{"id":239688,"date":"2022-04-30T17:08:44","date_gmt":"2022-04-30T15:08:44","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=239688"},"modified":"2024-08-28T22:48:34","modified_gmt":"2024-08-28T20:48:34","slug":"tout-connaitre-sur-le-groupe-symetrique","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/tout-connaitre-sur-le-groupe-symetrique\/","title":{"rendered":"Tout conna\u00eetre du groupe sym\u00e9trique"},"content":{"rendered":"\n

Vous travaillez actuellement sur la notion de groupe sym\u00e9trique<\/strong> ? \u00c0 vous les bonnes notes ! Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours d\u00e9di\u00e9 \u00e0 la notion de groupe sym\u00e9trique<\/strong>, vous allez pouvoir b\u00e9n\u00e9ficier de m\u00e9thodologies de pointe pour ma\u00eetriser cette notion sur le bout des doigts !<\/p>\n

Et pour approfondir encore plus, d\u00e9chiffre les myst\u00e8res des permutations et des bijections avec l’aide d’un prof particulier d’alg\u00e8bre en ligne<\/strong><\/a>\u00a0; ainsi, les bonnes notes ne seront plus qu’une formalit\u00e9. \ud83d\udcdd<\/p>\n\n\n\n

Groupe sym\u00e9trique<\/h2>\n\n\n\n

D\u00e9finition : Groupe sym\u00e9trique<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nSi \"E\" est un ensemble fini, on note \"S \left( E \right)\" l’ensemble des bijections de \"E\" sur \"E\". Lorsque \"E = [\![ 1, n ]\!]\", on note plus simplement \"S_n\" l’ensemble \"S \left( [\![ 1, n ]\!] \right)\".\n\n\n\n

On v\u00e9rifie facilement la proposition suivante <\/p>\n\n\n\n

Proposition <\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\n\"\left( S \left( E \right) , \circ \right)\" est un groupe appel\u00e9 groupe des permutations de \"E\".\n\n\n\n

Notation<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nSi \"\sigma \in S \left( E \right)\" avec \"E = \left\{ x_1, \dotsc, x_n \right\}\", on note \n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sigma = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \sigma \left( x_1 \right) & \sigma \left( x_2 \right) & \cdots & \sigma \left( x_n \right) \end{pmatrix}\]\"<\/p>\npour d\u00e9signer l’application \"x \in E \mapsto \sigma \left( x \right)\".\n\n\n\n

Attention !<\/h3>\n\n\n\n

Cette notation ressemble \u00e0 une notation matricielle, mais il n’y a aucun lien entre les deux. Attention \u00e0 ne pas les confondre !<\/p>\n\n\n\n

Exemple<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nSoient \"\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\" et \"\sigma ' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}\". On a :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sigma^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 5 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma \circ \sigma ' =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 &5 & 2 & 1 \end{pmatrix}.\]\"<\/p>\n\n\n\n

Proposition<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nSi \"E\" et \"F\" sont deux ensembles finis de m\u00eame cardinal, alors l’ensemble des bijections de \"E\" sur \"F\", not\u00e9 \"S \left( E, F \right)\", est fini et son cardinal est \"\mathrm{card} \left( E \right) !\".\n\n\n\n

D\u00e9monstration<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nOn proc\u00e8de par r\u00e9currence sur \"\mathrm{card} \left( E \right) (=\mathrm{card} \left( F \right))\".\n\nSi \"E\" est de cardinal \"1\", alors \"S \left( E , F \right)\" ne contient qu’un seul \u00e9l\u00e9ment donc est de cardinal \"1\".
\nSupposons le r\u00e9sultat vrai pour tout couple d’ensembles \"\left(E , F \right)\" \u00e0 \"n\" \u00e9l\u00e9ments.
\nSoient \"E\" et \"F\" deux ensembles ayant \"n+1\" \u00e9l\u00e9ments. On \u00e9crit \"E = \left\{ x_1, \dotsc, x_{n+1} \right\}\" et \"F = \left\{ y_1, \dotsc, y_{n+1} \right\}\".
\nPour tout \"i \in [\![ 1, n +1 ]\!]\", on pose \"S \left( E , F \right)_i = \left\{ f \in S \left( E, F \right) , \; f \left( x_{n+1} \right) = y_i \right\}\". Il est clair que les ensembles \"S \left( E, F \right)_i\" sont deux \u00e0 deux disjoints et \"\displaystyle{S \left( E, F \right) = \bigcup_{i=1}^{n+1} S \left( E , F \right)_i}\". Il s’ensuit que \n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{card} \left( S \left( E, F \right) \right) = \sum_{i=1}^{n+1} \mathrm{card} \left( S \left( E , F \right)_i \right).\]\"<\/p>\nOr, \"f \in S \left( E, F \right)_i\" si, et seulement si, \"f \in S \left( E \backslash \left\{ x_{n+1} \right\} , F \backslash \left\{ y_i \right\} \right)\". Or, par hypoth\u00e8se de r\u00e9currence, on a \"\mathrm{card} \left( S \left( E \backslash \left\{ x_{n+1} \right\} , F \backslash \left\{ y_i \right\} \right) \right)= n!\". Il s’ensuit que \n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{card} \left( S \left( E, F \right) \right) = \sum_{i=1}^{n+1} n! = \left( n + 1 \right) \times n! = \left( n + 1 \right)!.\]\"<\/p>\n\n\n\n

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\"livre<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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