\"><div class=\"you-know__title\"><p>\ud83e\udde0 \u00c0 retenir :<\/p><\/div><div class=\"you-know__text\"><ul>\n<li>Les s\u00e9ries math\u00e9matiques repr\u00e9sentent la somme infinie d\u2019une suite, et la convergence signifie que la somme partielle Sn tend vers une valeur finie.<\/li>\n<li>Une s\u00e9rie converge lorsque Sn tend vers une valeur finie L; elle diverge lorsque cette limite n\u2019existe pas.<\/li>\n<li>Des crit\u00e8res de convergence existent: crit\u00e8re de Cauchy, crit\u00e8re du rapport (d\u2019Alembert) et crit\u00e8re de comparaison.<\/li>\n<li>Applications pratiques et outils: calculs num\u00e9riques, r\u00e9solution d\u2019\u00e9quations diff\u00e9rentielles par s\u00e9ries et utilisation de logiciels pour explorer la convergence.<\/li>\n<\/ul><\/div><\/section><p>Les s\u00e9ries math\u00e9matiques jouent un r\u00f4le crucial dans divers domaines des sciences et du g\u00e9nie. Comprendre la notion de <em>convergence<\/em> dans ces s\u00e9ries est fondamental pour analyser la stabilit\u00e9 d\u2019une valeur, v\u00e9rifier la validit\u00e9 de certaines \u00e9quations ou d\u00e9duire des propri\u00e9t\u00e9s importantes sur les syst\u00e8mes \u00e9tudi\u00e9s. Cet article explore en d\u00e9tail ce qu\u2019est une s\u00e9rie math\u00e9matique, comment d\u00e9terminer sa convergence et les diff\u00e9rentes m\u00e9thodologies utilis\u00e9es \u00e0 cet effet.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"definition-dune-serie-mathematique\">D\u00e9finition d\u2019une s\u00e9rie math\u00e9matique<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"quest-ce-quune-serie\">Qu\u2019est-ce qu\u2019une s\u00e9rie ?<\/h3>\n\n<p>Une s\u00e9rie math\u00e9matique est d\u00e9finie comme la somme infinie de termes d\u2019une suite. Formellement, si nous avons une suite de nombres r\u00e9els (ou complexes) <math><mo>{<\/mo><msub><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><mo>}<\/mo><\/math>, alors sa s\u00e9rie associ\u00e9e est la somme <math><mi>S<\/mi> <mo>=<\/mo> <msub><mi>a<\/mi><mn>1<\/mn><\/msub> <mo>+<\/mo> <msub><mi>a<\/mi><mn>2<\/mn><\/msub> <mo>+<\/mo> <msub><mi>a<\/mi><mn>3<\/mn><\/msub> <mo>+<\/mo> <mo>&#x2026;<\/mo><\/math>. Cette expression peut \u00eatre not\u00e9e succinctement en utilisant le symbole sigma : <math><mo>&#8721;<\/mo><msub><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><\/math>.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"serie-convergente-versus-serie-divergente\">S\u00e9rie convergente versus s\u00e9rie divergente<\/h3>\n\n<p>Une s\u00e9rie est dite <strong>convergente<\/strong> si la somme de ses termes tend vers une valeur finie lorsque le nombre de termes augmente. Autrement dit, il existe une limite <math><mi>L<\/mi><\/math> telle que <math><mo>lim<\/mo> <mo>(<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo>&#x2192;<\/mo> <mn>&#x221E;<\/mn> <mo>)<\/mo> <msub><mi>S<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub> <mo>=<\/mo> <mi>L<\/mi><\/math>, o\u00f9 <math><msub><mi>S<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><\/math> repr\u00e9sente la somme des <math><mi>n<\/mi><\/math> premiers termes. En revanche, une s\u00e9rie est dite <strong>divergente<\/strong> si cette limite n\u2019existe pas ou est infinie.<\/p>\n\n<div style=\"position:relative;overflow:hidden;padding-top:56.25%\"><iframe style=\"position:absolute;top:0;left:0;width:95%;height:100%;border:0\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/CgD429MStdY?si=XqHYn0F0KyWQ_Qoq&#038;controls=0\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n \n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"criteres-de-convergence\">Crit\u00e8res de convergence<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"le-critere-de-cauchy\">Le crit\u00e8re de Cauchy<\/h3>\n\n<p>Selon le <strong>crit\u00e8re de Cauchy<\/strong>, une s\u00e9rie <math><mo>&#8721;<\/mo><msub><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><\/math> converge si, pour tout <math><mi>&#949;<\/mi> <mo>&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>, il existe un entier <math><mi>N<\/mi><\/math> tel que pour tous les entiers <math><mi>m<\/mi><\/math>, <math><mi>n<\/mi> <mo>&ge;<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math>, <math><mo>|<\/mo><msub><mi>S<\/mi><mi>m<\/mi><\/msub> <mo>&#8211;<\/mo> <msub><mi>S<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><mo>|<\/mo> <mo>&lt;<\/mo> <mi>&#949;<\/mi><\/math>. Cela signifie que les sommes partielles de la s\u00e9rie deviennent arbitrairement proches lorsqu\u2019on avance suffisamment loin dans la s\u00e9rie.