{"id":309227,"date":"2026-07-28T12:40:22","date_gmt":"2026-07-28T10:40:22","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=309227"},"modified":"2026-07-29T12:45:38","modified_gmt":"2026-07-29T10:45:38","slug":"logique-mathematique","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/logique-mathematique\/","title":{"rendered":"Comprendre la logique math\u00e9matique : un guide simplifi\u00e9"},"content":{"rendered":"<section class=\"you-know\"><div class=\"you-know__title\"><p>\ud83e\udde0 \u00c0 retenir :<\/p><\/div><div class=\"you-know__text\"><ul>\n<li>La logique math\u00e9matique analyse les raisonnements avec des propositions. Une proposition est un \u00e9nonc\u00e9 qui est soit vrai, soit faux.<\/li>\n<li>Les op\u00e9rateurs logiques comme ET, OU et NON combinent ces propositions. Ils construisent des \u00e9nonc\u00e9s complexes \u00e0 partir d\u2019id\u00e9es simples.<\/li>\n<li>Cette logique structure les preuves en math\u00e9matiques. Les d\u00e9monstrations suivent des m\u00e9thodes rigoureuses comme la d\u00e9duction ou le raisonnement par l\u2019absurde.<\/li>\n<\/ul><\/div><\/section><p>La <strong>logique math\u00e9matique<\/strong> est souvent per\u00e7ue comme un domaine complexe r\u00e9serv\u00e9 aux sp\u00e9cialistes. Mais une fois d\u00e9mystifi\u00e9e, elle se r\u00e9v\u00e8le \u00eatre un outil pr\u00e9cieux pour structurer notre raisonnement et r\u00e9soudre de nombreux probl\u00e8mes pratiques. Cet article vise \u00e0 rendre accessibles les concepts fondamentaux de la logique math\u00e9matique, en mettant l\u2019accent sur les notions de base, telles que les propositions, les assertions et les \u00e9nonc\u00e9s.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"les-bases-de-la-logique-mathematique\">Les bases de la logique math\u00e9matique<\/h2>\n\n<p>Pour aborder sereinement les concepts cl\u00e9s de la logique math\u00e9matique, commen\u00e7ons par d\u00e9finir ce que sont les bases de cette discipline. La logique math\u00e9matique s\u2019int\u00e9resse principalement \u00e0 l\u2019analyse des <strong>arguments<\/strong>, leur <strong>structure formelle<\/strong> et leur <strong>validit\u00e9<\/strong>.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"propositions-dans-la-logique\">Propositions dans la logique<\/h3>\n\n<p>Une <strong>proposition<\/strong> est un \u00e9nonc\u00e9 d\u00e9claratif qui peut \u00eatre soit vrai, soit faux, mais pas les deux \u00e0 la fois. Par exemple :<\/p>\n<ul>\n    <li>\u00ab\u00a0Il pleut aujourd\u2019hui.\u00a0\u00bb &#8211; Ceci est une proposition car elle peut \u00eatre v\u00e9rifi\u00e9e comme vraie ou fausse.<\/li>\n    <li>\u00ab\u00a0X + Y = Z.\u00a0\u00bb &#8211; En fonction des valeurs attribu\u00e9es \u00e0 X, Y, et Z, cet \u00e9nonc\u00e9 aura une valeur de v\u00e9rit\u00e9 bien d\u00e9finie.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"enonces-et-assertions\">\u00c9nonc\u00e9s et assertions<\/h3>\n\n<p>Un <strong>\u00e9nonc\u00e9<\/strong> est toute phrase d\u00e9finie pouvant \u00eatre soumise \u00e0 une analyse logique. L\u2019<strong>assertion<\/strong> est une forme particuli\u00e8re d\u2019\u00e9nonc\u00e9 o\u00f9 l\u2019on affirme quelque chose explicitement. Par exemple, \u201cTous les hommes sont mortels\u201d est une assertion.