{"id":309222,"date":"2026-07-28T12:40:22","date_gmt":"2026-07-28T10:40:22","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=309222"},"modified":"2026-07-29T12:45:09","modified_gmt":"2026-07-29T10:45:09","slug":"polynome-second-degre","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/polynome-second-degre\/","title":{"rendered":"Comprendre les fonctions polyn\u00f4mes du second degr\u00e9"},"content":{"rendered":"<section class=\"you-know\"><div class=\"you-know__title\"><p>\ud83e\udde0 \u00c0 retenir :<\/p><\/div><div class=\"you-know__text\"><ul>\n <li>Une <strong>fonction polyn\u00f4me du second degr\u00e9<\/strong> a la forme f(x) = ax\u00b2 + bx + c et sa repr\u00e9sentation graphique est une parabole.<\/li>\n <li>La parabole poss\u00e8de un axe de sym\u00e9trie et un sommet. Le signe du coefficient \u2019a\u2019 d\u00e9termine son orientation vers le haut ou vers le bas.<\/li>\n <li>Les solutions de l\u2019\u00e9quation, ou racines, correspondent aux points d\u2019intersection de la courbe avec l\u2019axe des abscisses.<\/li>\n <li>Le discriminant (\u0394 = b\u00b2 \u2212 4ac) d\u00e9termine le nombre de solutions r\u00e9elles : deux, une ou aucune.<\/li>\n<\/ul><\/div><\/section><p>Les <strong>fonctions polyn\u00f4mes du second degr\u00e9<\/strong> jouent un r\u00f4le central en math\u00e9matiques, leur usage s\u2019\u00e9tendant de la simple r\u00e9solution d\u2019\u00e9quations quadratiques \u00e0 des applications plus complexes comme l\u2019analyse des trajectoires parabolique. Dans cet article, nous explorerons en d\u00e9tail ces fonctions particuli\u00e8res, en abordant leur d\u00e9finition, leurs propri\u00e9t\u00e9s graphiques, ainsi que leurs variations et sym\u00e9tries.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"definition-des-fonctions-polynomes-du-second-degre\">D\u00e9finition des fonctions polyn\u00f4mes du second degr\u00e9<\/h2>\n\n<p>Une fonction polyn\u00f4me du second degr\u00e9 est une expression math\u00e9matique de la forme <math><mi>f<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mi>a<\/mi><msup><mi>x<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><mo>+<\/mo><mi>b<\/mi><mi>x<\/mi><mo>+<\/mo><mi>c<\/mi><\/math>, o\u00f9 <strong>a<\/strong>, <strong>b<\/strong> et <strong>c<\/strong> sont des constantes r\u00e9elles et <strong><math><mi>a<\/mi><mo>\u2260<\/mo><mn>0<\/mn><\/math><\/strong>. Ce type de fonction est \u00e9galement connu sous le nom de <strong>fonction quadratique<\/strong>. La structure de cette \u00e9quation permet diverses manipulations alg\u00e9briques qui facilitent l\u2019\u00e9tude et la compr\u00e9hension de ses propri\u00e9t\u00e9s.<\/p>\n<p>Un polyn\u00f4me du second degr\u00e9 poss\u00e8de trois termes distincts :<\/p>\n<ul>\n    <li>Le terme quadratique (<math><mi>a<\/mi><msup><mi>x<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><\/math>)<\/li>\n    <li>Le terme lin\u00e9aire (<math><mi>b<\/mi><mi>x<\/mi><\/math>)<\/li>\n    <li>Le terme constant (<math><mi>c<\/mi><\/math>)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ces termes influencent la forme et la position de la courbe repr\u00e9sent\u00e9e par la fonction sur un graphique.<\/p>\n\n<div style=\"position:relative;overflow:hidden;padding-top:56.25%\"><iframe style=\"position:absolute;top:0;left:0;width:95%;height:100%;border:0\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/WVYWdN13kPE?si=P8AJvf0_lyzZil6g&#038;controls=0\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"graphique-et-representation-des-fonctions-quadratiques\">Graphique et repr\u00e9sentation des fonctions quadratiques<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"la-parabole-et-ses-caracteristiques\">La parabole et ses caract\u00e9ristiques<\/h3>\n\n<p>Le graphique d\u2019un polyn\u00f4me du second degr\u00e9 est appel\u00e9 une <strong>parabole<\/strong>. Cette courbe poss\u00e8de des propri\u00e9t\u00e9s sp\u00e9cifiques qui m\u00e9ritent une attention particuli\u00e8re :<\/p>\n<ul>\n    <li><strong>Axe de sym\u00e9trie :<\/strong> Une parabole a toujours un axe de sym\u00e9trie vertical, g\u00e9n\u00e9ralement situ\u00e9 \u00e0 <math><mi>x<\/mi><mo>=<\/mo><mfrac><mo>\u2212<\/mo><mi>b<\/mi><mrow><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math>.