{"id":258688,"date":"2023-06-02T09:00:00","date_gmt":"2023-06-02T07:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=258688"},"modified":"2023-09-12T12:28:55","modified_gmt":"2023-09-12T10:28:55","slug":"loi-binomiale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/loi-binomiale\/","title":{"rendered":"Loi binomiale : d\u00e9finition, formule, propri\u00e9t\u00e9s \ud83d\udd22"},"content":{"rendered":"\n

Aujourd\u2019hui, on te parle d\u2019une notion cl\u00e9 en probabilit\u00e9s : la loi binomiale<\/strong> ! Dans cette fiche de cours on t\u2019explique ce qu\u2019est cette loi de probabilit\u00e9 et comment l\u2019appliquer dans des exercices. Tu es pr\u00eat ? C\u2019est parti ! \ud83d\ude80<\/p>\n\n\n

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\"You
Toi, avant de conna\u00eetre les Sherpas !<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

La loi binomiale, c\u2019est quoi ? \ud83d\udc40<\/h2>\n\n\n\n

Histoire \ud83d\udcda<\/h3>\n\n\n\n

L’histoire de la loi binomiale remonte \u00e0 l\u2019ann\u00e9e 1713 avec Jacob Bernoulli<\/strong>, un math\u00e9maticien suisse.  <\/p>\n\n\n\n

Jacob Bernoulli \u00e9tudie les processus de tirage al\u00e9atoire<\/strong>, notamment les jeux de pile ou face. Il r\u00e9alise des exp\u00e9riences et observe les r\u00e9sultats obtenus. Il formule ensuite des principes math\u00e9matiques pour d\u00e9crire ces r\u00e9sultats.<\/p>\n\n\n\n

Il introduit la loi binomiale formellement dans son ouvrage Ars Conjectandi<\/em>. Lors d’une m\u00eame exp\u00e9rience, ind\u00e9pendante, r\u00e9p\u00e9t\u00e9e plusieurs fois qui admet deux issues (le succ\u00e8s ou l’\u00e9chec), Bernoulli utilise la loi binomiale pour mod\u00e9liser le nombre de succ\u00e8s<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n

Aujourd\u2019hui, la loi binomiale est un des concepts fondamentaux de la th\u00e9orie des probabilit\u00e9s ! <\/strong><\/p>\n\n\n

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\"\"
Bernoulli, toute la journ\u00e9e !<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n
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\u00c0 lire aussi<\/p>\n

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\ud83c\udf9e\ufe0f D\u00e9couvre notre s\u00e9lection des 7 films qui vont te faire aimer les maths<\/a> !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

D\u00e9finition \ud83d\udcd6<\/h3>\n\n\n\n

Si tu as lu l\u2019histoire de la binomiale, tu l\u2019as bien compris, elle a un rapport avec la loi de Bernouilli. On t\u2019explique ! <\/p>\n\n\n

\n

\ud83d\udca1 Rappel de la loi de Bernoulli<\/p>\n<\/div>\n

\n

Soit une \u00e9preuve de Bernoulli de param\u00e8tre p et X une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te qui vaut 1 si l\u2019\u00e9preuve donne un succ\u00e8s et 0 si elle donne un \u00e9chec.
\nP(X= 1) = p et P(X=0) = 1- p, avec 0 \u2264 p \u2264 1<\/p>\n

\"\"<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

La loi binomiale, de param\u00e8tres n et p<\/strong>, est la loi de probabilit\u00e9 d\u2019une variable al\u00e9atoire X \u00e9gale au nombre de succ\u00e8s<\/strong> rencontr\u00e9s au cours d\u2019une r\u00e9p\u00e9tition de n \u00e9preuves de Bernoulli, p \u00e9tant la probabilit\u00e9 de succ\u00e8s dans chacune d\u2019entre elles.<\/p>\n\n\n\n

On note : <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Donc la loi binomiale est une loi de Bernoulli, mais avec plusieurs \u00e9preuves qui ne d\u00e9pendent pas les unes des autres. <\/p>\n\n\n\n

Formule \ud83e\udd13<\/h3>\n\n\n

\"P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\"<\/p>\n

\"P(X=k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\"<\/p>\n\n\n

La combinaison \"\binom{n}{k}\" est le coefficient de binomiale. On dit aussi k parmi n, donc les succ\u00e8s parmi toutes \u00e9preuves.<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udccd n : param\u00e8tre du nombre d\u2019\u00e9preuves de Bernoulli<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udccd p : param\u00e8tre de la probabilit\u00e9 d\u2019avoir un succ\u00e8s<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udccd (1-p) : la probabilit\u00e9 d\u2019avoir un \u00e9chec <\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udccd k : le nombre de succ\u00e8s<\/p>\n\n\n

