{"id":309230,"date":"2026-07-28T12:40:22","date_gmt":"2026-07-28T10:40:22","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=309230"},"modified":"2026-07-29T12:45:59","modified_gmt":"2026-07-29T10:45:59","slug":"tableau-de-variation","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/tableau-de-variation\/","title":{"rendered":"Comment r\u00e9aliser un tableau de variations pour une fonction math\u00e9matique"},"content":{"rendered":"<section class=\"you-know\"><div class=\"you-know__title\"><p>\ud83e\udde0 \u00c0 retenir :<\/p><\/div><div class=\"you-know__text\"><ul>\n<li>La r\u00e9alisation d\u2019un <strong>tableau de variations<\/strong> commence par le calcul de la d\u00e9riv\u00e9e de la fonction.<\/li>\n<li>La r\u00e9solution de l\u2019\u00e9quation f\u2019(x)=0 identifie les points critiques o\u00f9 la variation change.<\/li>\n<li>L\u2019\u00e9tude du signe de la d\u00e9riv\u00e9e d\u00e9termine si la fonction cro\u00eet ou d\u00e9cro\u00eet sur chaque intervalle.<\/li>\n<\/ul><\/div><\/section><p>Pour les \u00e9tudiants en math\u00e9matiques et les adeptes de l\u2019analyse des fonctions, savoir comment r\u00e9aliser un <strong>tableau de variation<\/strong> est essentiel. Cet outil pr\u00e9cieux permet de d\u00e9terminer le comportement d\u2019une fonction sur un intervalle donn\u00e9. Dans cet article, nous allons explorer les m\u00e9thodes \u00e9tape par \u00e9tape pour cr\u00e9er un tableau de variations efficace et pr\u00e9cis.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"definir-la-fonction-et-son-domaine\">D\u00e9finir la fonction et son domaine<\/h2>\n\n<p>La premi\u00e8re \u00e9tape consiste \u00e0 <strong>d\u00e9finir la fonction<\/strong> que vous souhaitez \u00e9tudier ainsi que son <strong>domaine de d\u00e9finition<\/strong>. C\u2019est-\u00e0-dire, identifier les valeurs de x pour lesquelles la fonction est d\u00e9finie.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"exemple-de-definition-de-fonction\">Exemple de d\u00e9finition de fonction<\/h3>\n\n<p>Supposons que nous avons la fonction <math><mi>f<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><msup><mi>x<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><mo>&#8211;<\/mo><mn>4<\/mn><mi>x<\/mi><mo>+<\/mo><mn>3<\/mn><\/math>. Cette fonction est une parabole et est d\u00e9finie pour tout r\u00e9el <math><mi>x<\/mi><\/math>. Par cons\u00e9quent, son domaine de d\u00e9finition est l\u2019ensemble des r\u00e9els : <math><mi>R<\/mi><\/math>.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"calculer-la-derivee-de-la-fonction\"><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/calculer-la-derivee-dune-fonction\/\" target=\"_blank\">Calculer la d\u00e9riv\u00e9e de la fonction<\/a><\/h2>\n\n<p>Le tableau de variations repose principalement sur la <strong>d\u00e9riv\u00e9e<\/strong> de la fonction. La d\u00e9riv\u00e9e permet en effet d\u2019\u00e9tudier les <strong>variations<\/strong> de la fonction, c\u2019est-\u00e0-dire de d\u00e9terminer si elle cro\u00eet ou d\u00e9cro\u00eet selon les intervalles de sa variable.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"exemple-de-calcul-de-la-derivee\">Exemple de calcul de la d\u00e9riv\u00e9e<\/h3>\n\n<p>Pour la fonction <math><mi>f<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><msup><mi>x<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><mo>&#8211;<\/mo><mn>4<\/mn><mi>x<\/mi><mo>+<\/mo><mn>3<\/mn><\/math>, sa d\u00e9riv\u00e9e est donn\u00e9e par <math><mi>f<\/mi><mo>\u2019<\/mo><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><\/math>. En utilisant les r\u00e8gles de la diff\u00e9rentiation :\n<math><mi>f<\/mi><mo>\u2019<\/mo><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><mo>&#8211;<\/mo><mn>4<\/mn><\/math>.\nCette d\u00e9riv\u00e9e nous permettra d\u2019identifier les <strong>points critiques<\/strong> et le <strong>comportement<\/strong> de la courbe.