Aujourd\u2019hui, on t\u2019explique une notion essentielle en math\u00e9matiques : les nombres premiers !<\/strong> Tu as s\u00fbrement d\u00e9j\u00e0 entendu parler de ces nombres myst\u00e9rieux en cours, mais sais-tu \u00e0 quoi ils servent et comment les reconna\u00eetre ? Pour \u00e7a, on t\u2019a pr\u00e9par\u00e9 une fiche de maths<\/strong>. Tu es pr\u00eat ? C\u2019est parti ! \ud83d\ude80<\/p>\n\n\n

\n
$\"Quand$
Toi cherchant les nombres premiers avant cette fiche de maths ! <\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n
Les nombres premiers, c\u2019est quoi ? \ud83d\udc40<\/h2>\n\n\n\n
D\u00e9finition <\/strong>\ud83d\udcd6<\/h3>\n\n\n
\n
Les nombres premiers ne sont divisibles que par 1 et par eux- m\u00eames<\/span>. Ils occupent leur place dans la s\u00e9rie infinie des nombres naturels<\/span>, \u00e9cras\u00e9s comme les autres entre deux semblables, mais \u00e0 un pas de distance. Ce sont des nombres soup\u00e7onneux et solitaires<\/span>.<\/p>\n<\/q>\n\n
\n
Paolo Giordano<\/p>\n
La Solitude des Nombres Premiers<\/p>\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n
\n
$\"Toi$ <\/figure><\/div>\n\n\n
Un nombre premier est un nombre entier naturel positif<\/strong> qui ne peut \u00eatre divisible que par lui-m\u00eame ou par 1. <\/strong><\/p>\n\n\n
\n
Rappel \ud83d\udca1<\/p>\n<\/div>\n
\n
Les nombres entiers naturels sont les nombres entiers compris entre 0 et l\u2019infini.<\/strong>
\nLa liste des nombres entiers naturels est donc 1, 2, 3, 4, 5, \u2026 , \u221e<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n
\u26a0\ufe0f Attention ! <\/p>\n\n\n\n
Malgr\u00e9 son nom qui sugg\u00e8re le contraire, 1 n\u2019est pas un nombre premier<\/strong>. Il n\u2019a pas deux diviseurs distincts vu que 1, c\u2019est lui-m\u00eame ! <\/p>\n\n\n
\n
$\"1$ <\/figure><\/div>\n\n\n
\u21aa\ufe0f Exemple<\/p>\n\n\n\n
19 est un nombre premier. Essaie de le diviser par un autre nombre que 1 et 19. Tu n\u2019y arrives pas ? C\u2019est normal, car c\u2019est impossible ! <\/p>\n\n\n
$\"\frac{19}{1}=19 ; \frac{19}{19}=1\"$ <\/p>\n\n\n\n
Une infinit\u00e9 de nombres premiers ? \ud83e\udd14<\/h3>\n\n\n
\n
Les nombres premiers sont en quantit\u00e9 plus grande que toute quantit\u00e9<\/span> propos\u00e9e de nombres premiers.<\/p>\n<\/q>\n\n
\n
Euclide<\/p>\n
Math\u00e9maticien<\/p>\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n
\n
$\"La$
Quand tu listes les nombres premiers !<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n
Selon le th\u00e9or\u00e8me d\u2019Euclide<\/strong>, il existe une infinit\u00e9 de nombres premiers ! <\/strong>On te le d\u00e9montre par l\u2019absurde. <\/p>\n\n\n
\n
Le raisonnement par l\u2019absurde, c\u2019est quoi ?\ud83d\udca1<\/p>\n<\/div>\n
\n
En math\u00e9matiques, le raisonnement par l’absurde consiste \u00e0 d\u00e9montrer qu\u2019une proposition est vraie en montrant que son contraire est absurde<\/strong>.<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n
Ici, on veut d\u00e9montrer qu\u2019il existe une infinit\u00e9 de nombres premiers. <\/p>\n\n\n\n
On admet donc le contraire qui est qu\u2019il existe un nombre fini de nombres premier et on les note : <\/p>\n\n\n
