{"id":309215,"date":"2026-07-28T12:40:22","date_gmt":"2026-07-28T10:40:22","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=309215"},"modified":"2026-07-29T12:44:21","modified_gmt":"2026-07-29T10:44:21","slug":"algebre-lineaire","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/algebre-lineaire\/","title":{"rendered":"Introduction \u00e0 l\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire : un voyage math\u00e9matique"},"content":{"rendered":"<section class=\"you-know\"><div class=\"you-know__title\"><p>\ud83e\udde0 \u00c0 retenir :<\/p><\/div><div class=\"you-know__text\"><ul>\n<li>L\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire \u00e9tudie les vecteurs, les espaces vectoriels et les transformations lin\u00e9aires \u00e0 travers les matrices.<\/li>\n<li>Les matrices permettent la r\u00e9solution de syst\u00e8mes d\u2019\u00e9quations et la mod\u00e9lisation de transformations g\u00e9om\u00e9triques.<\/li>\n<li>La solution d\u2019un syst\u00e8me d\u2019\u00e9quations correspond \u00e0 l\u2019intersection g\u00e9om\u00e9trique de plusieurs plans ou droites.<\/li>\n<\/ul><\/div><\/section><p>L\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire est une branche fondamentale des math\u00e9matiques qui trouve des applications vari\u00e9es dans de nombreux domaines, allant de la physique \u00e0 l\u2019\u00e9conomie en passant par l\u2019informatique. Elle permet d\u2019analyser des <strong>syst\u00e8mes d\u2019\u00e9quations lin\u00e9aires<\/strong>, de travailler avec des <strong>matrices<\/strong> et des <strong>vecteurs<\/strong>, et de comprendre les <strong>transformations g\u00e9om\u00e9triques<\/strong>. Cet article explore les concepts cl\u00e9s de l\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire, fournissant un aper\u00e7u exhaustif pour les d\u00e9butants comme pour les initi\u00e9s.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"les-bases-de-lalgebre-lineaire\">Les bases de l\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"vecteurs-et-espaces-vectoriels\">Vecteurs et espaces vectoriels<\/h3>\n\n<p>Un <strong>vecteur<\/strong> est une quantit\u00e9 ayant \u00e0 la fois une magnitude et une direction. En alg\u00e8bre lin\u00e9aire, les vecteurs sont souvent repr\u00e9sent\u00e9s comme des listes de nombres, ou coordonn\u00e9es. Par exemple, le vecteur <em>v = [1, 2]<\/em> dans l\u2019espace bidimensionnel (R\u00b2) a une composante de 1 sur l\u2019axe x et une composante de 2 sur l\u2019axe y. Les vecteurs peuvent \u00eatre ajout\u00e9s ensemble ou multipli\u00e9s par un <strong>scalaire<\/strong> pour cr\u00e9er de nouveaux vecteurs.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"combinaisons-lineaires-et-bases\">Combinaisons lin\u00e9aires et bases<\/h3>\n\n<p>Une <strong>combinaison lin\u00e9aire<\/strong> de vecteurs implique de multiplier chaque vecteur par un scalaire et de sommer les r\u00e9sultats. Si nous avons deux vecteurs <em>u<\/em> et <em>v<\/em>, alors une combinaison lin\u00e9aire serait de la forme <em>a*u + b*v<\/em>, o\u00f9 <em>a<\/em> et <em>b<\/em> sont des scalaires. La notion de <strong>base<\/strong> en alg\u00e8bre lin\u00e9aire fait r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 un ensemble de vecteurs ind\u00e9pendants lin\u00e9airement qui engendrent l\u2019ensemble des vecteurs dans un espace vectoriel donn\u00e9.<\/p>\n<ul>\n    <li>Les vecteurs doivent \u00eatre <strong>ind\u00e9pendants lin\u00e9airement<\/strong> pour former une base.<\/li>\n    <li>La base permet de repr\u00e9senter tous les vecteurs de l\u2019espace.<\/li>\n    <li>Le nombre de vecteurs dans une base est la <strong>dimension<\/strong> de l\u2019espace.