{"id":309262,"date":"2026-07-28T12:40:22","date_gmt":"2026-07-28T10:40:22","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=309262"},"modified":"2026-07-29T12:49:00","modified_gmt":"2026-07-29T10:49:00","slug":"nombre-e","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/nombre-e\/","title":{"rendered":"D\u00e9finition et utilisation du nombre e en maths"},"content":{"rendered":"<section class=\"you-know\"><div class=\"you-know__title\"><p>\ud83e\udde0 \u00c0 retenir :<\/p><\/div><div class=\"you-know__text\"><ul>\n<li>Le <strong>nombre e<\/strong> est la base du logarithme naturel et sert de pivot pour les ph\u00e9nom\u00e8nes de croissance exponentielle.<\/li>\n<li>Le <strong>nombre e<\/strong> s\u2019exprime par une s\u00e9rie infinie : e = 1 + 1\/1! + 1\/2! + 1\/3! + \u2026<\/li>\n<li>Propri\u00e9t\u00e9s essentielles : irrationnel et transcendant ; base des logarithmes naturels et des mod\u00e8les de croissance exponentielle.<\/li>\n<li>Calcul num\u00e9rique et usages modernes : algorithmes comme Newton-Raphson et logiciels tels que Python, Matlab ou NumPy.<\/li>\n<\/ul><\/div><\/section>\n\n<p>Le <strong>nombre e<\/strong>, \u00e9galement connu sous le nom de <strong>constante d\u2019Euler<\/strong>, est l\u2019une des constantes les plus importantes en math\u00e9matiques. Son r\u00f4le crucial dans les <strong>logarithmes naturels<\/strong>, les <strong>\u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/strong> et m\u00eame la <strong>finance<\/strong> le distingue des autres nombres irrationnels. Cette exploration vise \u00e0 d\u00e9tailler sa d\u00e9finition, ses propri\u00e9t\u00e9s et ses multiples applications pratiques.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"la-decouverte-du-nombre-e\">La d\u00e9couverte du nombre e<\/h2>\n\n<p>Le nombre e a \u00e9t\u00e9 d\u00e9couvert au XVIIe si\u00e8cle par le math\u00e9maticien suisse Leonhard Euler. Il peut \u00eatre d\u00e9fini comme la base du logarithme naturel ou logarithme n\u00e9p\u00e9rien. Sa valeur approximative est 2,71828, mais \u00e9tant un <strong>nombre irrationnel<\/strong>, il poss\u00e8de une infinit\u00e9 de chiffres apr\u00e8s la virgule sans aucune r\u00e9p\u00e9tition p\u00e9riodique.<\/p>\n \n<div style=\"position:relative;overflow:hidden;padding-top:56.25%\"><iframe style=\"position:absolute;top:0;left:0;width:95%;height:100%;border:0\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/-T9qge2ckLU?si=HG7tw1oyvGNZcM6X&#038;controls=0\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"definition-par-les-series-infinies\">D\u00e9finition par les s\u00e9ries infinies<\/h3>\n\n<p>Dans un contexte math\u00e9matique formel, le nombre e est souvent d\u00e9fini par une <strong>s\u00e9rie infinie<\/strong>. Une mani\u00e8re courante de l\u2019exprimer est la s\u00e9rie de Taylor pour l\u2019exponentielle :<\/p>\n  <ul>\n  <li><strong>En notation math\u00e9matique :<\/strong> <math><mrow><mi>e<\/mi><mo>=<\/mo><munderover><mo>&#x2211;<\/mo><mn>n<\/mn><mo>&#x21D2;<\/mo><\/munderover><mfrac><mn>1<\/mn><mrow><mi>n<\/mi><mo>!<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><\/math>, o\u00f9 n commence \u00e0 0 et continue jusqu\u2019\u00e0 l\u2019infini.<\/li>\n <\/ul>\n<p>Cette expression montre que e peut \u00eatre d\u00e9compos\u00e9 en une somme infinie de fractions, chaque terme devenant progressivement plus petit \u00e0 mesure que n augmente.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"limites-et-approximations\">Limites et approximations<\/h3>\n\n<p>Une autre fa\u00e7on de d\u00e9finir e est via des <strong>limites<\/strong>. Par exemple, on pourrait \u00e9crire :<\/p>\n  <ul>\n  <li><strong>Formule de limite :<\/strong> <math><mrow><mi>e<\/mi><mo>=<\/mo><munder><mo>lim<\/mo><mrow><mi>n<\/mi><mo>&#x2192;<\/mo><mo>&#x221E;<\/mo><\/mrow><\/munder><mo>(<\/mo><mfrac><mn>1<\/mn><mi>n<\/mi><\/mfrac><mo>+<\/mo><mn>1<\/mn><mo>)<\/mo><msup><mo>(<\/mo><mi>n<\/mi><\/msup><\/mrow><\/math><\/li>\n <\/ul>\n<p>Cette approche est utile pour comprendre les fondements th\u00e9oriques de e, notamment en analyse. Pour les approximations pratiques, on utilise g\u00e9n\u00e9ralement des segments limit\u00e9s des s\u00e9ries infinies ou des expressions it\u00e9ratives.