$\"p_1, p_2, p_3, ..., p_n\"$ <\/p>\n\n\n\n
On forme le produit de ces nombres augment\u00e9 de 1 : <\/p>\n\n\n
$\"p=p_1\times{p_2}\times{p_3}\times…\times{p_n}+1\"$ <\/p>\n\n\n
$\"\frac{p}{p_1}=\frac{{p_1}\times{p_2}\times{p_3}\times…\times{p_n}+1}{p_1} = p_2\times{p_3}\times…\times{p_n}+1\"$ <\/p>\n\n\n
Donc le reste de la division de p par $\"p_1\"$ est 1. Idem pour $\"p_2, p_3\"$ et cela jusqu\u2019\u00e0 $\"p_n\"$
\nPuisque p n\u2019est divisible par aucun nombre premier, alors il est lui-m\u00eame premier. Ce qui contredit l\u2019hypoth\u00e8se de d\u00e9part, que $\"p_1, p_2, p_3,..., p_n\"$ contient tous les nombres premiers.<\/p>\n\n\n
\n
$\"Quand$ <\/figure><\/div>\n\n\n
Il existe donc une infinit\u00e9 de nombres premiers<\/strong>. CQFD !<\/p>\n\n\n\n
Pourquoi les nombres premiers sont-ils si importants ? \ud83e\udee3<\/h3>\n\n\n\n
Bon d\u2019accord, mais \u00e7a sert \u00e0 quoi ? Eh bien, sache que les nombres premiers sont le fondement de l\u2019arithm\u00e9tique<\/strong>. Tout nombre se d\u00e9compose en produits de plusieurs nombres premiers. <\/p>\n\n\n
\n
L\u2019arithm\u00e9tique, c\u2019est quoi ? \ud83d\udca1<\/p>\n<\/div>\n
\n
C\u2019est la science des nombres. Tu \u00e9tudies les propri\u00e9t\u00e9s des entiers naturels, des entiers relatifs et des nombres rationnels<\/strong>, et les propri\u00e9t\u00e9s des op\u00e9rations sur ces nombres.<\/strong><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n
\n
\u00c0 lire aussi<\/p>\n
\n
\u2705 D\u00e9couvre notre liste des 7 films qui vont te faire aimer les maths<\/a> !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n
D\u00e9composition d\u2019un nombre en produit de facteurs premiers \u2716\ufe0f<\/h3>\n\n\n\n
Tous les nombres non premiers se d\u00e9composent en produit de plusieurs nombres premiers.<\/strong> <\/p>\n\n\n
\n
$\"Quand$ <\/figure><\/div>\n\n\n
\u21aa\ufe0f Exemples<\/p>\n\n\n\n
650 n\u2019est pas premier. On le d\u00e9compose au maximum en produit ! On y va par \u00e9tape. <\/p>\n\n\n\n
650 = 65 x 10 <\/p>\n\n\n\n
650 = 65 x 5 x 2 <\/p>\n\n\n\n
650 = 13 x 5 x 5 x 2 <\/p>\n\n\n\n
On ne peut pas aller plus loin. 13, 5 et 2 sont des nombres premiers. <\/p>\n\n\n\n
79 est premier <\/p>\n\n\n\n
79 = 79 x 1 <\/p>\n\n\n\n
Tu ne peux pas le d\u00e9composer plus ! <\/p>\n\n\n
\n
\u00c0 lire aussi<\/p>\n
\n
\u2705 D\u00e9couvre notre fiche de maths sur le PGDC<\/a> !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n
\n
\n \n
\n
\n
\n $\"Logo$ \n <\/div>\n
\n
\n
\n
\n \n <\/div>\n
Emilie<\/p>
Sciences Po Lyon<\/p>
\n
19\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
No\u00e9mie<\/p>
M2 en droit \u00e0 Assas<\/p>
\n
19\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
Jeanne<\/p>
Aix-Marseille Universit\u00e9<\/p>
\n
17\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
Thibault<\/p>
ENS Paris Ulm<\/p>
\n
20\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
David<\/p>
EDHEC<\/p>
\n
25\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
Antoine<\/p>
Sciences Po Paris<\/p>
\n
18\u20ac\/h\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