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"trouver-les-extremum-et-les-points-critiques\">Trouver les extremum et les points critiques<\/h2>\n\n<p>Les <strong>points critiques<\/strong> sont d\u00e9termin\u00e9s en trouvant les valeurs de <math><mi>x<\/mi><\/math> pour lesquelles la d\u00e9riv\u00e9e est nulle ou ne poss\u00e8de pas de sens. Ces points permettent ensuite de distinguer les <strong>changements de direction<\/strong> dans la fonction.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"resolution-de-la-derivee-nulle\">R\u00e9solution de la d\u00e9riv\u00e9e nulle<\/h3>\n\n<p>Posons la d\u00e9riv\u00e9e \u00e9gale \u00e0 z\u00e9ro :<br>\n<math><mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><mo>&#8211;<\/mo><mn>4<\/mn><mo>=<\/mo><mn>0<\/mn><\/math><br>\n<math><mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><mo>=<\/mo><mn>4<\/mn><\/math><br>\n<math><mi>x<\/mi><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><\/math><\/p>\n<p>Nous obtenons alors un unique <strong>point critique en <math><mi>x<\/mi><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><\/math><\/strong>.<\/p>\n\n<div style=\"justify-content:center;align-items:center;margin-top:5px;margin-bottom:5px\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/xapbm7c37i.cloudimg.io\/https:\/\/sherpas.com\/p\/files\/photos\/maths\/tableau-de-variations-2.webp?w=640&#038;q=95\" alt=\"Image qui repr\u00e9sente la Variation d\u2019une fonction math\u00e9matique\" width=\"640\" height=\"400\" style=\"width:100%;max-width:500px;height:auto;margin:0.9rem 0 0.9rem 0\" loading=\"lazy\"><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"analyser-le-signe-de-la-derivee\">Analyser le signe de la d\u00e9riv\u00e9e<\/h2>\n\n<p>Apr\u00e8s avoir d\u00e9termin\u00e9 les points o\u00f9 la d\u00e9riv\u00e9e s\u2019annule, il faut analyser le <strong>signe de la d\u00e9riv\u00e9e<\/strong> autour de ces points pour comprendre le comportement de la fonction sur les diff\u00e9rents intervalles.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"signe-de-la-derivee-de-part-et-dautre-du-point-critique\">Signe de la d\u00e9riv\u00e9e de part et d\u2019autre du point critique<\/h3>\n\n<p>Pour <math><mi>x<\/mi><mo>&lt;<\/mo><mn>2<\/mn><\/math> :<br>\nPrenons <math><mi>x<\/mi><mo>=<\/mo><mn>1<\/mn><\/math> :<br>\n<math><mi>f<\/mi><mo>\u2019<\/mo><mo>(<\/mo><mn>1<\/mn><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><mo>(<\/mo><mn>1<\/mn><mo>)<\/mo><mo>&#8211;<\/mo><mn>4<\/mn><mo>=<\/mo><mo>&#8211;<\/mo><mn>2<\/mn><\/math> (n\u00e9gatif)<\/p>\n\n<p>Pour <math><mi>x<\/mi><mo>&gt;<\/mo><mn>2<\/mn><\/math> :<br>\nPrenons <math><mi>x<\/mi><mo>=<\/mo><mn>3<\/mn><\/math> :<br>\n<math><mi>f<\/mi><mo>\u2019<\/mo><mo>(<\/mo><mn>3<\/mn><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><mo>(<\/mo><mn>3<\/mn><mo>)<\/mo><mo>&#8211;<\/mo><mn>4<\/mn><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><\/math> (positif)<\/p>\n\n<p>En analysant le signe de la d\u00e9riv\u00e9e, nous pouvons conclure que la fonction <strong>d\u00e9cro\u00eet<\/strong> pour <math><mi>x<\/mi><mo>&lt;<\/mo><mn>2<\/mn><\/math> et <strong>cro\u00eet<\/strong> pour <math><mi>x<\/mi><mo>&gt;<\/mo><mn>2<\/mn><\/math>.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"construire-le-tableau-de-variations\">Construire le tableau de variations<\/h2>\n\n<p>Apr\u00e8s avoir rassembl\u00e9 toutes les informations n\u00e9cessaires, nous pouvons <strong>construire le tableau de variations<\/strong> de la fonction.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"presentation-generale-du-tableau\">Pr\u00e9sentation g\u00e9n\u00e9rale du tableau<\/h3>\n\n<ul>\n    <li><strong>Premi\u00e8re ligne<\/strong> : Intervalle de variation de <math><mi>x<\/mi><\/math><\/li>\n    <li><strong>Deuxi\u00e8me ligne<\/strong> : Valeur de la d\u00e9riv\u00e9e <math><mi>f<\/mi><mo>\u2019<\/mo><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><\/math><\/li>\n    <li><strong>Troisi\u00e8me ligne<\/strong> : Sens de variation de <math><mi>f<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><\/math> (fl\u00e8ches montantes ou descendantes)<\/li>\n    <li><strong>Quatri\u00e8me ligne<\/strong> : Valeurs de <math><mi>f<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><\/math> aux points critiques et extr\u00eames<\/li>\n<\/ul>\n<p>Il est utile de rep\u00e9rer \u00e9galement les limites aux bornes lorsque c\u2019est n\u00e9cessaire.