<\/p>\n\n<div style=\"position:relative;overflow:hidden;padding-top:56.25%\"><iframe style=\"position:absolute;top:0;left:0;width:95%;height:100%;border:0\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/OwfPxxGx5fc?si=8qevDBzqudmI_8Ou&#038;controls=0\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"valeur-de-verite-et-operateurs-logiques\">Valeur de v\u00e9rit\u00e9 et op\u00e9rateurs logiques<\/h2>\n\n<p>Chaque <strong>proposition<\/strong> est associ\u00e9e \u00e0 une <strong>valeur de v\u00e9rit\u00e9<\/strong> : vraie ou fausse. Cette dualit\u00e9 permet de manipuler les propositions \u00e0 l\u2019aide d\u2019<strong>op\u00e9rateurs logiques<\/strong> pour former des expressions plus complexes.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"les-principaux-operateurs-logiques\">Les principaux op\u00e9rateurs logiques<\/h3>\n\n<p>Les op\u00e9rateurs logiques principaux sont :<\/p>\n<ol>\n    <li><strong>Et ( \u2227 )<\/strong> : Conjonction, vrai si et seulement si les deux propositions sont vraies.\n        <ul>\n            <li><math><mi>P<\/mi><\/math> : \u00ab\u00a0Il pleut.\u00a0\u00bb et <math><mi>Q<\/mi><\/math> : \u00ab\u00a0Il fait froid.\u00a0\u00bb<\/li>\n            <li><math><mi>P<\/mi> \u2227 <mi>Q<\/mi><\/math> est vrai seulement si \u00ab\u00a0Il pleut\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0Il fait froid\u00a0\u00bb sont tous les deux vrais.<\/li>\n        <\/ul>\n    <\/li>\n    <li><strong>Ou ( \u2228 )<\/strong> : Disjonction, vrai si au moins une des propositions est vraie.\n        <ul>\n            <li><math><mi>P<\/mi> \u2228 <mi>Q<\/mi><\/math> est vrai m\u00eame si seulement \u00ab\u00a0Il pleut\u00a0\u00bb ou seulement \u00ab\u00a0Il fait froid\u00a0\u00bb est vrai.<\/li>\n        <\/ul>\n    <\/li>\n    <li><strong>Non ( \u00ac )<\/strong> : N\u00e9gation, inverse la valeur de v\u00e9rit\u00e9 de la proposition.\n        <ul>\n            <li>Si <math><mi>P<\/mi><\/math> est vrai, alors <math>\u00ac<mi>P<\/mi><\/math> est faux.<\/li>\n        <\/ul>\n    <\/li>\n    <li><strong>Implique ( \u2192 )<\/strong> : Implication, vrai sauf si la premi\u00e8re proposition est vraie et la seconde est fausse.\n        <ul>\n            <li><math><mi>P<\/mi> \u2192 <mi>Q<\/mi><\/math> est vrai sauf si \u00ab\u00a0Il pleut\u00a0\u00bb est vrai et \u00ab\u00a0Il fait froid\u00a0\u00bb est faux.<\/li>\n        <\/ul>\n    <\/li>\n    <li><strong>Si et seulement si ( \u2194 )<\/strong> : \u00c9quivalence, vrai si les deux propositions ont la m\u00eame valeur de v\u00e9rit\u00e9.\n        <ul>\n            <li><math><mi>P<\/mi> \u2194 <mi>Q<\/mi><\/math> implique que \u00ab\u00a0Il pleut\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0Il fait froid\u00a0\u00bb doivent \u00eatre tous les deux soit vrais, soit faux.<\/li>\n        <\/ul>\n    <\/li>\n<\/ol>\n\n<div style=\"justify-content:center;align-items:center;margin-top:5px;margin-bottom:5px\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/xapbm7c37i.cloudimg.io\/https:\/\/sherpas.com\/p\/files\/photos\/maths\/logique-mathematique-2.webp?w=640&#038;q=95\" alt=\"Image qui repr\u00e9sente la Logique Math\u00e9matique\" width=\"640\" height=\"400\" style=\"width:100%;max-width:500px;height:auto;margin:0.9rem 0 0.9rem 0\" loading=\"lazy\"><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"la-logique-conditionnelle\">La logique conditionnelle<\/h2>\n\n<p>Les <strong>conditions<\/strong> jouent un r\u00f4le crucial dans la formulation de raisonnements math\u00e9matiques. Les implications conditionnelles permettent d\u2019\u00e9tablir des relations causales entre diff\u00e9rentes propositions.