Victor<\/p>
ESCP<\/p>
\n
25\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
Nicolas<\/p>
CentraleSup\u00e9lec<\/p>
\n
17\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n<\/div>\n
\n
\n $\"Logo$ \n <\/div>\n
Ton premier cours particulier est offert ! \ud83c\udf81<\/span><\/p>\n<\/div>\n
Nos profs sont pass\u00e9s par les meilleures \u00e9coles et universit\u00e9s.<\/p>\n
<\/p>\n<\/div>\n
\n \n J’EN PROFITE MAINTENANT !\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n
Comment reconna\u00eetre un nombre premier ? \ud83e\uddd0<\/h2>\n\n\n\n
Apprendre par c\u0153ur les nombres premiers de 1 \u00e0 100 \ud83d\udc96<\/h3>\n\n\n\n
Et si tu apprenais par coeur les nombres premiers de 1 \u00e0 100<\/strong> ? \u00c7a te fait en conna\u00eetre d\u00e9j\u00e0 25 ! <\/p>\n\n\n\n
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97<\/p>\n\n\n\n
N\u2019essaie pas de pr\u00e9dire les \u00e9carts des nombres premiers, il n\u2019y a pas de suite logique. C\u2019est un v\u00e9ritable myst\u00e8re ! <\/p>\n\n\n
\n
$\"Le$ <\/figure><\/div>\n\n
\n
\u00c0 lire aussi<\/p>\n
\n
\u2705 D\u00e9couvre notre fiche de maths sur la suite arithm\u00e9tique et la suite g\u00e9om\u00e9triques<\/a> !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n
Crible d’Eratosth\u00e8ne \ud83e\uddee<\/h3>\n\n\n\n
Le crible d\u2019Eratosth\u00e8ne est une m\u00e9thode qui te permet de d\u00e9terminer une liste des nombres premiers. <\/strong>On t\u2019explique ! <\/p>\n\n\n\n
\ud83d\udc49 Tu \u00e9cris les nombres entiers 1, 2, 3, 4, 5\u2026 jusqu\u2019\u00e0 100 par exemple. <\/p>\n\n\n\n
\ud83d\udc49 Tu \u00e9limines 1. <\/p>\n\n\n\n
\ud83d\udc49 Tu effaces tous les multiples de 2 sauf 2 ! Eh oui, 2 est un nombre premier.<\/p>\n\n\n\n
\ud83d\udc49 Tu gardes 3, mais tu effaces tous les multiples de 3. <\/p>\n\n\n\n
\ud83d\udc49 Tu gardes 7, mais tu effaces tous les multiples de 3. <\/p>\n\n\n\n
\ud83d\udc49 Et tu fais \u00e7a jusqu\u2019\u00e0 ce que le nombre premier suivant soit sup\u00e9rieur \u00e0 la racine carr\u00e9 du dernier nombre de ta liste (ici 100).<\/p>\n\n\n
Or $\"11>\sqrt{100}\"$ .<\/p>\n\n\n\n
Donc on s\u2019arr\u00eate l\u00e0 ! <\/p>\n\n\n
\n
$\"Quand$
Quand tu vois que ce n’est pas un nombre premier ! <\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n
Le savais-tu ?\ud83d\udca1<\/p>\n<\/div>\n
\n
Il existe d\u2019autres algorithmes pour reconna\u00eetre les nombres premiers, comme l’algorithme AKS<\/strong> ou encore le test de primalit\u00e9 de Solovay-Strassen.<\/strong><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n
\n
\u00c0 lire aussi<\/p>\n
\n
\u2705 D\u00e9couvre les algorithmes de tri<\/a> !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n
V\u00e9rifier la divisibilit\u00e9 du nombre <\/strong>\u2797<\/h3>\n\n\n\n
Pour savoir si un nombre est premier, tu peux raisonner par le contraire. S\u2019il est divisible par un autre nombre que lui-m\u00eame et 1, alors il n\u2019est pas premier. <\/strong><\/p>\n\n\n\n
Pour cela, il te faut v\u00e9rifier sa divisibilit\u00e9 !<\/p>\n\n\n
\n
$\"Quand$
On esp\u00e8re que tu connais mieux tes tables que ces deux-l\u00e0 !<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n