<\/li>\n    <li><strong>Sommets :<\/strong> Le sommet de la parabole repr\u00e9sente soit le <strong>minimum<\/strong> (si <math><mi>a<\/mi><mo>&gt;<\/mo><mn>0<\/mn><\/math>) soit le <strong>maximum<\/strong> (si <math><mi>a<\/mi><mo>&lt;<\/mo><mn>0<\/mn><\/math>) de la fonction.<\/li>\n    <li><strong>Ouverture :<\/strong> La direction dans laquelle la parabole s\u2019ouvre d\u00e9pend du signe du coefficient <math><mi>a<\/mi><\/math>. Si <math><mi>a<\/mi><\/math> est positif, la parabole s\u2019ouvre vers le haut; si <math><mi>a<\/mi><\/math> est n\u00e9gatif, elle s\u2019ouvre vers le bas.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"intersection-avec-les-axes\">Intersection avec les axes<\/h3>\n\n<p>Pour comprendre plus pr\u00e9cis\u00e9ment comment la parabole interagit avec les axes du plan cart\u00e9sien, deux aspects doivent \u00eatre examin\u00e9s :<\/p>\n<ol>\n    <li><strong>Points d\u2019intersection avec l\u2019axe des x :<\/strong> Les solutions de l\u2019\u00e9quation <math><mi>a<\/mi><msup><mi>x<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><mo>+<\/mo><mi>b<\/mi><mi>x<\/mi><mo>+<\/mo><mi>c<\/mi><mo>=<\/mo><mn>0<\/mn><\/math> (appel\u00e9es racines ou z\u00e9ros de la fonction) d\u00e9terminent o\u00f9 la parabole coupe l\u2019axe des abscisses.<\/li>\n    <li><strong>Point d\u2019intersection avec l\u2019axe des y :<\/strong> En substituant <math><mi>x<\/mi><mo>=<\/mo><mn>0<\/mn><\/math> dans l\u2019\u00e9quation, on obtient <math><mi>f<\/mi><mo>(<\/mo><mn>0<\/mn><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mi>c<\/mi><\/math>. Donc, la parabole intersecte l\u2019axe des ordonn\u00e9es au point <math><mo>(<\/mo><mn>0<\/mn><mo>,<\/mo><mi>c<\/mi><mo>)<\/mo><\/math>.<\/li>\n<\/ol>\n\n<div style=\"position:relative;overflow:hidden;padding-top:56.25%\"><iframe style=\"position:absolute;top:0;left:0;width:95%;height:100%;border:0\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/7IOCVfUnoz0?si=GlejgFFBIGb8Y9js&#038;controls=0\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"variations-et-symetrie-des-fonctions-du-second-degre\">Variations et sym\u00e9trie des fonctions du second degr\u00e9<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"etude-des-variations\">\u00c9tude des variations<\/h3>\n\n<p>L\u2019\u00e9tude des variations d\u2019un polyn\u00f4me du second degr\u00e9 consiste \u00e0 analyser la fa\u00e7on dont la fonction change en augmentant ou en diminuant sa variable. Consid\u00e9rons deux cas :<\/p>\n<ul>\n    <li><strong>Si <math><mi>a<\/mi><mo>&gt;<\/mo><mn>0<\/mn><\/math> :<\/strong> La fonction d\u00e9cro\u00eet pour <math><mi>x<\/mi><mo>&lt;<\/mo><mfrac><mo>\u2212<\/mo><mi>b<\/mi><mrow><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> et cro\u00eet pour <math><mi>x<\/mi><mo>&gt;<\/mo><mfrac><mo>\u2212<\/mo><mi>b<\/mi><mrow><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math>, atteignant son minimum au point <math><mi>x<\/mi><mo>=<\/mo><mfrac><mo>\u2212<\/mo><mi>b<\/mi><mrow><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math>.