<\/p>\n  \n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"applications-du-nombre-e\">Applications du nombre e<\/h2>\n\n<p>Le nombre e trouve des applications vari\u00e9es dans plusieurs domaines des math\u00e9matiques, y compris les <strong>calculs financiers<\/strong>, la <strong>croissance exponentielle<\/strong> et les <strong>\u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/strong>.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"logarithmes-naturels\">Logarithmes naturels<\/h3>\n\n<p>Les <strong>logarithmes naturels<\/strong>, not\u00e9s ln(x), utilisent e comme base. Ils poss\u00e8dent d\u2019importantes propri\u00e9t\u00e9s, rendant les calculs alg\u00e9briques plus simples. Par exemple :<\/p>\n  <ol>\n  <li>ln(e) = 1<\/li>\n  <li>ln(1) = 0<\/li>\n  <li><math><mrow><mi>ln<\/mi><mo>(<\/mo><mi>a<\/mi><mo>&#x2062;<\/mo><mi>b<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mi>ln<\/mi><mo>(<\/mo><mi>a<\/mi><mo>)<\/mo><mo>+<\/mo><mi>ln<\/mi><mo>(<\/mo><mi>b<\/mi><mo>)<\/mo><\/mrow><\/math><\/li>\n <\/ol>\n<p>Ces propri\u00e9t\u00e9s facilitent la r\u00e9solution d\u2019\u00e9quations logarithmiques complexes, utiles en <strong>int\u00e9gration<\/strong> et <strong>d\u00e9rivation<\/strong>.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"croissance-et-decroissance-exponentielles\">Croissance et d\u00e9croissance exponentielles<\/h3>\n\n<p>L\u2019utilisation du nombre e est fr\u00e9quente dans les mod\u00e8les de <strong>croissance<\/strong> et de <strong>d\u00e9croissance exponentielles<\/strong>. Dans un mod\u00e8le de population par exemple, la croissance peut \u00eatre mod\u00e9lis\u00e9e par l\u2019\u00e9quation :<\/p>\n<p><math><mrow><mi>P<\/mi><mo>(<\/mo><mi>t<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><msub><mi>P<\/mi><mn>0<\/mn><\/msub><mo>&#x2062;<\/mo><msup><mi>e<\/mi><mrow><mi>r<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/math><\/p>\n<p>o\u00f9 P_0 est la population initiale, r est le taux de croissance, et t est le temps.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"equations-differentielles\">\u00c9quations diff\u00e9rentielles<\/h3>\n\n<p>L\u2019une des applications les plus avanc\u00e9es du nombre e se trouve dans la solution d\u2019<strong>\u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/strong>. Des solutions g\u00e9n\u00e9rales aux \u00e9quations lin\u00e9aires prennent souvent la forme :<\/p>\n<p><math><mrow><mi>y<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mi>C<\/mi><mo>&#x2062;<\/mo><msup><mi>e<\/mi><mrow><mi>k<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/math><\/p>\n<p>o\u00f9 C et k sont des constantes d\u00e9termin\u00e9es par les conditions initiales du probl\u00e8me.<\/p>\n\n<div style=\"justify-content:center;align-items:center;margin-top:5px;margin-bottom:5px\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/xapbm7c37i.cloudimg.io\/https:\/\/sherpas.com\/p\/files\/photos\/maths\/nombre-e-2.webp?w=640&#038;q=95\" alt=\"Image qui repr\u00e9sente le Nombre E\" width=\"640\" height=\"400\" style=\"width:100%;max-width:500px;height:auto;margin:0.9rem 0 0.9rem 0\" loading=\"lazy\"><\/div>\n  \n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"nombre-e-et-suites-de-nombres\">Nombre e et suites de nombres<\/h2>\n\n<p>Le nombre e joue aussi un r\u00f4le significatif dans les <strong>suites de nombres<\/strong> et la normalisation des <strong>distributions statistiques<\/strong>.