{"id":239700,"date":"2022-04-28T17:08:13","date_gmt":"2022-04-28T15:08:13","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=239700"},"modified":"2024-08-28T22:48:41","modified_gmt":"2024-08-28T20:48:41","slug":"comment-calculer-le-determinant-dune-matrice","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/comment-calculer-le-determinant-dune-matrice\/","title":{"rendered":"Comment calculer le d\u00e9terminant d’une matrice ?"},"content":{"rendered":"\n

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Calcul des d\u00e9terminants<\/h2>\n\n\n\n

Op\u00e9rations sur les d\u00e9terminants <\/h3>\n\n\n\n

Proposition<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nSoit \"A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\".
\n

  • Multiplier une colonne de \"A\" par un scalaire \"\lambda\" multiplie le d\u00e9terminant de \"A\" par \"\lambda\". <\/li>\n
  • Ajouter \u00e0 une colonne de \"A\" un multiple d’une des autres colonnes de \"A\" ne change pas le d\u00e9terminant. <\/li>\n
  • \u00c9changer deux colonnes de \"A\" change le d\u00e9terminant en son oppos\u00e9. <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration : D\u00e9terminant d’une matrice<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nOn note \"C_1,\dots,C_n\" les colonnes de \"A\" et \"\mathcal{B}\" la base canonique de \"\mathbb{K}^n\". Soient \"i\in [\![ 1,n ]\!]\" et \"\lambda\in\mathbb{K}\".
    \n

  • Par lin\u00e9arit\u00e9 par rapport \u00e0 la \"i\"-\u00e8me variable, \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{det}_{\mathcal{B}}(C_1,\dots,C_{i-1},\lambda C_i,C_{i+1},\dots,C_n)=\mathrm{det}_{\mathcal{B}}(C_1,\dots,C_{i-1},C_i,C_{i+1},\dots,C_n)=\lambda\mathrm{det}(A).\]\"<\/p> <\/li>\n

  • Soit \"j\neq i\". Par lin\u00e9arit\u00e9 par rapport \u00e0 la \"i\"-\u00e8me variable,\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{det}_{\mathcal{B}}(C_1,\dots,C_{i-1},C_i+\lambda C_j,C_{i+1},\dots,C_n) = \mathrm{det}(A)+\lambda\mathrm{det}_{\mathcal{B}}(C_1,\dots,C_{i-1},C_j,C_{i+1},\dots,C_n)\]\"<\/p> \nDe plus, \"\mathrm{det}_{\mathcal{B}}(C_1,\dots,C_{i-1},C_j,C_{i+1},\dots,C_n)=0\" car les variables \"i\" et \"j\" sont \u00e9gales. Donc, \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{det}_{\mathcal{B}}(C_1,\dots,C_{i-1},C_i+\lambda C_j,C_{i+1},\dots,C_n) = \mathrm{det}(A).\]\"<\/p> <\/li>\n

  • Cons\u00e9quence du caract\u00e8re altern\u00e9 de \"\mathrm{det}\". <\/li>\n\n\n\n

    Le d\u00e9terminant est invariant par transposition. On a alors le r\u00e9sultat suivant.<\/p>\n\n\n\n

    Proposition<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\".
    \n

  • Multiplier une ligne de \"A\" par un scalaire \"\lambda\" multiplie le d\u00e9terminant de \"A\" par \"\lambda\". <\/li>\n
  • Ajouter \u00e0 une ligne de \"A\" un multiple d’une des autres lignes de \"A\" ne change pas le d\u00e9terminant. <\/li>\n
  • \u00c9changer deux lignes de \"A\" change le d\u00e9terminant en son oppos\u00e9. <\/li>\n\n\n\n