<\/li>\n    <li><strong>Si <math><mi>a<\/mi><mo>&lt;<\/mo><mn>0<\/mn><\/math> :<\/strong> La fonction cro\u00eet pour <math><mi>x<\/mi><mo>&lt;<\/mo><mfrac><mo>\u2212<\/mo><mi>b<\/mi><mrow><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> et d\u00e9cro\u00eet pour <math><mi>x<\/mi><mo>&gt;<\/mo><mfrac><mo>\u2212<\/mo><mi>b<\/mi><mrow><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math>, atteignant son maximum au point <math><mi>x<\/mi><mo>=<\/mo><mfrac><mo>\u2212<\/mo><mi>b<\/mi><mrow><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Analyser ces variations illumine sur comment et pourquoi le graphique prend une forme particuli\u00e8re tout en facilitant la r\u00e9solution des probl\u00e8mes li\u00e9s \u00e0 l\u2019optimisation.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"symetrie-des-polynomes-du-second-degre\">Sym\u00e9trie des polyn\u00f4mes du second degr\u00e9<\/h3>\n\n<p>La <strong>sym\u00e9trie<\/strong> joue un r\u00f4le pr\u00e9pond\u00e9rant dans le comportement des fonctions quadratiques. Comme mentionn\u00e9, l\u2019axe de sym\u00e9trie d\u2019une parabole se situe \u00e0 <math><mi>x<\/mi><mo>=<\/mo><mfrac><mo>\u2212<\/mo><mi>b<\/mi><mrow><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math>. Cette ligne imaginaire d\u00e9compose la parabole en deux portions miroir. Cela signifie que pour toute valeur <math><mi>x<\/mi><\/math> donn\u00e9e, <math><mi>f<\/mi><mo>(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><mo>=<\/mo><mi>f<\/mi><mo>(<\/mo><mo>&#8211;<\/mo><mi>x<\/mi><mo>)<\/mo><\/math>.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"applications-pratiques-des-fonctions-quadratiques\">Applications pratiques des fonctions quadratiques<\/h2>\n\n<p>Les polyn\u00f4mes du second degr\u00e9 ont de nombreuses applications dans divers domaines scientifiques et techniques. Quelques exemples marquants comprennent :<\/p>\n<ul>\n    <li><strong>Mouvement parabolique :<\/strong> Trajectoires de corps projet\u00e9s, comme une balle lanc\u00e9e, o\u00f9 la hauteur de la trajectoire suit une fonction quadratique.<\/li>\n    <li><strong>Optimisation :<\/strong> D\u00e9terminer le co\u00fbt minimum ou profit maximum dans les mod\u00e8les \u00e9conomiques \u00e0 travers l\u2019utilisation de v\u00e9rifications de sommets de paraboles.<\/li>\n    <li><strong>Conception :<\/strong> L\u2019utilisation de courbes paraboliques dans l\u2019ing\u00e9nierie structurale et l\u2019architecture pour cr\u00e9er formes esth\u00e9tiques et fonctionnalit\u00e9 optimis\u00e9e.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ces utilisations mettent en avant la port\u00e9e polyvalente et essentielle des fonctions polyn\u00f4mes du second degr\u00e9.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"resolution-dequations-quadratiques\">R\u00e9solution d\u2019\u00e9quations quadratiques<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"formule-quadratique\">Formule quadratique<\/h3>\n\n<p>Pour r\u00e9soudre une \u00e9quation quadratique classique de la forme <math><mi>a<\/mi><msup><mi>x<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><mo>+<\/mo><mi>b<\/mi><mi>x<\/mi><mo>+<\/mo><mi>c<\/mi><mo>=<\/mo><mn>0<\/mn><\/math>, il est courant d\u2019utiliser la <strong>formule quadratique<\/strong> bien connue : <math><mi>x<\/mi><mo>=<\/mo><mfrac><mrow><mo>(<\/mo><mo>\u2212<\/mo><mi>b<\/mi><mo>\u00b1<\/mo><msqrt><msup><mi>b<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><mo>\u2212<\/mo><mn>4<\/mn><mi>a<\/mi><mi>c<\/mi><\/msqrt><mo>)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>a<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math>. Cette formule fournit des racines exactes de l\u2019\u00e9quation, cruciales pour d\u00e9terminer o\u00f9 la parabole coupe l\u2019axe des x.