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"le-critere-de-dalembert-critere-du-rapport\">Le crit\u00e8re de d\u2019Alembert (crit\u00e8re du rapport)<\/h3>\n\n<p>Ce crit\u00e8re stipule qu\u2019une s\u00e9rie <math><mo>&#8721;<\/mo><msub><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><\/math> converge si le rapport des termes successifs tend vers une limite inf\u00e9rieure \u00e0 1. Formulons cela avec plus de rigueur : si <math><mo>|<\/mo><mfrac><msub><mi>a<\/mi><mi>n+1<\/mi><\/msub><msub><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><\/mfrac><mo>|<\/mo> <mo>&#x2192;<\/mo> <mi>L<\/mi> <mo>&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> pour <math><mi>n<\/mi><\/math> tendant vers l\u2019infini, alors la s\u00e9rie converge.<\/p>\n<ul>\n  <li>Si <math><mi>L<\/mi> <mo>&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math>, la s\u00e9rie <math><mo>&#8721;<\/mo><msub><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><\/math> converge.<\/li>\n  <li>Si <math><mi>L<\/mi> <mo>&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math>, la s\u00e9rie diverge.<\/li>\n  <li>Si <math><mi>L<\/mi> <mo>=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math>, le test est inconclusif.<\/li>\n<\/ul>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"le-critere-de-comparaison\">Le crit\u00e8re de comparaison<\/h3>\n\n<p>Comparons deux s\u00e9ries <math><mo>&#x2211;<\/mo><msub><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><\/math> et <math><mo>&#x2211;<\/mo><msub><mi>b<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><\/math>. Si <math><mn>0<\/mn><mo>&#x2264;<\/mo><msub><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><mo>&#x2264;<\/mo><msub><mi>b<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><\/math> et que <math><mo>&#x2211;<\/mo><msub><mi>b<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><\/math> est une s\u00e9rie <strong>convergente<\/strong>, alors <math><mo>&#x2211;<\/mo><msub><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><\/math> converge \u00e9galement. Ce crit\u00e8re est particuli\u00e8rement utile pour comparer une s\u00e9rie complexe \u00e0 une s\u00e9rie plus simple dont on conna\u00eet d\u00e9j\u00e0 la convergence.<\/p>\n\n<div style=\"justify-content:center;align-items:center;margin-top:5px;margin-bottom:5px\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/xapbm7c37i.cloudimg.io\/https:\/\/sherpas.com\/p\/files\/photos\/maths\/serie-mathematique-2.webp?w=640&#038;q=95\" alt=\"Image qui repr\u00e9sente les S\u00e9ries Math\u00e9matiques\" width=\"640\" height=\"400\" style=\"width:100%;max-width:500px;height:auto;margin:0.9rem 0 0.9rem 0\" loading=\"lazy\"><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"applications-pratiques-des-series-convergentes\">Applications pratiques des s\u00e9ries convergentes<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"calculer-des-valeurs-approchees\">Calculer des valeurs approch\u00e9es<\/h3>\n\n<p>Les s\u00e9ries convergentes permettent de calculer des <strong>valeurs approch\u00e9es<\/strong> de fonctions ou constantes math\u00e9matiques. Par exemple, la constante \u03c0 peut \u00eatre approxim\u00e9e par la s\u00e9rie <math><mrow><mo>&#x2211;<\/mo><mfrac><msup><mo>&#8211;<\/mo><mi>n<\/mi><\/msup><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo>+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><\/math>, connue sous le nom de <strong>s\u00e9rie de Leibniz<\/strong>.