\u00c0 lire aussi<\/p>\n
\n
\u2705 D\u00e9couvre\u00a0 nos techniques pour s’am\u00e9liorer en calcul mental<\/a> !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n
Divisible par 2 ?<\/h4>\n\n\n\n
Un nombre est divisible par 2 lorsqu\u2019il termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. En gros, ce sont les nombres pairs. <\/strong><\/p>\n\n\n\n
\u21aa\ufe0f Exemples<\/p>\n\n\n\n
54 est divisible par 2 <\/p>\n\n\n
$\"27\times2=54\"$ <\/p>\n\n\n\n
14 est divisible par 2<\/p>\n\n\n
$\"7\times2=14\"$ <\/p>\n\n\n\n
Divisible par 3 ?<\/h4>\n\n\n\n
Ici on te demande de conna\u00eetre ta table de 3. <\/p>\n\n\n\n
\n
\n
Rappel de la table de 3 \u2716\ufe0f<\/p>\n<\/div>\n
\n
3×1 = 3
\n3×2 = 6
\n3×3 = 9
\n3×4 = 12
\n3×5 = 15
\n3×6 = 18
\n3×7 = 21
\n3×8 = 24
\n3×9 = 27
\n3×10 = 30<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n\n\n\n
<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. <\/strong><\/p>\n\n\n\n
\u21aa\ufe0f Exemples <\/p>\n\n\n\n
795 est divisible par 3 <\/p>\n\n\n
$\"7+9+5=21\"$
\n $\"3\times7=21\"$ <\/p>\n\n\n\n
2868 est divisible par 3<\/p>\n\n\n
$\"2+8+6+8=24\"$
\n $\"3\times6=24\"$ <\/p>\n\n\n\n
169 749 est divisible par 3 <\/p>\n\n\n
$\"1+6+9+7+4+9=36\"$
\n $\"3+6=9\"$
\n $\"3\times3=9\"$ <\/p>\n\n\n\n
Divisible par 4 ?<\/h4>\n\n\n\n
Un nombre est divisible par 4 si le nombre form\u00e9 par les 2 derniers chiffres est divisible par 4. <\/strong><\/p>\n\n\n\n
\n
\n
Rappel de la table de 4 \u2716\ufe0f<\/p>\n<\/div>\n
\n
4×1 = 4
\n4×2 = 8
\n4×3 = 12
\n4×4 = 16
\n4×5 = 20
\n4×6 = 24
\n4×7 = 28
\n4×8 = 32
\n4×9 = 36
\n4×10 = 40<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n\n\n\n
<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
\u21aa\ufe0f Exemples <\/p>\n\n\n\n
416 est divisible par 4 <\/p>\n\n\n\n
On prend les deux derniers chiffres qui forment le nombre 16 <\/p>\n\n\n
$\"4\times4=16\"$ <\/p>\n\n\n\n
65 876 528 est divisible par 4<\/p>\n\n\n\n
On prend les deux derniers chiffres qui forment le nombre 28<\/p>\n\n\n
$\"7\times4=28\"$ <\/p>\n\n\n\n
Divisible par 5 ?<\/h4>\n\n\n\n
Un nombre est divisible par 5 lorsqu\u2019il termine par 0 ou 5. <\/p>\n\n\n\n
\u21aa\ufe0f Exemples <\/p>\n\n\n\n
56 785 est divisible par 5 <\/p>\n\n\n\n
960 est divisible par 5 <\/p>\n\n\n\n
Divisible par 9 ? <\/h4>\n\n\n\n
Comme pour 3, un nombre est divisible par 9 quand la somme des chiffres est divisible par 9. <\/strong><\/p>\n\n\n\n
\n
\n
Rappel de la table de 9 \u2716\ufe0f<\/p>\n<\/div>\n
\n
9×1 = 9
\n9×2 = 18
\n9×3 = 27
\n9×4 = 36
\n9×5 = 45
\n9×6 = 54
\n9×7 = 63
\n9×8 = 72
\n9×9 = 81
\n9×10 = 90<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n\n\n\n
<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
\u21aa\ufe0f Exemples<\/p>\n\n\n\n
207 est divisible par 9<\/p>\n\n\n
$\"2+0+7=9\"$ <\/p>\n\n\n\n
58 707 est divisible par 9 <\/p>\n\n\n
$\"5+8+7+0+7=27\"$
\n $\"9\times3=27\"$ <\/p>\n\n\n\n
Divisible par 10 ? <\/h4>\n\n\n\n
Le plus simple ! Un nombre est divisible par 10 lorsqu\u2019il termine par 0. <\/strong><\/p>\n\n\n\n
\u21aa\ufe0f Exemple<\/p>\n\n\n\n
829 830 est divisible par 10 <\/p>\n\n\n\n