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"suites-geometriques-et-arithmetiques\">Suites g\u00e9om\u00e9triques et arithm\u00e9tiques<\/h3>\n\n<p>Dans les suites g\u00e9om\u00e9triques, le nombre e appara\u00eet dans les <strong>int\u00e9r\u00eats compos\u00e9s continus<\/strong>. Par exemple, pour un investissement avec un taux d\u2019int\u00e9r\u00eat r compos\u00e9 continuellement, la formule devient :<\/p>\n<p><math><mrow><mi>A<\/mi><mo>=<\/mo><mi>P<\/mi><mo>&#x2062;<\/mo><msup><mi>e<\/mi><mrow><mi>r<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/math><\/p>\n<p>o\u00f9 A repr\u00e9sente la valeur future de l\u2019investissement, P est le capital initial, r est le taux d\u2019int\u00e9r\u00eat et t est le temps.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"normalisation\">Normalisation<\/h3>\n\n<p>En probabilit\u00e9s et statistique, le nombre e est essentiel pour les <strong>fonctions de densit\u00e9 de probabilit\u00e9<\/strong> et les <strong>processus stochastiques<\/strong>. Dans une distribution normale standard, la fonction de densit\u00e9 peut \u00eatre \u00e9crite comme :<\/p>\n<p><math><mrow><mi>f<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mfrac><mn>1<\/mn><msqrt><mrow><mn>2<\/mn><mi>&#x3C0;<\/mi><\/mrow><\/msqrt><\/mfrac><mo>&#x2062;<\/mo><msup><mi>e<\/mi><mrow><mo>&#8211;<\/mo><mfrac><msup><mi>x<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><mn>2<\/mn><\/mfrac><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/math><\/p>\n<p>Cette formule permet de comprendre comment distribuer les valeurs autour de la moyenne de mani\u00e8re sym\u00e9trique.<\/p>\n  \n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"proprietes-du-nombre-e\">Propri\u00e9t\u00e9s du nombre e<\/h2>\n\n<p>Diff\u00e9rentes propri\u00e9t\u00e9s du nombre e rendent son utilisation tr\u00e8s pratique et \u00e9l\u00e9gante en manipulation math\u00e9matique.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"irrationalite\">Irrationalit\u00e9<\/h3>\n\n<p>Le nombre e est <strong>irrationnel<\/strong>. Contrairement aux nombres rationnels, e ne peut pas s\u2019exprimer comme une fraction exacte de deux entiers. Cela rend ses d\u00e9cimales infinies et non-r\u00e9currentes, ce qui lui donne beaucoup de complexit\u00e9.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"transcendance\">Transcendance<\/h3>\n\n\n<div style=\"position:relative;overflow:hidden;padding-top:56.25%;padding-bottom:55px\"><iframe style=\"position:absolute;top:0;left:0;width:95%;height:100%;border:0\" src=\"https:\/\/assets.pinterest.com\/ext\/embed.html?id=133489576447676033\" height=\"415\" width=\"236\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n\n<p>John von Neumann a prouv\u00e9 que e est un nombre <strong>transcendant<\/strong>. Par cons\u00e9quent, il ne peut pas \u00eatre solution d\u2019une \u00e9quation alg\u00e9brique \u00e0 coefficients entiers. Ceci a des implications profondes sur ce qu\u2019on peut r\u00e9aliser avec des constructions g\u00e9om\u00e9triques classiques.<\/p> \n \n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"calcul-numerique-du-nombre-e\">Calcul num\u00e9rique du nombre e<\/h2>\n\n<p>Pour de nombreux calculs pratiques, il est n\u00e9cessaire d\u2019approximativement calculer le nombre e. Voici quelques approches utilis\u00e9es :<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"algorithmes-de-calcul\">Algorithmes de calcul<\/h3>\n\n<p>Des m\u00e9thodes it\u00e9ratives telles que l\u2019<strong>algorithme de Newton-Raphson<\/strong> permettent un calcul pr\u00e9cis de centaines voire milliers de d\u00e9cimales de e. Elles arrivent \u00e0 r\u00e9soudre rapidement gr\u00e2ce \u00e0 des \u00e9tapes successives se rapprochant de la pr\u00e9cision d\u00e9sir\u00e9e.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"utilisation-de-logiciels-modernes\">Utilisation de logiciels modernes<\/h3>\n\n<p>Des outils num\u00e9riques comme Matlab, Mathematica ou des biblioth\u00e8ques Python (telles que <strong>NumPy<\/strong> et <strong>SciPy<\/strong>) incluent des fonctions pr\u00e9-programm\u00e9es pour exploiter les valeurs pr\u00e9cises de e. Ces ressources facilitent grandement la v\u00e9rification th\u00e9orique et l\u2019exp\u00e9rimentation en projets scientifiques.