<\/li>\n<\/ul>\n\n<div style=\"position:relative;overflow:hidden;padding-top:56.25%\"><iframe style=\"position:absolute;top:0;left:0;width:95%;height:100%;border:0\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Zw-qI9DFv54?si=9DRMpo0zxmhf8T8U&#038;controls=0\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"matrices-et-transformations-lineaires\">Matrices et transformations lin\u00e9aires<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"definition-et-operations-sur-les-matrices\">D\u00e9finition et op\u00e9rations sur les matrices<\/h3>\n\n<p>Une <strong>matrice<\/strong> est un tableau rectangulaire de nombres arrang\u00e9 en lignes et en colonnes. Les matrices sont utilis\u00e9es pour repr\u00e9senter les syst\u00e8mes d\u2019\u00e9quations lin\u00e9aires et effectuer des transformations lin\u00e9aires. Par exemple, une matrice <em>A<\/em> peut transformer un vecteur <em>x<\/em> en un nouveau vecteur <em>y<\/em> via la multiplication matricielle, <em>Ax = y<\/em>.<\/p>\n<ol>\n    <li><strong>Addition de matrices :<\/strong> Ajouter deux matrices consiste \u00e0 ajouter leurs \u00e9l\u00e9ments correspondants.<\/li>\n    <li><strong>Multiplication de matrices :<\/strong> Pour multiplier deux matrices, on multiplie les \u00e9l\u00e9ments de la rang\u00e9e de la premi\u00e8re matrice par les \u00e9l\u00e9ments de la colonne de la seconde matrice et on effectue la somme des produits obtenus.<\/li>\n    <li><strong>Transposition :<\/strong> La transposition d\u2019une matrice implique de convertir ses lignes en colonnes et vice versa.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"systemes-dequations-lineaires\">Syst\u00e8mes d\u2019\u00e9quations lin\u00e9aires<\/h3>\n\n<p>Les <strong>syst\u00e8mes d\u2019\u00e9quations lin\u00e9aires<\/strong> apparaissent fr\u00e9quemment dans divers probl\u00e8mes pratiques. Un syst\u00e8me d\u2019\u00e9quations lin\u00e9aires est un ensemble de plusieurs \u00e9quations lin\u00e9aires impliquant un certain nombre d\u2019inconnues. Par exemple, consid\u00e9rons le syst\u00e8me suivant :<\/p>\n<p>2x + 3y = 5<br>4x &#8211; y = 6<\/p>\n<p>Ce syst\u00e8me peut \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9 sous forme matricielle comme suit :<\/p>\n<p><math><mtable columnalign=\"left\"><mtr><mtd><mtable><mtr><mtd><mn>2<\/mn><\/mtd><mtd><mn>3<\/mn><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mn>4<\/mn><\/mtd><mtd><mo>&#8211;<\/mo><mn>1<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mtd><mtd><mtable><mtr><mtd><mi>x<\/mi><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mi>y<\/mi><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mtd><mtd><mo>=<\/mo><\/mtd><mtd><mtable><mtr><mtd><mn>5<\/mn><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mn>6<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math><\/p>\n\n<div style=\"justify-content:center;align-items:center;margin-top:5px;margin-bottom:5px\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/xapbm7c37i.cloudimg.io\/https:\/\/sherpas.com\/p\/files\/photos\/maths\/algebre-lineaire-2.webp?w=640&#038;q=95\" alt=\"Image qui repr\u00e9sente l\u2019Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire\" width=\"640\" height=\"400\" style=\"width:100%;max-width:500px;height:auto;margin:0.9rem 0 0.9rem 0\" loading=\"lazy\"><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"espaces-vectoriels-et-sous-espaces\">Espaces vectoriels et sous-espaces<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"definition-des-espaces-vectoriels\">D\u00e9finition des espaces vectoriels<\/h3>\n\n<p>Un <strong>espace vectoriel<\/strong> est un ensemble de vecteurs o\u00f9 deux op\u00e9rations \u2014 addition de vecteurs et multiplication par un scalaire \u2014 sont d\u00e9finies et satisfont certaines propri\u00e9t\u00e9s (commutativit\u00e9, associativit\u00e9, etc.). Des exemples communs incluent l\u2019ensemble de toutes les n-uplets de nombres r\u00e9els, not\u00e9 R\u207f.