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"tableau-de-variations-pour-la-fonction-exemple\">Tableau de variations pour la fonction exemple<\/h3>\n\n<table border=\"1\" style=\"width:50%;text-align:center;margin:auto\"><thead><tr style=\"border:1px solid\"><th>x<\/th><th>-\u221e<\/th><th><\/th><th>2<\/th><th><\/th><th>+\u221e<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr style=\"border:1px solid\"><td style=\"border:1px solid\">f\u2019(x)<\/td><td style=\"border:1px solid\"><\/td><td style=\"border:1px solid\"><\/td><td style=\"border:1px solid\">0<\/td><td style=\"border:1px solid\"><\/td><\/tr><tr style=\"border:1px solid\"><td style=\"border:1px solid\"><\/td><td>\u2193<\/td><td style=\"border:1px solid\"><\/td><td style=\"border:1px solid\"><\/td><td style=\"border:1px solid\">\u2191<\/td><td style=\"border:1px solid\"><\/td><\/tr><tr style=\"border:1px solid\"><td style=\"border:1px solid\">f(x)<\/td><td style=\"border:1px solid\"><\/td><td style=\"border:1px solid\"><\/td><td style=\"border:1px solid\">1<\/td><td style=\"border:1px solid\"><\/td><td style=\"border:1px solid\"><\/td><\/tr><\/tbody><\/table>\n\n<div style=\"position:relative;overflow:hidden;padding-top:56.25%\"><iframe style=\"position:absolute;top:0;left:0;width:95%;height:100%;border:0\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/yGqqoBMq8Fw?si=joJmbpKooW6GIaku&#038;controls=0\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"synthese-graphique-par-rapport-a-la-courbe\">Synth\u00e8se graphique par rapport \u00e0 la courbe<\/h2>\n\n<p>La compr\u00e9hension du tableau de variations sera am\u00e9lior\u00e9e avec une <strong>repr\u00e9sentation graphique correspondante<\/strong>. Analyser graphiquement signifie tracer la courbe repr\u00e9sentative de la fonction et marquer ses variations globales sur le m\u00eame graphe. Cela aide \u00e0 visualiser rapidement les minimas et maximas locaux, ainsi que les comportements asymptotiques \u00e9ventuels.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"conseils-pour-le-trace-de-la-courbe\">Conseils pour le trac\u00e9 de la courbe<\/h3>\n\n<p>Quand on dessine la courbe, suivez ces conseils :<\/p>\n<ul>\n<li>Prenez soin de bien placer les axes et les graduations.<\/li>\n<li>Rep\u00e9rez correctement les <strong>points extr\u00eames<\/strong> ou critiques comme trouv\u00e9s pr\u00e9c\u00e9demment.<\/li>\n<li>Utilisez assez de points pour lisser la courbe entre les variations d\u00e9tect\u00e9es. Comme cela, la courbature sera plus pr\u00e9cise.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Une fois la courbe dessin\u00e9e, v\u00e9rifiez vos r\u00e9sultats en superposant le tableau et en ajustant si n\u00e9cessaire.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"pratiquez-avec-des-exercices-varies\">Pratiquez avec des exercices vari\u00e9s<\/h2>\n\n<p>Pour ma\u00eetriser parfaitement la r\u00e9alisation des tableaux de variations, il est recommand\u00e9 de pratiquer avec diff\u00e9rents types de fonctions. Voici quelques exemples de fonctions sur lesquelles vous pouvez vous exercer :<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"fonctions-polynomiales\">Fonctions polynomiales<\/h3>\n\n<p>Les <strong>fonctions polynomiales<\/strong> comme <math><mi>f<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><msup><mi>x<\/mi><mn>3<\/mn><\/msup><mo>&#8211;<\/mo><mn>3<\/mn><msup><mi>x<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><mo>+<\/mo><mn>2<\/mn><\/math> ou encore <math><mi>g<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mo>&#8211;<\/mo><mn>2<\/mn><msup><mi>x<\/mi><mn>4<\/mn><\/msup><mo>+<\/mo><mn>5<\/mn><msup><mi>x<\/mi><mn>3<\/mn><\/msup><mo>&#8211;<\/mo><msup><mi>x<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><mo>+<\/mo><mn>7<\/mn><mi>x<\/mi><mo>&#8211;<\/mo><mn>1<\/mn><\/math> offrent de bons d\u00e9fis pour analyser les points critiques et dresser des tableaux de variations.