<\/p> \n \n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"nom-complet\">Nom complet<\/h2>\n\n<p>Egalement reconnu comme <strong>nombre d\u2019Euler<\/strong>, cette nomenclature provient par reconnaissance de Leonhard Euler, mais il ne faut pas le confondre avec la <strong>fonction Gamma d\u2019Euler<\/strong> qui g\u00e9n\u00e9ralise la notion factorielle appliqu\u00e9e sur les r\u00e9els positifs et complexes.<\/p> \n \n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"extensions-et-generalisations\">Extensions et g\u00e9n\u00e9ralisations<\/h2>\n\n<p>D\u2019autres formes impliquent des extensions math\u00e9matiques fondamentales incluant des aspects th\u00e9oriques plus larges au nombre de dimensions occup\u00e9 par e en l\u2019analyse complexe et b\u00e9ternamienne.<\/p>\n \n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"loi-exponentielle\">Loi Exponentielle<\/h3>\n\n<p>Utilis\u00e9 dans les \u00e9tudes de <strong>temps d\u2019attente<\/strong>, des <strong>calculs sans m\u00e9moire<\/strong> caract\u00e9risant les \u00e9v\u00e9nements al\u00e9atoires tels que la radioactivit\u00e9 ou la fiabilit\u00e9 mat\u00e9rielle suivant une loi exponentielle.<\/p> \n<p>Ces diverses applications d\u00e9montrent que le nombre e d\u00e9passe largement les fronti\u00e8res des seules math\u00e9matiques pures, impactant aussi la physique, l\u2019ing\u00e9nierie et l\u2019\u00e9conomie avec une port\u00e9e incommensurable.<\/p>\n<div style=\"line-height:1.7;margin-top:0.75rem;margin-bottom:0.25rem;letter-spacing:-0.01em\">Nos autres articles sur <a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/concepts-avances-analyse-algebre\/\">l\u2019analyse et l\u2019alg\u00e8bre<\/a> :<br><ul>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/analyse-mathematique\/\">Analyse Math\u00e9matique<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/equations-differentielles\/\">\u00c9quations Diff\u00e9rentielles<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/theorie-des-nombres\/\">Th\u00e9orie des Nombres<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/quotient\/\">Calcul de Quotients<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/nombres-remarquables\/\">Nombres Remarquables<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/nombre-i\/\">Nombre i<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/theorie-des-categories\/\">Th\u00e9orie des Cat\u00e9gories<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/analyse-complexe\/\">Analyse Complexe<\/a><\/li>\n<\/ul><\/div>\n\n\n<div class=\"kk-star-ratings kksr-auto kksr-align-center kksr-valign-bottom\"\n    data-payload='{&quot;align&quot;:&quot;center&quot;,&quot;id&quot;:&quot;309262&quot;,&quot;slug&quot;:&quot;default&quot;,&quot;valign&quot;:&quot;bottom&quot;,&quot;ignore&quot;:&quot;&quot;,&quot;reference&quot;:&quot;auto&quot;,&quot;class&quot;:&quot;&quot;,&quot;count&quot;:&quot;0&quot;,&quot;legendonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;readonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;score&quot;:&quot;0&quot;,&quot;starsonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;best&quot;:&quot;5&quot;,&quot;gap&quot;:&quot;5&quot;,&quot;greet&quot;:&quot;Tu as aim\u00e9 cet article ?&quot;,&quot;legend&quot;:&quot;0\\\/5 - (0 vote)&quot;,&quot;size&quot;:&quot;24&quot;,&quot;title&quot;:&quot;D\u00e9finition et utilisation du nombre e en maths&quot;,&quot;width&quot;:&quot;0&quot;,&quot;_legend&quot;:&quot;{score}\\\/{best} - ({count} {votes})&quot;,&quot;font_factor&quot;:&quot;1.25&quot;}'>\n            \n<div class=\"kksr-stars\">\n    \n<div class=\"kksr-stars-inactive\">\n            <div class=\"kksr-star\" data-star=\"1\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; 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