Vous avez du mal avec la notion de syst\u00e8me lin\u00e9aire<\/strong> ? Pas d’inqui\u00e9tude ! Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours d\u00e9di\u00e9 \u00e0 la notion de syst\u00e8me lin\u00e9aire<\/strong>, familiarisez-vous davantage avec des m\u00e9thodologies bien structur\u00e9es qui vous permettront de d\u00e9crocher de bonnes notes \u00e0 vos prochaines interrogations orales et \u00e9crites !<\/p>\n\n\n\n
Et si les inconnues et les rangs de matrices te semblent encore insurmontables, un prof particulier de maths<\/a><\/strong> peut transformer ce d\u00e9fi en une victoire math\u00e9matique. \ud83c\udfc6<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\nL’ensemble des solutions d’un syst\u00e8me lin\u00e9aire homog\u00e8ne \u00e0 \u00e9quations et
inconnues est le noyau de la matrice des coefficients du syst\u00e8me.\n\n\n\n
<\/p>\nOn consid\u00e8re le syst\u00e8me lin\u00e9aire homog\u00e8ne \u00e0 \u00e9quations et
inconnues :\n
<\/span> <\/span><\/p>\nOn note
la matrice associ\u00e9e au syst\u00e8me. Par d\u00e9finition,
est solution de
si, et seulement si,
. Autrement dit, l’ensemble des solutions de
est
.\n\n\n\n
Le rang d’un syst\u00e8me lin\u00e9aire homog\u00e8ne est le rang de la matrice de ses coefficients.<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\nLa dimension de l’ensemble des solutions d’un syst\u00e8me lin\u00e9aire homog\u00e8ne \u00e0 \u00e9quations et
inconnues de rang
est \u00e9gal \u00e0
.\n\n\n\n
<\/p>\nOn note la matrice des coefficients du syst\u00e8mes. On sait que
.
\nOr, est l’ensemble des solutions du syst\u00e8me.\n\n\n\n
<\/p>\nOn consid\u00e8re un syst\u00e8me lin\u00e9aire dont l’\u00e9criture matricielle est o\u00f9
,
et
.
\nLe syst\u00e8me est compatible si, et seulement si
.\n\n\n\n
<\/p>\nCons\u00e9quence imm\u00e9diate de la d\u00e9finition de .\n\n\n\n
<\/p>\nSoit un syst\u00e8me compatible. On note
une solution particuli\u00e8re du syst\u00e8me.
\nUn vecteur est solution du syst\u00e8me si, et seulement si,
.
\nOr, . Donc,
est solution du syst\u00e8me si, et seulement si,
.
\nOn en d\u00e9duit que l’ensemble des solutions du syst\u00e8me est le sous-espace affine de dirig\u00e9 par
et passant pas
.\n\n\n\n
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n