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"resoudre-des-equations-differentielles\">R\u00e9soudre des \u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/h3>\n\n<p>De nombreuses <strong>\u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/strong> peuvent \u00eatre r\u00e9solues en communiquant leurs solutions sous forme de s\u00e9ries infinies. Les <strong>s\u00e9ries de Fourier<\/strong> et les <strong>s\u00e9ries de Taylor<\/strong> sont souvent employ\u00e9es pour exprimer des solutions analytiques qui seraient trop difficiles \u00e0 obtenir autrement.<\/p>\n \n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"series-geometriques-et-arithmetiques\">S\u00e9ries g\u00e9om\u00e9triques et arithm\u00e9tiques<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"serie-geometrique\">S\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique<\/h3>\n\n<p>Une <strong>s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique<\/strong> est de forme <math><mo>&#x2211;<\/mo><mi>a<\/mi><msup><mi>r<\/mi><mi>n<\/mi><\/msup><\/math> o\u00f9 r est une constante. La s\u00e9rie converge si et seulement si <math><mo>|<\/mo><mi>r<\/mi><mo>|<\/mo><mo>&lt;<\/mo><mn>1<\/mn><\/math>. Un exemple classique est la s\u00e9rie <math><mo>&#x2211;<\/mo><mfrac><mn>1<\/mn><msup><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/msup><\/mfrac><\/math>, qui converge vers <math><mn>1<\/mn><\/math>.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"serie-arithmetique\">S\u00e9rie arithm\u00e9tique<\/h3>\n\n<p>Contrairement aux s\u00e9ries g\u00e9om\u00e9triques, les s\u00e9ries arithm\u00e9tiques n\u2019ont g\u00e9n\u00e9ralement pas la propri\u00e9t\u00e9 de convergence lorsqu\u2019elles sont infinies, car elles consistent en la somme de termes \u00e9gaux espac\u00e9s, comme \u03a3(a + nd). Cependant, elles sont tr\u00e8s utiles en <strong>math\u00e9matiques discr\u00e8tes<\/strong> et dans les finances, o\u00f9 les s\u00e9ries finies jouent souvent un r\u00f4le cl\u00e9.<\/p>\n \n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"exemples-classiques-de-series-et-de-leur-convergence\">Exemples classiques de s\u00e9ries et de leur convergence<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"serie-harmonique\">S\u00e9rie harmonique<\/h3>\n\n<p>La <strong>s\u00e9rie harmonique<\/strong>, repr\u00e9sent\u00e9e par <math><mo>&#x2211;<\/mo><mfrac><mn>1<\/mn><mi>n<\/mi><\/mfrac><\/math>, est l\u2019un des premiers exemples rencontr\u00e9s dans les cours de calcul. Cette s\u00e9rie clinique ne converge pas car sa somme cro\u00eet ind\u00e9finiment. Pourtant, elle joue un r\u00f4le essentiel dans les d\u00e9monstrations de divergence.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"series-p-adiques\">S\u00e9ries p-adiques<\/h3>\n\n<p>Une s\u00e9rie <strong>p-adique<\/strong> de la forme <math><mo>&#8721;<\/mo><mfrac><mn>1<\/mn><msup><mi>n<\/mi><mi>p<\/mi><\/msup><\/mfrac><\/math> converge pour <math><mi>p<\/mi> <mo>&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> et diverge pour <math><mi>p<\/mi> <mo>&#x2264;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math>. Le comportement change radicalement en fonction de la valeur du param\u00e8tre p, illustrant la sensibilit\u00e9 de la convergence aux param\u00e8tres structurants de la s\u00e9rie.<\/p>\n \n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"techniques-pour-prouver-la-convergence\">Techniques pour prouver la convergence<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"sommes-partielles-et-borne-superieure\">Sommes partielles et borne sup\u00e9rieure<\/h3>\n\n<p>L\u2019analyse des <strong>sommes partielles<\/strong> est une technique fiable pour <a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/calculer-la-derivee-dune-fonction\/\" target=\"_blank\">prouver la convergence<\/a>. En \u00e9tablissant que les sommes partielles forment une suite born\u00e9e, on peut d\u00e9montrer la convergence de la s\u00e9rie initiale gr\u00e2ce \u00e0 l\u2019utilisation des<strong> bornes sup\u00e9rieures.<\/strong><\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"methode-de-condensation-dabel\">M\u00e9thode de condensation d\u2019Abel<\/h3>\n\n<p>La m\u00e9thode de <strong>condensation<\/strong>, attribu\u00e9e \u00e0 Abel, consiste \u00e0 transformer une s\u00e9rie difficile \u00e0 traiter en une forme plus g\u00e9rable. Si une s\u00e9rie <math><mo>&#8721;<\/mo><msub><mi>a<\/mi><mi>n<\/mi><\/msub><\/math> passe le test de condensation d\u2019Abel, alors sa <strong>convergence<\/strong> peut \u00eatre v\u00e9rifi\u00e9e de mani\u00e8re simplifi\u00e9e.