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"implication-materielle\">Implication mat\u00e9rielle<\/h3>\n\n<p>L\u2019<strong>implication mat\u00e9rielle<\/strong> est une structure logique o\u00f9 une proposition entraine une autre :<br>\n    Si <math><mi>P<\/mi><\/math>, alors <math><mi>Q<\/mi><\/math> (<math><mi>P<\/mi> \u2192 <mi>Q<\/mi><\/math>).<\/p>\n<ul>\n    <li>Exemple : \u00ab\u00a0S\u2019il pleut, alors il y a des nuages.\u00a0\u00bb<\/li>\n    <li>Cette implication est fausse seulement si \u00ab\u00a0Il pleut\u00a0\u00bb est vrai mais \u00ab\u00a0Il y a des nuages\u00a0\u00bb est faux.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"contraposee\">Contrapos\u00e9e<\/h3>\n\n<p>La <strong>contrapos\u00e9e<\/strong> d\u2019une implication indique que si la conclusion est fausse, alors la pr\u00e9misse doit aussi \u00eatre fausse :<br>\n    Si non-<math><mi>Q<\/mi><\/math>, alors non-<math><mi>P<\/mi><\/math> (\u00ac<math><mi>Q<\/mi> \u2192 \u00ac<mi>P<\/mi><\/math>).<\/p>\n<ul>\n    <li>Exemple : \u00ab\u00a0S\u2019il n\u2019y a pas de nuages, alors il ne pleut pas.\u00a0\u00bb<\/li>\n    <li>Ceci est la contrapos\u00e9e directe de l\u2019exemple pr\u00e9c\u00e9dent.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"reciproque\">R\u00e9ciproque<\/h3>\n\n<p>La <strong>r\u00e9ciproque<\/strong> d\u2019une implication est simplement l\u2019inversion de la relation originale :<br>\n    Si <math><mi>Q<\/mi><\/math>, alors <math><mi>P<\/mi><\/math> (<math><mi>Q<\/mi> \u2192 <mi>P<\/mi><\/math>).<\/p>\n<ul>\n    <li>Exemple : \u00ab\u00a0S\u2019il y a des nuages, alors il pleut.\u201d<\/li>\n    <li>Cette assertion est ind\u00e9pendante de la v\u00e9racit\u00e9 de l\u2019implication initiale.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"structure-des-preuves-en-logique-mathematique\">Structure des preuves en logique math\u00e9matique<\/h2>\n\n\n<p>Les <strong>preuves math\u00e9matiques<\/strong> utilisent la logique pour d\u00e9montrer la v\u00e9racit\u00e9 des th\u00e9or\u00e8mes et des propositions. Une preuve rigoureuse respecte certaines \u00e9tapes m\u00e9thodologiques pr\u00e9cises.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"lapproche-deductive\">L\u2019approche d\u00e9ductive<\/h3>\n\n\n<p>L\u2019<strong>approche d\u00e9ductive<\/strong> part des axiomes et utilise des r\u00e8gles de d\u00e9duction pour arriver \u00e0 la conclusion. Chaque \u00e9tape s\u2019encha\u00eene logiquement depuis les pr\u00e9misses jusqu\u2019\u00e0 la conclusion finale.<\/p>\n\n<ul>\n    <li>D\u00e9monstration directe : Utilise directement les principes et axiomes.<\/li>\n    <li>D\u00e9monstration par contrapos\u00e9e : D\u00e9montre que l\u2019implication invers\u00e9e est vraie.<\/li>\n    <li>D\u00e9monstration par l\u2019absurde : Suppose que la conclusion est fausse et montre que \u00e7a m\u00e8ne \u00e0 une contradiction.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"les-ensembles-et-la-logique\">Les ensembles et la logique<\/h3>\n\n\n<p>La <strong>th\u00e9orie des ensembles<\/strong> est une autre branche fondamentale associ\u00e9e \u00e0 la logique math\u00e9matique. Un <strong>ensemble<\/strong> est une collection d\u2019\u00e9l\u00e9ments distincts. La logique des ensembles utilise des notations et des op\u00e9rateurs sp\u00e9cifiques comme l\u2019<strong>union<\/strong>, l\u2019<strong>intersection<\/strong> et la <strong>diff\u00e9rence<\/strong>.