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"fonctions-rationnelles\">Fonctions rationnelles<\/h3>\n\n<p>Analysez les fonctions du type <math><mi>h<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mfrac><mrow><mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><mo>&#8211;<\/mo><mn>3<\/mn><\/mrow><mrow><msup><mi>x<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><mo>+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math> qui n\u00e9cessitent une \u00e9tude fine de leurs d\u00e9riv\u00e9es pour d\u00e9couvrir les asymptotes et les points de retournement.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"fonctions-trigonometriques\">Fonctions trigonom\u00e9triques<\/h3>\n\n<p>L\u2019utilisation des <strong>fonctions sinus<\/strong> et cosinus comme <math><mi>p<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mi>sin<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><\/math> ou <math><mi>q<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mi>cos<\/mi><mo>(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><\/math> expose \u00e9galement \u00e0 l\u2019entretien r\u00e9gulier de l\u2019\u00e9tude des courbes p\u00e9riodiques.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"ancrage-theorique-par-resolutions-multiples\">Ancrage th\u00e9orique par r\u00e9solutions multiples<\/h3>\n\n<p>Avec des exercices vari\u00e9s, r\u00e9solvez plusieurs fois le m\u00eame type de probl\u00e8me jusqu\u2019\u00e0 ce que des automatismes clairs et cr\u00e9atifs se forment naturellement. Cela favorisera une meilleure prise en main des concepts.<\/p>\n<div style=\"line-height:1.7;margin-top:0.75rem;margin-bottom:0.25rem;letter-spacing:-0.01em\">D\u00e9couvrez d\u2019autres <a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/concepts-statistiques-logique\/\">concepts de statistiques et de logique<\/a> :<br><ul>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/statistiques\/\">Statistiques<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/proportionnalite\/\">Proportionnalit\u00e9<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/logique-mathematique\/\">Logique Math\u00e9matique<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/logarithmes\/\">Logarithmes<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/combinatoire\/\">Combinatoire<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/zero\/\">Z\u00e9ro en Maths<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/nombre-pi\/\">Nombre Pi<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/parents\/a\/nombres-premiers\/\">Nombres Premiers<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/derivees\/\">D\u00e9rivation<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/theorie-des-ensembles\/\">Th\u00e9orie des Ensembles<\/a><\/li>\n<\/ul><\/div>\n\n<div class=\"kk-star-ratings kksr-auto kksr-align-center kksr-valign-bottom\"\n    data-payload='{&quot;align&quot;:&quot;center&quot;,&quot;id&quot;:&quot;309230&quot;,&quot;slug&quot;:&quot;default&quot;,&quot;valign&quot;:&quot;bottom&quot;,&quot;ignore&quot;:&quot;&quot;,&quot;reference&quot;:&quot;auto&quot;,&quot;class&quot;:&quot;&quot;,&quot;count&quot;:&quot;0&quot;,&quot;legendonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;readonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;score&quot;:&quot;0&quot;,&quot;starsonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;best&quot;:&quot;5&quot;,&quot;gap&quot;:&quot;5&quot;,&quot;greet&quot;:&quot;Tu as aim\u00e9 cet article ?&quot;,&quot;legend&quot;:&quot;0\\\/5 - (0 vote)&quot;,&quot;size&quot;:&quot;24&quot;,&quot;title&quot;:&quot;Comment r\u00e9aliser un tableau de variations pour une fonction math\u00e9matique&quot;,&quot;width&quot;:&quot;0&quot;,&quot;_legend&quot;:&quot;{score}\\\/{best} - ({count} {votes})&quot;,&quot;font_factor&quot;:&quot;1.25&quot;}'>\n            \n<div class=\"kksr-stars\">\n    \n<div class=\"kksr-stars-inactive\">\n            <div class=\"kksr-star\" data-star=\"1\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; 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