{"id":264083,"date":"2023-09-11T10:18:24","date_gmt":"2023-09-11T08:18:24","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=264083"},"modified":"2024-04-15T15:20:28","modified_gmt":"2024-04-15T13:20:28","slug":"theoreme-bezout","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/theoreme-bezout\/","title":{"rendered":"Th\u00e9or\u00e8me de B\u00e9zout : d\u00e9finition, calcul \ud83d\udd22"},"content":{"rendered":"\n

Aujourd\u2019hui on te parle d\u2019un th\u00e9or\u00e8me fondamental en arithm\u00e9tique : le th\u00e9or\u00e8me de B\u00e9zout<\/strong> ! De sa d\u00e9finition \u00e0 des exercices en passant par sa d\u00e9monstration, on te dit tout ! Tu es pr\u00eat ? \u00c0 ta calculette et c\u2019est parti !  \ud83d\ude4c<\/p>\n\n\n

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\"Bart
Avec les Sherpas, c’est un \u00ab\u00a0A\u00a0\u00bb que tu auras !<\/em><\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Le th\u00e9or\u00e8me de B\u00e9zout, c\u2019est quoi ? \ud83d\udc40 <\/h2>\n\n\n\n

D\u00e9finition \ud83d\udcd6<\/h3>\n\n\n\n

On compte en r\u00e9alit\u00e9 deux th\u00e9or\u00e8mes ! <\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udc49 Th\u00e9or\u00e8me de l\u2019identit\u00e9 de Bachet-B\u00e9zout : <\/strong>soit a et b, deux entiers relatifs, et d leur PGCD<\/a> (plus grand commun diviseur). Il existe deux entiers relatifs u et v tels que ab+bv=d. <\/p>\n\n\n

\n

\ud83d\udca1 Rappel PGCD<\/p>\n<\/div>\n

\n

Le plus grand commun diviseur<\/strong> entre deux nombres entiers (ou plus) est le nombre entier naturel qui divise simultan\u00e9ment tous ces nombres.<\/p>\n

 <\/p>\n

\u21aa\ufe0f Exemple : PGCD de 36 et 60<\/p>\n

 <\/p>\n

Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12
\nLes diviseurs de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12
\nLe plus grand commun diviseur est donc 12<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

Le PGCD de deux entiers a et b peut donc s\u2019exprimer de la fa\u00e7on suivante : d=au+bv , avec u et v des entiers. <\/p>\n\n\n\n

Dans le cas o\u00f9 d=1, on obtient le th\u00e9or\u00e8me de B\u00e9zout ! <\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udc49 Th\u00e9or\u00e8me de B\u00e9zout :<\/strong> deux entiers relatifs a et b sont premiers<\/a> entre eux si, et seulement si, il existe des entiers relatifs u et v tels que au+bv=1. <\/p>\n\n\n

\n

\ud83d\udca1 Rappel nombres premiers<\/p>\n<\/div>\n

\n

Un nombre premier est nombre entier naturel positif qui ne peut \u00eatre divisible que par lui-m\u00eame ou par 1.<\/p>\n

 <\/p>\n

\u21aa\ufe0f Exemple : 13 est un nombre premier car il est divisible par uniquement 1 et 13.<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

Deux nombres sont premiers entre eux quand ils n\u2019ont pas de facteur commun autre que 1. <\/p>\n\n\n\n

\u21aa\ufe0f Exemple : 7 et 17 sont premiers entre eux car 7=1×7 et 17=17×1. Leur seul facteur commun est 1. <\/p>\n\n\n

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\n \"Logo\n <\/div>\n
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Martin<\/p>

HEC Paris<\/p>

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23\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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Fabien<\/p>

T\u00e9l\u00e9com Paris<\/p>

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20\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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David<\/p>

EDHEC<\/p>

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25\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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Emma<\/p>

Dauphine<\/p>

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15\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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No\u00e9mie<\/p>

M2 en droit \u00e0 Assas<\/p>

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19\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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Agathe<\/p>

ENS Lyon<\/p>

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19\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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Thibault<\/p>

ENS Paris Ulm<\/p>

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20\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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Jade<\/p>

Sciences Po Paris<\/p>

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21\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n<\/div>\n

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\n \"Logo\n <\/div>\n

Ton premier cours particulier est offert ! \ud83c\udf81<\/span><\/p>\n<\/div>\n

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\n \n J’EN PROFITE MAINTENANT !\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

D\u00e9monstration \ud83e\udd13<\/h3>\n\n\n\n

\ud83d\udca1 Rappel du th\u00e9or\u00e8me de Bachet-B\u00e9zout :<\/strong> <\/p>\n\n\n