<\/p>\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"union-et-intersection-densembles\">Union et intersection d\u2019ensembles<\/h4>\n\n\n<p>L\u2019<strong>union<\/strong> d\u2019ensembles <math><mi>A<\/mi><\/math> et <math><mi>B<\/mi><\/math>, not\u00e9e <math><mi>A<\/mi> \u222a <mi>B<\/mi><\/math>, contient tous les \u00e9l\u00e9ments appartenant \u00e0 <math><mi>A<\/mi><\/math>, \u00e0 <math><mi>B<\/mi><\/math> ou aux deux. L\u2019<strong>intersection<\/strong>, not\u00e9e <math><mi>A<\/mi> \u2229 <mi>B<\/mi><\/math>, contient uniquement les \u00e9l\u00e9ments communs \u00e0 <math><mi>A<\/mi><\/math> et <math><mi>B<\/mi><\/math>.<\/p>\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"difference-et-complement-densembles\">Diff\u00e9rence et compl\u00e9ment d\u2019ensembles<\/h4>\n\n\n<p>La <strong>diff\u00e9rence<\/strong> d\u2019ensembles <math><mi>A<\/mi><\/math> et <math><mi>B<\/mi><\/math>, not\u00e9e <math><mi>A<\/mi>  <mi>B<\/mi><\/math>, contient les \u00e9l\u00e9ments de <math><mi>A<\/mi><\/math> qui ne sont pas dans <math><mi>B<\/mi><\/math>. Le <strong>compl\u00e9ment<\/strong> d\u2019un ensemble <math><mi>A<\/mi><\/math>, not\u00e9 <math><msup><mi>A<\/mi><mi>c<\/mi><\/msup><\/math>, contient tous les \u00e9l\u00e9ments n\u2019appartenant pas \u00e0 <math><mi>A<\/mi><\/math> dans un univers donn\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"applications-pratiques-de-la-logique\">Applications pratiques de la logique<\/h2>\n\n\n<p>Utilis\u00e9e en informatique, philosophie, linguistique et intelligence artificielle, la logique math\u00e9matique permet de mod\u00e9liser des syst\u00e8mes complexes et de v\u00e9rifier des assertions cruciales.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"systemes-informatiques\">Syst\u00e8mes informatiques<\/h3>\n\n\n<p>Les <strong>algorithmes<\/strong> reposent sur des structures conditionnelles et logiques pour faire des choix parmi diff\u00e9rentes options et d\u00e9rouler des processus. Les langages de programmation int\u00e8grent des op\u00e9rateurs logiques pour contr\u00f4ler le flux du programme.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"intelligence-artificielle\">Intelligence artificielle<\/h3>\n\n\n<p>Les <strong>syst\u00e8mes experts<\/strong> et <strong>r\u00e9seaux de neurones<\/strong> utilisent des mod\u00e8les logiques pour prendre des d\u00e9cisions bas\u00e9es sur des donn\u00e9es d\u2019entr\u00e9e. Cela inclut la programmation de contr\u00f4les logiques qui simulent le raisonnement humain.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"conclusion-dans-le-contexte-scientifique\">Conclusion dans le contexte scientifique<\/h2>\n\n<p>La <strong>logique math\u00e9matique<\/strong> sert de fondement \u00e0 de nombreuses disciplines scientifiques et techniques. Son apprentissage m\u00e9thodique et sa mise en application coh\u00e9rente fournissent des outils puissants pour naviguer et r\u00e9soudre des probl\u00e9matiques vari\u00e9es, tout en assurant la rigueur et la v\u00e9rifiabilit\u00e9 des r\u00e9sultats obtenus.<\/p>\n<div style=\"line-height:1.7;margin-top:0.75rem;margin-bottom:0.25rem;letter-spacing:-0.01em\">D\u00e9couvrez d\u2019autres <a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/concepts-statistiques-logique\/\">concepts de statistiques et de logique<\/a> :<br><ul>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/statistiques\/\">Statistiques<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/proportionnalite\/\">Proportionnalit\u00e9<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/logarithmes\/\">Logarithmes<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/combinatoire\/\">Combinatoire<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/tableau-de-variation\/\">Tableau