{"id":258688,"date":"2023-06-02T09:00:00","date_gmt":"2023-06-02T07:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=258688"},"modified":"2025-05-20T13:55:03","modified_gmt":"2025-05-20T11:55:03","slug":"loi-binomiale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/loi-binomiale\/","title":{"rendered":"Loi binomiale : d\u00e9finition, formule, propri\u00e9t\u00e9s \ud83d\udd22"},"content":{"rendered":"\n

Aujourd\u2019hui, on te parle d\u2019une notion cl\u00e9 en probabilit\u00e9s : la loi binomiale<\/strong> ! Dans cette fiche de cours on t\u2019explique ce qu\u2019est cette loi de probabilit\u00e9 et comment l\u2019appliquer dans des exercices. Tu es pr\u00eat ? C\u2019est parti ! \ud83d\ude80<\/p>\n\n\n

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\"You
Toi, avant de conna\u00eetre les Sherpas !<\/em><\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

La loi binomiale, c\u2019est quoi ? \ud83d\udc40<\/h2>\n\n\n\n

Histoire \ud83d\udcda<\/h3>\n\n\n\n

L’histoire de la loi binomiale remonte \u00e0 l\u2019ann\u00e9e 1713 avec Jacob Bernoulli<\/strong>, un math\u00e9maticien suisse.  <\/p>\n\n\n\n

Jacob Bernoulli \u00e9tudie les processus de tirage al\u00e9atoire<\/strong>, notamment les jeux de pile ou face. Il r\u00e9alise des exp\u00e9riences et observe les r\u00e9sultats obtenus. Il formule ensuite des principes math\u00e9matiques pour d\u00e9crire ces r\u00e9sultats.<\/p>\n\n\n\n

Il introduit la loi binomiale formellement dans son ouvrage Ars Conjectandi<\/em>. Lors d’une m\u00eame exp\u00e9rience, ind\u00e9pendante, r\u00e9p\u00e9t\u00e9e plusieurs fois qui admet deux issues (le succ\u00e8s ou l’\u00e9chec), Bernoulli utilise la loi binomiale pour mod\u00e9liser le nombre de succ\u00e8s<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n

Aujourd\u2019hui, la loi binomiale est un des concepts fondamentaux de la th\u00e9orie des probabilit\u00e9s ! <\/strong><\/p>\n\n\n

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Bernoulli, toute la journ\u00e9e !<\/em><\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n
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\u00c0 lire aussi<\/p>\n

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\ud83c\udf9e\ufe0f D\u00e9couvre notre s\u00e9lection des 7 films qui vont te faire aimer les maths<\/a> !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

D\u00e9finition \ud83d\udcd6<\/h3>\n\n\n\n

Si tu as lu l\u2019histoire de la binomiale, tu l\u2019as bien compris, elle a un rapport avec la loi de Bernouilli. On t\u2019explique ! <\/p>\n\n\n

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\ud83d\udca1 Rappel de la loi de Bernoulli<\/p>\n<\/div>\n

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Soit une \u00e9preuve de Bernoulli de param\u00e8tre p et X une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te qui vaut 1 si l\u2019\u00e9preuve donne un succ\u00e8s et 0 si elle donne un \u00e9chec.
\nP(X= 1) = p et P(X=0) = 1- p, avec 0 \u2264 p \u2264 1<\/p>\n

\"\"<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

La loi binomiale, de param\u00e8tres n et p<\/strong>, est la loi de probabilit\u00e9 d\u2019une variable al\u00e9atoire X \u00e9gale au nombre de succ\u00e8s<\/strong> rencontr\u00e9s au cours d\u2019une r\u00e9p\u00e9tition de n \u00e9preuves de Bernoulli, p \u00e9tant la probabilit\u00e9 de succ\u00e8s dans chacune d\u2019entre elles.<\/p>\n\n\n\n

On note : <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Donc la loi binomiale est une loi de Bernoulli, mais avec plusieurs \u00e9preuves qui ne d\u00e9pendent pas les unes des autres. <\/p>\n\n\n\n

Formule \ud83e\udd13<\/h3>\n\n\n

\"P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\"<\/p>\n

\"P(X=k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\"<\/p>\n\n\n

La combinaison \"\binom{n}{k}\" est le coefficient de binomiale. On dit aussi k parmi n, donc les succ\u00e8s parmi toutes \u00e9preuves.<\/p>\n\n\n