Soient \"a\" et \"b\", deux entiers relatifs non nul. Il existe un couple d\u2019entiers relatifs \"(u,v)\" tel que \"au+bv=PGCD(a,b)\"<\/p>\n\n\n

Soit l\u2019ensemble \"G\" qui regroupe tous les entiers positifs qui s\u2019\u00e9crivent sous la forme : \"au+bv\", o\u00f9 \"u\" et \"v\" sont deux entiers relatifs.<\/p>\n\n\n

On cherche \u00e0 d\u00e9montrer que \"d=PGCD(a,b)\" appartenant \u00e0 \"G\".<\/p>\n\n\n

On suppose que \"a\neq0\" et que \"a\" est strictement positif ou n\u00e9gatif, alors \"G\" contient \"a\times1+b\times0\" et \"a\times(-1)+b\times0\"
\ndonc \"G\" est une partie non vide de \"\mathbb{N}^*\" et admet un plus petit \u00e9l\u00e9ment, \"d\".<\/p>\n\n\n

Maintenant on cherche \u00e0 d\u00e9montrer que \"PGCD(a,b)=d\" avec \"d\" appartenant \u00e0 \"G\".<\/p>\n\n\n

Soit \"(u,v)\" un couple d\u2019entiers relatifs tel que \"d=au+bv\" dont l\u2019existence est assur\u00e9e car \"d\" appartient \u00e0 \"G\".<\/p>\n\n\n

Si \"d\" divise \"a\" et \"b\" alors \"d\leq{PGCD(a,b)}\"
\nSi \"PGCD(a,b)\" divise \"d\", alors \"PGCD(a,b)\leq{d}\"
\nAlors \"d=PGCD(a,b)\"<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udccc Premi\u00e8re \u00e9tape :<\/strong> on veut d\u00e9montrer que d divise a et b. <\/p>\n\n\n\n

On d\u00e9montre cela en proc\u00e9dant par une division euclidienne<\/a><\/strong>.<\/p>\n\n\n

Soient \"q\" et \"r\", le quotient et le reste de la division euclidienne de \"a\" par \"d\", on a : <\/p>\n

\"a=dq+r\"
\n\"a=(au+bv)q+r\", o\u00f9 \"0\leq{r}<d\" (comme c\u2019est le reste de la division euclidienne)<\/p>\n\n\n\n

On raisonne par l\u2019absurde. <\/p>\n\n\n

Comme ici on veut montrer que \"d\" est le \"PGCD\", alors le reste doit \u00eatre \u00e9gal \u00e0 0 \"(r=0)\". On suppose donc que \"r\neq0\"<\/p>\n

On a donc :
\n\"r=a(1-uq)+b(-vq)\" appartient \u00e0 \"G\" et est strictement inf\u00e9rieur \u00e0 \"d\", ce qui contredit la d\u00e9finition de \"d\".<\/p>\n\n\n

Donc \"r=0\"<\/p>\n\n\n

Donc \"d\" divise \"a\" car le reste dans la division euclidienne est \"0\"<\/p>\n\n\n

De m\u00eame, \"d\" divise \"b\" (on proc\u00e8de de la m\u00eame mani\u00e8re)<\/p>\n

Comme \"d\" divise \u00e0 la fois \"a\" et \"b\", alors \"d\leq{PGCD(a,b)}\"<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udccc Deuxi\u00e8me \u00e9tape :<\/strong> On veut d\u00e9montrer que PGCD(a,b) divise d<\/p>\n\n\n

On sait que le \"PGCD(a,b)\" divise \"a\" et \"b\". Donc il divise \u00e9galement les multiples de \"a\" et \"b\" : \"au\" et \"bv\". Et il divise \u00e9galement la somme des multiples de \"a\" et \"b\" : \"au+bv\".<\/p>\n\n\n

On rappelle que \"d=au+bv\" \"\Rightarrow\" \"PGCD(a,b)\" divise \"d\"<\/p>\n

d\u2019o\u00f9 \"PGCD(a,b)\leq{d}\"<\/p>\n\n\n

Si \"d\" divise \"a\" et \"b\" alors \"d\leq{PGCD(a,b)}\"
\nSi \"PGCD(a,b)\" divise \"d\", alors \"PGCD(a,b)\leq{d}\"
\nAlors \"d=PGCD(a,b)\"<\/p>\n\n\n

On en conclut qu\u2019il existe un couple d\u2019entiers relatifs \"(u,v)\" tel que \"PGCD(a,b)=au+bv\"<\/p>\n\n\n