de Variations<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/zero\/\">Z\u00e9ro en Maths<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/nombre-pi\/\">Nombre Pi<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/parents\/a\/nombres-premiers\/\">Nombres Premiers<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/derivees\/\">D\u00e9rivation<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/theorie-des-ensembles\/\">Th\u00e9orie des Ensembles<\/a><\/li>\n<\/ul><\/div>\n\n<div class=\"kk-star-ratings kksr-auto kksr-align-center kksr-valign-bottom\"\n    data-payload='{&quot;align&quot;:&quot;center&quot;,&quot;id&quot;:&quot;309227&quot;,&quot;slug&quot;:&quot;default&quot;,&quot;valign&quot;:&quot;bottom&quot;,&quot;ignore&quot;:&quot;&quot;,&quot;reference&quot;:&quot;auto&quot;,&quot;class&quot;:&quot;&quot;,&quot;count&quot;:&quot;0&quot;,&quot;legendonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;readonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;score&quot;:&quot;0&quot;,&quot;starsonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;best&quot;:&quot;5&quot;,&quot;gap&quot;:&quot;5&quot;,&quot;greet&quot;:&quot;Tu as aim\u00e9 cet article ?&quot;,&quot;legend&quot;:&quot;0\\\/5 - (0 vote)&quot;,&quot;size&quot;:&quot;24&quot;,&quot;title&quot;:&quot;Comprendre la logique math\u00e9matique : un guide simplifi\u00e9&quot;,&quot;width&quot;:&quot;0&quot;,&quot;_legend&quot;:&quot;{score}\\\/{best} - ({count} {votes})&quot;,&quot;font_factor&quot;:&quot;1.25&quot;}'>\n            \n<div class=\"kksr-stars\">\n    \n<div class=\"kksr-stars-inactive\">\n            <div class=\"kksr-star\" data-star=\"1\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; height: 24px;\"><\/div>\n        <\/div>\n            <div class=\"kksr-star\" data-star=\"2\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; height: 24px;\"><\/div>\n        <\/div>\n            <div class=\"kksr-star\" data-star=\"3\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; height: 24px;\"><\/div>\n        <\/div>\n            <div class=\"kksr-star\" data-star=\"4\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; height: 24px;\"><\/div>\n        <\/div>\n            <div class=\"kksr-star\" data-star=\"5\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; height: 24px;\"><\/div>\n        <\/div>\n    <\/div>\n    \n<div class=\"kksr-stars-active\" style=\"width: 0px;\">\n            <div class=\"kksr-star\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; height: 24px;\"><\/div>\n        <\/div>\n            <div class=\"kksr-star\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; height: 24px;\"><\/div>\n        <\/div>\n            <div class=\"kksr-star\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; height: 24px;\"><\/div>\n        <\/div>\n            <div class=\"kksr-star\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; height: 24px;\"><\/div>\n        <\/div>\n            <div class=\"kksr-star\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; height: 24px;\"><\/div>\n        <\/div>\n    <\/div>\n<\/div>\n                \n\n<div class=\"kksr-legend\" style=\"font-size: 19.2px;\">\n            <span class=\"kksr-muted\">Tu as aim\u00e9 cet article ?<\/span>\n    <\/div>\n    <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\ud83e\udde0 \u00c0 retenir : La logique math\u00e9matique analyse les raisonnements avec des propositions. 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