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"utilisation-de-logiciels-et-calculatrices-pour-explorer-les-series\">Utilisation de logiciels et calculatrices pour explorer les s\u00e9ries<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"outils-interactifs\">Outils interactifs<\/h3>\n\n<p>Des outils num\u00e9riques vari\u00e9s comme Wolfram Alpha, MATLAB ou m\u00eame des calculatrices graphiques peuvent \u00eatre employ\u00e9s pour exp\u00e9rimenter avec des s\u00e9ries et visualiser leur comportement. Ces outils fournissent des simulations graphiques et des preuves de convergence bas\u00e9es sur des algorithmes internes complexes.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"evaluation-numerique\">\u00c9valuation num\u00e9rique<\/h3>\n\n<p>Gr\u00e2ce aux capacit\u00e9s de calcul \u00e9lev\u00e9 des ordinateurs modernes, les s\u00e9ries infinies peuvent \u00eatre approxim\u00e9es num\u00e9riquement jusqu\u2019\u00e0 plusieurs dizaines de d\u00e9cimales. Ainsi, les chercheurs et ing\u00e9nieurs peuvent utiliser ces outils num\u00e9riques pour \u00e9valuer la convergence au-del\u00e0 des m\u00e9thodes analytiques traditionnelles.<\/p>\n<div style=\"line-height:1.7;margin-top:0.75rem;margin-bottom:0.25rem;letter-spacing:-0.01em\">Voici d\u2019autres <a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/theories-maths-applications-pratiques\/\">th\u00e9ories math\u00e9matiques et leurs applications<\/a> :<br><ul>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/theorie-des-graphes\/\">Th\u00e9orie des Graphes<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/dynamique-fluides\/\">Dynamique des Fluides<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/mecanique-quantique\/\">M\u00e9canique Quantique<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/systemes-non-lineaires\/\">Syst\u00e8mes Non Lin\u00e9aires<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/probleme-de-math-difficile\/\">Probl\u00e8mes de Maths difficules Non R\u00e9solus<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/theorie-jeux\/\">Th\u00e9orie des Jeux <\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/calcul-stochastique\/\">Calcul Stochastique<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/modelisation-mathematique\/\">Mod\u00e9lisation Math\u00e9matique<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/optimisation\/\">Optimisation Math\u00e9matique<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/algorithmes\/\">Algorithmes<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/fractales\/\">Fractales<\/a><\/li>\n<\/ul><\/div>\n\n<div class=\"kk-star-ratings kksr-auto kksr-align-center kksr-valign-bottom\"\n    data-payload='{&quot;align&quot;:&quot;center&quot;,&quot;id&quot;:&quot;309277&quot;,&quot;slug&quot;:&quot;default&quot;,&quot;valign&quot;:&quot;bottom&quot;,&quot;ignore&quot;:&quot;&quot;,&quot;reference&quot;:&quot;auto&quot;,&quot;class&quot;:&quot;&quot;,&quot;count&quot;:&quot;0&quot;,&quot;legendonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;readonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;score&quot;:&quot;0&quot;,&quot;starsonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;best&quot;:&quot;5&quot;,&quot;gap&quot;:&quot;5&quot;,&quot;greet&quot;:&quot;Tu as aim\u00e9 cet article ?&quot;,&quot;legend&quot;:&quot;0\\\/5 - (0 vote)&quot;,&quot;size&quot;:&quot;24&quot;,&quot;title&quot;:&quot;Les s\u00e9ries math\u00e9matiques et leur convergence : comprendre les fondements&quot;,&quot;width&quot;:&quot;0&quot;,&quot;_legend&quot;:&quot;{score}\\\/{best} - ({count} {votes})&quot;,&quot;font_factor&quot;:&quot;1.25&quot;}'>\n            \n<div class=\"kksr-stars\">\n    \n<div class=\"kksr-stars-inactive\">\n            <div class=\"kksr-star\" data-star=\"1\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; 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