\n

\ud83d\udca1 Rappel sur les factorielles<\/p>\n<\/div>\n

\n

n!=1x2x3x\u2026x(n-1)xn<\/p>\n

 <\/p>\n

\u21aa\ufe0f Exemple<\/p>\n

4!=1x2x3x4=24<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

Propri\u00e9t\u00e9s<\/h3>\n\n\n\n

L\u2019esp\u00e9rance de X, not\u00e9e E(X), est la moyenne des valeurs possibles de X pond\u00e9r\u00e9e par les probabilit\u00e9s que ces valeurs arrivent.<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udc49 E(X)=np<\/p>\n\n\n\n

La variance<\/a> de X, not\u00e9e V(X), est l\u2019\u00e9cart moyen entre chaque valeur et la moyenne. Elle permet de voir si les diff\u00e9rentes valeurs sont plus ou moins dispers\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udc49 V(X)=np(1-p)<\/p>\n\n\n\n

Si tu as des lacunes, prends des cours de probabilit\u00e9s<\/a> avec un de nos Sherpas ! <\/p>\n\n\n

\n

\u00c0 lire aussi<\/p>\n

\n

\u2705 D\u00e9couvre la loi de Poisson<\/a> en probabilit\u00e9 !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n

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\n \"Logo\n <\/div>\n
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Emma<\/p>

Dauphine<\/p>

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15\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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Fanny<\/p>

Ponts ParisTech<\/p>

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19\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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Martin<\/p>

HEC Paris<\/p>

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23\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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Margot<\/p>

Arts et M\u00e9tiers ParisTech<\/p>

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22\u20ac\/h\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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Olivier<\/p>

La Sorbonne<\/p>

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13\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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Antoine<\/p>

Sciences Po Paris<\/p>

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18\u20ac\/h\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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Emilie<\/p>

Sciences Po Lyon<\/p>

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19\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n

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Jeanne<\/p>

Aix-Marseille Universit\u00e9<\/p>

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17\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n<\/div>\n

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\n \"Logo\n <\/div>\n

Ton premier cours particulier est offert ! \ud83c\udf81<\/span><\/p>\n<\/div>\n

Nos profs sont pass\u00e9s par les meilleures \u00e9coles et universit\u00e9s.<\/p>\n

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\n \n J’EN PROFITE MAINTENANT !\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

Exercices<\/h2>\n\n\n\n

Maintenant, exerce-toi ! <\/p>\n\n\n

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\u00c0 toi de jouer !<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

Exercice 1 <\/h3>\n\n\n\n

Soit X une variable al\u00e9atoire qui suit une loi binomiale de param\u00e8tres n=20 et p=10%<\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. Calcule la probabilit\u00e9 d\u2019avoir 5 succ\u00e8s.<\/li>\n\n\n\n
  2. Calcule la probabilit\u00e9 au plus 3 succ\u00e8s. <\/li>\n\n\n\n
  3. Calcule la probabilit\u00e9 moins de 3 succ\u00e8s <\/li>\n\n\n\n
  4. Calcule la probabilit\u00e9 d\u2019avoir entre 3 et 5 succ\u00e8s (inclus)<\/li>\n\n\n\n
  5. Donne l\u2019esp\u00e9rance et la variance <\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Exercice 2<\/h3>\n\n\n\n

    Tu lances une pi\u00e8ce de monnaie 10 fois de mani\u00e8re ind\u00e9pendante. Chaque fois que tu obtiens face, tu gagnes 1 point. <\/p>\n\n\n\n

      \n
    1. Quelle est la probabilit\u00e9 d\u2019avoir exactement 3 points ? <\/li>\n\n\n\n
    2. Quelle est la probabilit\u00e9 d\u2019avoir 2 points ou moins ?  <\/li>\n\n\n\n
    3. Quelle est la probabilit\u00e9 d\u2019avoir entre 7 et 9 points (inclus) ? <\/li>\n\n\n\n
    4. Quelle est la probabilit\u00e9 de faire carton plein (10 points) ? <\/li>\n\n\n\n
    5. Quelle est la probabilit\u00e9 de n\u2019avoir aucun point ? <\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

      Corrections<\/h2>\n\n\n\n

      Correction 1<\/h3>\n\n\n

      1. \"P(X=5)=\binom{20}{5}0,1^5(1-0,1)^{20-5}=\frac{20!}{5!(20-5)!}0,1^5(1-0,1)^{20-5}\"<\/p>\n

      \"P(X=5)=\frac{20!}{5!(20-5)!}0,1^5(1-0,1)^{20-5}=0,0319\"<\/p>\n\n\n\n

      Tu as 3,19% d\u2019avoir 5 succ\u00e8s. <\/p>\n\n\n

      \n

      \ud83d\udca1 Astuce<\/p>\n<\/div>\n

      \n

      Il existe la table de la loi binomiale pour trouver directement la probabilit\u00e9 !<\/p>\n

       <\/p>\n

      Tu as juste \u00e0 regarder les param\u00e8tres n, p et k dans la table et tu as la r\u00e9ponse !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n

      \n
      \"\"<\/figure><\/div>\n\n

      2. \"P(X\leq3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\"<\/p>\n

      \"P(X\leq3)=\frac{20!}{0!(20-0)!}\times0,1^0\times(1-0,1)^{20-0}+\frac{20!}{1!(20-1)!}\times0,1^1\times(1-0,1)^{20-1}+\frac{20!}{2!(20-2)!}\times0,1^2\times(1-0,1)^{20-2}+\frac{20!}{3!(20-3)!}\times0,1^3\times(1-0,1)^{20-3}\"<\/p>\n