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"sous-espaces-vectoriels\">Sous-espaces vectoriels<\/h3>\n\n<p>Un <strong>sous-espace<\/strong> est tout ensemble de vecteurs d\u2019un espace vectoriel donn\u00e9 qui lui-m\u00eame forme un espace vectoriel \u00e0 part enti\u00e8re. En d\u2019autres termes, si vous pouvez prendre n\u2019importe quel vecteur de votre sous-espace et le combiner lin\u00e9airement avec n\u2019importe quel autre vecteur du m\u00eame sous-espace, et que le r\u00e9sultat sera toujours dans ce sous-espace, alors il s\u2019agit bien d\u2019un sous-espace vectoriel.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"applications-geometriques-de-lalgebre-lineaire\">Applications g\u00e9om\u00e9triques de l\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"transformation-geometrique\">Transformation g\u00e9om\u00e9trique<\/h3>\n\n<p>Les matrices peuvent d\u00e9crire des <strong>transformations g\u00e9om\u00e9triques<\/strong> telles que les rotations, les translations et les mises \u00e0 l\u2019\u00e9chelle dans l\u2019espace. Par exemple, une <strong>matrice de rotation<\/strong> en deux dimensions peut \u00eatre utilis\u00e9e pour tourner un vecteur autour de l\u2019origine. La matrice de rotation pour un angle \u03b8 est donn\u00e9e par :<\/p>\n<p><math><mtable><mtr><mtd><mo>|<\/mo><\/mtd><mtd><mi>cos<\/mi><mo>(<\/mo><mi>\u03b8<\/mi><mo>)<\/mo><\/mtd><mtd><mo>&#8211;<\/mo><mi>sin<\/mi><mo>(<\/mo><mi>\u03b8<\/mi><mo>)<\/mo><\/mtd><mtd><mo>|<\/mo><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mo>|<\/mo><\/mtd><mtd><mi>sin<\/mi><mo>(<\/mo><mi>\u03b8<\/mi><mo>)<\/mo><\/mtd><mtd><mi>cos<\/mi><mo>(<\/mo><mi>\u03b8<\/mi><mo>)<\/mo><\/mtd><mtd><mo>|<\/mo><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math><\/p>\n<p>En appliquant cette transformation \u00e0 un vecteur, nous pouvons d\u00e9terminer son nouveau positionnement apr\u00e8s une rotation concr\u00e8te.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"interpretation-geometrique-des-systemes-dequations\">Interpr\u00e9tation g\u00e9om\u00e9trique des syst\u00e8mes d\u2019\u00e9quations<\/h3>\n\n<p>Chaque \u00e9quation lin\u00e9aire peut \u00eatre vue comme repr\u00e9sentant un hyperplan dans un espace multidimensionnel. La solution d\u2019un syst\u00e8me d\u2019\u00e9quations lin\u00e9aires correspond alors \u00e0 l\u2019intersection de ces hyperplans. Par exemple, dans un espace tridimensionnel, deux plans se coupent g\u00e9n\u00e9ralement en une ligne, et trois plans se rencontrent g\u00e9n\u00e9ralement en un point unique, \u00e0 condition que ces plans ne soient pas parall\u00e8les ou co\u00efncidents.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"proprietes-importantes-de-lalgebre-lineaire\">Propri\u00e9t\u00e9s importantes de l\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"independance-lineaire\">Ind\u00e9pendance lin\u00e9aire<\/h3>\n\n<p>Un ensemble de vecteurs est dit <strong>ind\u00e9pendant lin\u00e9airement<\/strong> si aucune combinaison lin\u00e9aire non triviale de ces vecteurs ne donne le vecteur nul. L\u2019ind\u00e9pendance lin\u00e9aire est cruciale car elle garantit qu\u2019aucun vecteur de l\u2019ensemble ne peut \u00eatre \u00e9crit comme une combinaison lin\u00e9aire des autres, ce qui signifie que chaque vecteur apporte une direction nouvelle ou unique.