    Par r\u00e9currence, on montre alors le r\u00e9sultat suivant.<\/p>\n\n\n\n

    Corollaire<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\".
    \n

  • On ne change pas la valeur de \"\mathrm{det}(A)\" en ajoutant \u00e0 une colonne de \"A\" une combinaison lin\u00e9aire des autres colonnes de \"A\". <\/li>\n
  • On ne change pas la valeur de \"\mathrm{det}(A)\" en ajoutant \u00e0 une ligne de \"A\" une combinaison lin\u00e9aire des autres lignes de \"A\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9finition : Cofacteur<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" et \"(i,j)\in [\![ 1,n ]\!]^2\".
    \nLe cofacteur \"(i,j)\" de \"A\" est le scalaire \"\Delta_{i,j}=(-1)^{i+j}\mathrm{det}(B_{i,j})\" o\u00f9 \"B_{i,j}\" est la matrice obtenue en supprimant la ligne \"i\" et la colonne \"j\" de \"A\".\n\n\n\n

    Th\u00e9or\u00e8me<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\".
    \n

  • Soit \"j\in [\![ 1,n ]\!]\". On a \"\mathrm{det}(A)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^na_{i,j}\Delta_{i,j}\". On dit qu’on a d\u00e9velopp\u00e9 le d\u00e9terminant par rapport \u00e0 la \"j\"-\u00e8me colonne. <\/li>\n
  • Soit \"i\in [\![ 1,n ]\!]\". On a \"\mathrm{det}(A)=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^na_{i,j}\Delta_{i,j}\". On dit qu’on a d\u00e9velopp\u00e9 le d\u00e9terminant par rapport \u00e0 la \"i\"-\u00e8me ligne. <\/li>\n\n\n\n

    Th\u00e9or\u00e8me<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"A=(a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\".
    \nSi \"A\" est triangulaire, alors \"\mathrm{det}(A)=a_{1,1}\times \dots \times a_{n,n}\".
    \nAutrement dit, le d\u00e9terminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nOn donne la d\u00e9monstration dans le cas des matrices triangulaires sup\u00e9rieures.
    \nOn raisonne par r\u00e9currence sur \"n\".\nPour tout \"n\in\mathbb{N}^\star\", on note \"\mathcal{P}_n\" : \u00ab Si \"A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" est triangulaire, alors \"\mathrm{det}(A)\" est le produit des coefficients diagonaux de \"A\" \u00bb.
    \nInitialisation : imm\u00e9diat.
    \nH\u00e9r\u00e9dit\u00e9 : soit \"n\in\mathbb{N}^*\". On suppose \"\mathcal{P}_n\" et on montre \"\mathcal{P}_{n+1}\".
    \nSoit \"A=(a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n+1} \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{K})\" une matrice triangulaire sup\u00e9rieure. En d\u00e9veloppant par rapport \u00e0 la premi\u00e8re colonne, on a :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{det}(A)=a_{1,1}\times \begin{vmatrix}<\/p>
    \nDe plus, la matrice \"(a_{i,j})_{2 \leq i,j \leq n+1} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" est triangulaire sup\u00e9rieure. Donc, par hypoth\u00e8se de r\u00e9currence,

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{det}(A)=a_{1,1}\times a_{2,2}\times\dots\times a_{n+1,n+1}.\]\"<\/p>
    \nCe qui ach\u00e8ve la r\u00e9currence. Si \"A\" est triangulaire inf\u00e9rieure, alors \"{}^t\!A\" est triangulaire sup\u00e9rieure et a les m\u00eames coefficients diagonaux que \"A\". D’o\u00f9, \"\mathrm{det}(A)=\mathrm{det}({}^t\!A)=a_{1,1}\times\dots \times a_{n,n}\".\n\n\n\n

    Remarque<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • En particulier, le d\u00e9terminant d’une matrice diagonale est le produit de ses coefficients diagonaux. <\/li> \n
  • On retrouve l’\u00e9quivalence suivante : une matrice triangulaire est inversible si, et seulement si, ses coefficients diagonaux sont non nuls. <\/li>\n\n\n\n
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    \"livre<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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