Ne va pas chercher plus loin que \u00e7a ! <\/p>\n\n\n
\n Pour info \ud83d\udca1<\/p>\n<\/div>\n
\n
\ud83d\udc49 Les nombres divisibles par 4 sont divisibles par 2, car 2×2 = 4<\/p>\n
<\/p>\n
\ud83d\udc49 Les nombres divisibles par 9 sont divisibles par 3, car 3×3 = 9<\/p>\n
<\/p>\n
\ud83d\udc49 Les nombres divisibles par 10 sont divisibles par 5 et par 2, car 5×2 = 10<\/p>\n
<\/p>\n
Donc, tu peux surtout v\u00e9rifier la divisibilit\u00e9 par 2, 3 et 5 !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n
\n
\u00c0 lire aussi<\/p>\n
\n
\u2705 D\u00e9couvre comment apprendre les tables de multiplication comme par magie<\/a> !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n
\n
\n \n
\n
\n
\n $\"Logo$ \n <\/div>\n
\n
\n
\n
\n \n <\/div>\n
Cl\u00e9mence<\/p>
HEC Paris<\/p>
\n
21\u20ac\/h\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
Thibault<\/p>
ENS Paris Ulm<\/p>
\n
20\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
Sophie<\/p>
Sciences Po Bordeaux<\/p>
\n
12\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
No\u00e9mie<\/p>
M2 en droit \u00e0 Assas<\/p>
\n
19\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
Fanny<\/p>
Ponts ParisTech<\/p>
\n
19\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
Simon<\/p>
4e ann\u00e9e de m\u00e9decine<\/p>
\n
26\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
Nicolas<\/p>
CentraleSup\u00e9lec<\/p>
\n
17\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n
\n
\n \n <\/div>\n
Victor<\/p>
ESCP<\/p>
\n
25\u20ac\/h<\/p> <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n<\/div>\n
\n
\n $\"Logo$ \n <\/div>\n
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Les nombres premiers particuliers \ud83e\udd28<\/h2>\n\n\n\n
Nombres premiers de Mersenne<\/h3>\n\n\n\n
La formule des nombres premiers de Mersenne s\u2019\u00e9crit : <\/p>\n\n\n
$\"M_p=2^p-1\"$ o\u00f9 p est lui-m\u00eame un nombre premier<\/p>\n\n\n\n
Exemples <\/p>\n\n\n
$\"M_2=2^2-1=4-1=3\"$
\n $\"M_3=2^3 - 1 = 8-1=7\"$
\n $\"M_5=2^5-1= 32-1=31\"$ <\/p>\n\n\n
\n
Le savais-tu ? \ud83d\udca1<\/p>\n<\/div>\n
\n
M_{43 112 609<\/sub>= 2^{43 112 609<\/sup> – 1 est le plus grand nombre premier connu<\/strong>. Il comporte 12 978 189 d\u00e9cimales. Rien que \u00e7a !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n}}
\n
$\"C'est$ <\/figure><\/div>\n\n
\n
\n \n
\n \n \n \n \n $\"Comment$ \n <\/picture>\n
\n \n

Tu as la phobie des maths ? D\u00e9couvre avec nous comment vaincre ta peur !<\/p>\n<\/div>\n

Les nombres premiers, c\u2019est quoi ? \ud83d\udc40<\/h2>\n\n\n\n

Comment reconna\u00eetre un nombre premier ? \ud83e\uddd0<\/h2>\n\n\n\n

Divisible par 5 ?<\/h4>\n\n\n\nUn nombre est divisible par 5 lorsqu\u2019il termine par 0 ou 5. <\/p>\n\n\n\n\u21aa\ufe0f Exemples <\/p>\n\n\n\n56 785 est divisible par 5 <\/p>\n\n\n\n960 est divisible par 5 <\/p>\n\n\n\n

Les nombres premiers particuliers \ud83e\udd28<\/h2>\n\n\n\n

Divisible par 5 ?<\/h4>\n\n\n\n
Un nombre est divisible par 5 lorsqu\u2019il termine par 0 ou 5. <\/p>\n\n\n\n
\u21aa\ufe0f Exemples <\/p>\n\n\n\n
56 785 est divisible par 5 <\/p>\n\n\n\n
960 est divisible par 5 <\/p>\n\n\n\n