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"rang-dune-matrice\">Rang d\u2019une matrice<\/h3>\n\n<p>Le <strong>rang<\/strong> d\u2019une matrice correspond au nombre maximum de vecteurs lin\u00e9airement ind\u00e9pendants parmi ses lignes ou ses colonnes. Le rang d\u2019une matrice fournit des informations essentielles sur les solutions possibles des syst\u00e8mes d\u2019\u00e9quations lin\u00e9aires associ\u00e9s. Par exemple, si le rang de la matrice coefficient est \u00e9gal au nombre de variables, alors le syst\u00e8me a une solution unique.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"valeurs-propres-et-vecteurs-propres\">Valeurs propres et vecteurs propres<\/h3>\n\n<p>Les <strong>valeurs propres<\/strong> et <strong>vecteurs propres<\/strong> jouent des r\u00f4les cruciaux dans les transformations lin\u00e9aires. Une valeur propre d\u2019une matrice A est un scalaire \u03bb tel qu\u2019il existe un vecteur non nul v satisfaisant <math><mrow><mi>A<\/mi><mi>v<\/mi><mo>=<\/mo><mi>\u03bb<\/mi><mi>v<\/mi><\/mrow><\/math>. Ce vecteur v est alors appel\u00e9 un vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \u03bb. Ces concepts sont essentiels en analyse spectrale et ont de multiples applications en physique et ing\u00e9nierie.<\/p>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"methodes-de-resolution-des-systemes-dequations-lineaires\">M\u00e9thodes de r\u00e9solution des syst\u00e8mes d\u2019\u00e9quations lin\u00e9aires<\/h2>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"methode-de-substitution\">M\u00e9thode de substitution<\/h3>\n\n<p>La m\u00e9thode de substitution consiste \u00e0 r\u00e9soudre une des \u00e9quations pour l\u2019une des variables, puis substituer cette expression dans les autres \u00e9quations. Cette approche se poursuit jusqu\u2019\u00e0 ce que toutes les variables aient \u00e9t\u00e9 trouv\u00e9es. Ce processus est particuli\u00e8rement utile pour les petits syst\u00e8mes d\u2019\u00e9quations.<\/p>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"methode-delimination-de-gauss\">M\u00e9thode d\u2019\u00e9limination de Gauss<\/h3>\n\n<p>Cette m\u00e9thode transforme syst\u00e9matiquement le syst\u00e8me original en un syst\u00e8me triangulaire sup\u00e9rieur plus simple \u00e0 r\u00e9soudre. Voici les \u00e9tapes principales :<\/p>\n<ol>\n    <li>Convertir la matrice associ\u00e9e en une <strong>matrice \u00e9chelonn\u00e9e r\u00e9duite<\/strong> \u00e0 l\u2019aide d\u2019op\u00e9rations \u00e9l\u00e9mentaires sur les lignes.<\/li>\n    <li>Utiliser la technique de <strong>r\u00e9tro-substitution<\/strong> pour trouver les valeurs des inconnues \u00e0 partir de la derni\u00e8re ligne remontant \u00e0 la premi\u00e8re.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"methode-des-moindres-carres\">M\u00e9thode des moindres carr\u00e9s<\/h3>\n\n<p>C\u2019est une m\u00e9thode statistique utilis\u00e9e principalement lorsqu\u2019un syst\u00e8me d\u2019\u00e9quations n\u2019a pas de solutions exactes, souvent parce qu\u2019il y a plus d\u2019\u00e9quations que de variables. Cette technique minimise la somme des carr\u00e9s des \u00e9carts entre les donn\u00e9es observ\u00e9es et celles pr\u00e9dites par le mod\u00e8le. Appliqu\u00e9e couramment dans les mod\u00e8les de r\u00e9gression, elle produit une solution \u00ab\u00a0optimale\u00a0\u00bb relative aux donn\u00e9es disponibles.