\n
\"Une
\u00c7a y est, on est arriv\u00e9 \u00e0 bout de la d\u00e9monstration ! <\/em><\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

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\u00c0 quoi \u00e7a sert ? \ud83e\udd14<\/h3>\n\n\n\n

C\u2019est bien beau, mais \u00e0 quoi \u00e7a sert concr\u00e8tement ? Eh bien, il est tr\u00e8s utile pour r\u00e9soudre une \u00e9quation <\/strong>diophantienne<\/strong><\/a>. <\/p>\n\n\n

\n

\ud83e\udd14 Une \u00e9quation diophantienne, c\u2019est quoi ?<\/p>\n<\/div>\n

\n

Une \u00e9quation diophantienne est une \u00e9quation polynomiale \u00e0 une ou plusieurs inconnues avec des coefficients entiers dont les solutions sont cherch\u00e9es parmi les nombres entiers, \u00e9ventuellement rationnels.<\/p>\n

 <\/p>\n

\u21aa\ufe0f Exemple : 21x+16y=1<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

M\u00e9thode : algorithme d\u2019Euclide \u2797<\/h3>\n\n\n\n

L\u2019algorithme d\u2019Euclide<\/strong> est une m\u00e9thode permettant de trouver le PGCD de deux nombres.  <\/p>\n\n\n

Si \"a\" et \"b\" sont deux entiers naturels avec par exemple \"a\geqb\", si \"r\" est le reste de \"a\" et \"b\", alors le PGCD de \"a\" et \"b\" vaut le PGCD de \"b\" et \"r\".<\/p>\n\n\n

En pratique, on fait des divisions euclidienne jusqu\u2019\u00e0 ce que le reste est nul (\"r=0\")<\/p>\n\n\n\n

\u21aa\ufe0f Exemple : calcul du PGCD de 561 et 357<\/p>\n\n\n\n

561=357×1+204<\/p>\n\n\n\n

357=204×1+153<\/p>\n\n\n\n

204=153×1+51<\/p>\n\n\n\n

153=51×3+0<\/p>\n\n\n\n

PGCD(561;357)=51<\/p>\n\n\n\n

Si on revient \u00e0 notre th\u00e9or\u00e8me de B\u00e9zout, on utilise la m\u00e9thode de l\u2019algorithme d\u2019Euclide quand on te demande de prouver que deux nombres sont premiers entre eux. Donc il faudrait trouver un PGCD \u00e9gal \u00e0 1. <\/p>\n\n\n\n

\u21aa\ufe0f Exemple : prouve que 479 et 127 sont premiers entre eux <\/p>\n\n\n\n

479=3×127+98<\/p>\n\n\n\n

127=1×98+29<\/p>\n\n\n\n

98=3×29+11<\/p>\n\n\n\n

29=2×11+7<\/p>\n\n\n\n

11=1×7+4<\/p>\n\n\n\n

7=1×4+3<\/p>\n\n\n\n

4=1×3+1<\/strong><\/p>\n\n\n\n

3=1×3+0<\/p>\n\n\n\n

Le PGCD de 479 et 127 est bien 1. Ils sont donc premiers entre eux. <\/p>\n\n\n\n

On en d\u00e9duit selon le th\u00e9or\u00e8me de B\u00e9zout qu\u2019il existe deux entiers u et v tels que 479u+127v=1<\/p>\n\n\n\n

Comment d\u00e9terminer u et v ? On remonte l\u2019algorithme d\u2019Euclide pour trouver des coefficients pour u et v. <\/p>\n\n\n\n

1=4-1×3<\/p>\n\n\n\n

1=4-1(7-1×4)<\/p>\n\n\n\n

1=-1×7+2×4<\/p>\n\n\n\n

1=-1×7+2(11-1×7)<\/p>\n\n\n\n

1=2×11-3×7<\/p>\n\n\n\n

1=2×11-3(29-2×11)<\/p>\n\n\n\n

1=-3×29+8×11<\/p>\n\n\n\n

1=-3×29+8(98-3×29)<\/p>\n\n\n\n

1=8×98-27×29<\/p>\n\n\n\n

1=8×98-27(127-1×98)<\/p>\n\n\n\n

1=-27×127+35×98<\/p>\n\n\n\n

1=-27×127+35(479-3×127)<\/p>\n\n\n\n

1=35×479-132×127<\/p>\n\n\n\n

u=35 et v=127 <\/p>\n\n\n

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\"Un<\/figure>\n<\/div>\n\n
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\n \n \n \n \n \"Personne\n <\/picture>\n
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Nos Sherpas donnent des cours particuliers d’alg\u00e8bre !<\/p>\n<\/div>\n