      \"P(X\leq3)=0,1216+0,2702+0,2852+0,1901=0,8671\"<\/p>\n\n\n\n

      Tu as 86,71% d\u2019avoir au plus 3 succ\u00e8s. <\/p>\n\n\n

      3. \"P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,1216+0,2702+0,2852=0,6762\"<\/p>\n\n\n\n

      Tu as 67,62% de chance d\u2019avoir moins de 3 succ\u00e8s. <\/p>\n\n\n

      4. \"P(3\leq{X}\leq5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\"<\/p>\n

      \"P(3\leq{X}\leq5)=0,1901+0,0898+0,0319=0,3118\"<\/p>\n\n\n\n

      Tu as 31,18% de chance d\u2019avoir un succ\u00e8s.<\/p>\n\n\n

      5. On rappelle que \"E(X)=np\" et \"V(X)=np(1-p)\"<\/p>\n

      \"E(X)=20\times0,1=2\"<\/p>\n

      L\u2019esp\u00e9rance est de 2.<\/p>\n

      \"V(X)=20\times0,1\times0,9=1,8\"<\/p>\n

      La variance est de 1,8.<\/p>\n\n\n\n

      Correction 2<\/h3>\n\n\n\n

      Soit X une variable al\u00e9atoire qui suit une loi binomiale de param\u00e8tres n=10 et p=0,5 et k le nombre de points que tu gagnes (nombre de succ\u00e8s). <\/p>\n\n\n

      1. \"P(X=3)=\frac{10!}{3!(10-3)!}\times0,5^3\times(1-0,5)^{10-3}=0,1172\"<\/p>\n\n\n\n

      Tu as 11,72% de chance d\u2019avoir 3 points (3 fois face). <\/p>\n\n\n

      2. \"P(X\leq3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\"<\/p>\n

      \"P(X\leq3)=\frac{10!}{0!(10-0)!}\times0,5^0\times(1-0,5)^{20-0}+\frac{10!}{1!(10-1)!}\times0,5^1\times(1-0,5)^{10-1}+\frac{10!}{2!(10-2)!}\times0,5^2\times(1-0,5)^{10-2}\"<\/p>\n

      \"P(X\leq3)=0,0010+0,0098+0,0439=0,0547\"<\/p>\n\n\n\n

      Tu as 5,47% de chance d\u2019avoir entre 0 et 2 points (0, 1 ou 2 fois face). <\/p>\n\n\n

      3. \"P(7\leq{X}\leq9)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)\"<\/p>\n

      \"P(7\leq{X}\leq9)=\frac{10!}{7!(10-7)!}\times0,5^7\times(1-0,5)^{10-7}+\frac{10!}{8!(10-8)!}\times0,5^8\times(1-0,5)^{10-8}+\frac{10!}{9!(10-9)!}\times0,5^9\times(1-0,5)^{10-9}\"<\/p>\n

      \"P(7\leq{X}\leq9)=0,1172+0,0439+0,0098=0,1709\"<\/p>\n\n\n\n

      Tu as 17,09% de chance d\u2019avoir entre 7 et 9 points (7, 8 ou 9 fois face). <\/p>\n\n\n

      4. \"P(X=10)=\frac{10!}{10!(10-10)!}\times0,5^10\times(1-0,5)^{10-10}=0,0010\"<\/p>\n\n\n\n

      Tu as 0,1% de chance de n\u2019avoir que des succ\u00e8s (10 fois face).<\/p>\n\n\n

      5. \"P(X=0)=\frac{10!}{0!(10-0)!}\times0,5^0\times(1-0,5)^{10-0}=0,0010\"<\/p>\n\n\n\n

      Tu as 0,1% de chance de n\u2019avoir que des \u00e9checs (10 fois pile). <\/p>\n\n\n

      \n

      \ud83d\udca1 Le savais-tu ? <\/p>\n<\/div>\n

      \n

      On est dans un jeu o\u00f9 la probabilit\u00e9 d\u2019avoir un succ\u00e8s est \u00e9gale \u00e0 celle d\u2019avoir un \u00e9chec. Donc la probabilit\u00e9 de n\u2019avoir que des succ\u00e8s est \u00e9gale \u00e0 celle de n\u2019avoir que des \u00e9checs.<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n

      \n
      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

      On arrive au bout de notre fiche de maths sur la loi binomiale<\/strong> ! On esp\u00e8re qu\u2019elle t\u2019a plu et qu\u2019elle t\u2019a permis de mieux comprendre cette notion primordiale en probabilit\u00e9s. N\u2019h\u00e9site pas \u00e0 prendre des cours de maths<\/a> avec un de nos Sherpas si tu as des difficult\u00e9s. <\/p>\n\n\n

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      \n 5\/5 - (3 votes) <\/div>\n <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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