<\/p>\n<p>L\u2019exploration d\u00e9taill\u00e9e de l\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire, comprenant des concepts fondamentaux tels que les vecteurs, les espaces vectoriels, et les syst\u00e8mes d\u2019\u00e9quations lin\u00e9aires, montre clairement l\u2019importance de ce domaine math\u00e9matique. Des applications g\u00e9om\u00e9triques aux m\u00e9thodes diverses de r\u00e9solution d\u2019\u00e9quations, l\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire joue un r\u00f4le central dans le d\u00e9veloppement moderne des sciences et technologies. Que vous soyez \u00e9tudiant, chercheur ou praticien, ma\u00eetriser l\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire offre de vastes horizons de compr\u00e9hension et d\u2019application pratique.<\/p>\n\n<div style=\"position:relative;overflow:hidden;padding-top:56.25%\"><iframe style=\"position:absolute;top:0;left:0;width:95%;height:100%;border:0\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/vdEL0MOKAIg?si=1h_bd16mAYZvhm6A&#038;controls=0\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<div style=\"line-height:1.7;margin-top:0.75rem;margin-bottom:0.25rem;letter-spacing:-0.01em\">Nos autres articles sur <a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/algebre-fonctions\/\">l\u2019alg\u00e8bre et les fonctions<\/a> :<br><ul>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/arithmetique\/\">Arithm\u00e9tique<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/vecteurs\/\">Vecteurs<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/fonctions-mathematiques\/\">Fonctions Math\u00e9matiques<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/suite-arithmetique-geometrique\/\">Suites Arithm\u00e9tiques et G\u00e9om\u00e9triques<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/fonction-logarithme-decimal\/\">Fonction Logarithmique<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/fonctions-affines\/\">Fonctions Affines<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/developper-expression-maths\/\">D\u00e9veloppement Alg\u00e9brique<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/resoudre-equation-maths\/\">R\u00e9solution d\u2019\u00c9quations<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/polynome-second-degre\/\">Polyn\u00f4mes du Second Degr\u00e9<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/fractions\/\">Fractions<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/equations-quadratiques\/\">\u00c9quations Quadratiques<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/sherpas.com\/blog\/definition-la-division-euclidienne\/\">Division Euclidienne<\/a><\/li>\n<\/ul><\/div>\n\n<div class=\"kk-star-ratings kksr-auto kksr-align-center kksr-valign-bottom\"\n    data-payload='{&quot;align&quot;:&quot;center&quot;,&quot;id&quot;:&quot;309215&quot;,&quot;slug&quot;:&quot;default&quot;,&quot;valign&quot;:&quot;bottom&quot;,&quot;ignore&quot;:&quot;&quot;,&quot;reference&quot;:&quot;auto&quot;,&quot;class&quot;:&quot;&quot;,&quot;count&quot;:&quot;0&quot;,&quot;legendonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;readonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;score&quot;:&quot;0&quot;,&quot;starsonly&quot;:&quot;&quot;,&quot;best&quot;:&quot;5&quot;,&quot;gap&quot;:&quot;5&quot;,&quot;greet&quot;:&quot;Tu as aim\u00e9 cet article ?&quot;,&quot;legend&quot;:&quot;0\\\/5 - (0 vote)&quot;,&quot;size&quot;:&quot;24&quot;,&quot;title&quot;:&quot;Introduction \u00e0 l\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire : un voyage math\u00e9matique&quot;,&quot;width&quot;:&quot;0&quot;,&quot;_legend&quot;:&quot;{score}\\\/{best} - ({count} {votes})&quot;,&quot;font_factor&quot;:&quot;1.25&quot;}'>\n            \n<div class=\"kksr-stars\">\n    \n<div class=\"kksr-stars-inactive\">\n            <div class=\"kksr-star\" data-star=\"1\" style=\"padding-right: 5px\">\n            \n\n<div class=\"kksr-icon\" style=\"width: 24px; 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