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"discriminant-et-nature-des-racines\">Discriminant et nature des racines<\/h3>\n\n<p>Le <strong>discriminant<\/strong> <math><mi>\u0394<\/mi><\/math>, d\u00e9fini par <math><msup><mi>b<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><mo>\u2212<\/mo><mn>4<\/mn><mi>a<\/mi><mi>c<\/mi><\/math>, permet de d\u00e9terminer la <strong>nature des racines<\/strong> sans calcul complet :<\/p>\n<ul>\n    <li><strong><math><mi>\u0394<\/mi><mo>&gt;<\/mo><mn>0<\/mn><\/math> :<\/strong> Deux racines r\u00e9elles et distinctes. Parabole coupe l\u2019axe des x en deux points distincts.<\/li>\n    <li><strong><math><mi>\u0394<\/mi><mo>=<\/mo><mn>0<\/mn><\/math> :<\/strong> Une racine r\u00e9elle double. Parabole touche l\u2019axe des x en un seul point (sommet).<\/li>\n    <li><strong><math><mi>\u0394<\/mi><mo>&lt;<\/mo><mn>0<\/mn><\/math> :<\/strong> Aucune racine r\u00e9elle. Parabole ne croise pas l\u2019axe des x mais reste enti\u00e8rement au-dessus ou en dessous selon le signe de <math><mi>a<\/mi><\/math>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>L\u2019analyse du discriminant peut \u00eatre pr\u00e9cieuse pour anticiper le comportement global de la fonction sans illustrer graphiquement la courbe.<\/p>\n<div style=\"line-height:1.7;margin-top:0.75rem;margin-bottom:0.25rem;letter-spacing:-0.01em\">Nos autres articles sur <a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/algebre-fonctions\/\">l\u2019alg\u00e8bre et les fonctions<\/a> :<br><ul>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/arithmetique\/\">Arithm\u00e9tique<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/vecteurs\/\">Vecteurs<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/algebre-lineaire\/\">Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/fonctions-mathematiques\/\">Fonctions Math\u00e9matiques<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/suite-arithmetique-geometrique\/\">Suites Arithm\u00e9tiques et G\u00e9om\u00e9triques<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/fonction-logarithme-decimal\/\">Fonction Logarithmique<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/fonctions-affines\/\">Fonctions Affines<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/developper-expression-maths\/\">D\u00e9veloppement Alg\u00e9brique<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/resoudre-equation-maths\/\">R\u00e9solution d\u2019\u00c9quations<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/fractions\/\">Fractions<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/equations-quadratiques\/\">\u00c9quations Quadratiques<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/definition-la-division-euclidienne\/\">Division Euclidienne<\/a><\/li>\n<\/ul><\/div>\n\n<div class=\"kk-star-ratings kksr-auto kksr-align-center kksr-valign-bottom\"\n    data-payload='{&quot;align&quot;:&quot;center&quot;,&quot;id&quot;:&quot;309222&quot;,&quot;slug&quot;:&quot;default&quot;,&quot;valign&quot;:&quot;bottom&quot;,&quot;ignore&quot;:&quot;&quot;,&quot;reference&quot;:&quot;auto&quot;,&quot;class&quot;:&quot;&quot;,&quot;count&quot;:&quot;0&quot;,&quot;legendonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;readonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;score&quot;:&quot;0&quot;,&quot;starsonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;best&quot;:&quot;5&quot;,&quot;gap&quot;:&quot;5&quot;,&quot;greet&quot;:&quot;Tu as aim\u00e9 cet article ?&quot;,&quot;legend&quot;:&quot;0\\\/5 - (0 vote)&quot;,&quot;size&quot;:&quot;24&quot;,&quot;title&quot;:&quot;Comprendre les fonctions polyn\u00f4mes du second degr\u00e9&quot;,&quot;width&quot;:&quot;0&quot;,&quot;_legend&quot;:&quot;{score}\\\/{best} - ({count} {votes})&quot;,&quot;font_factor&quot;:&quot;1.25&quot;}'>\n            \n<div class=\"kksr-stars\">\n    \n<div class=\"kksr-stars-inactive\">\n            <div class=\"kksr-star\" data-star=\"1\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; 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