{"id":239279,"date":"2022-04-30T17:08:24","date_gmt":"2022-04-30T15:08:24","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=239279"},"modified":"2024-08-28T22:48:37","modified_gmt":"2024-08-28T20:48:37","slug":"matrice-dune-application-lineaire","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/matrice-dune-application-lineaire\/","title":{"rendered":"D\u00e9finition et d\u00e9monstration : matrice d’une application lin\u00e9aire"},"content":{"rendered":"\n

Tu souhaites en savoir plus sur la notion de matrice d’une application lin\u00e9aire<\/strong> ? Am\u00e9liore tes connaissances sur cette notion gr\u00e2ce \u00e0 notre article d\u00e9di\u00e9 au chapitre : D\u00e9finition et d\u00e9monstration : matrice d’une application lin\u00e9aire<\/strong>. Prochaine \u00e9tape : r\u00e9ussis toutes tes interrogations \u00e9crites et orales sur la notion !<\/p>\n

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Application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 une matrice<\/h2>\n\n\n\n

D\u00e9finitions <\/h3>\n\n\n\n

D\u00e9finition : Application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9 \u00e0 une matrice<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nSoit \"A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\". L’application lin\u00e9aire de \"\mathbb{K}^p\" dans \"\mathbb{K}^n\" dont la matrice dans les bases canoniques respectives de \"\mathbb{K}^p\" et \"\mathbb{K}^n\" est \"A\" est appel\u00e9e application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"A\".\n\n\n\n

Remarque : Matrice d’une application lin\u00e9aire<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nSoit \"A=(a_{i,j})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1 \leq j \leq p}}\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\". L’application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"A\" est :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f : \begin{array}[t]{ccc}<\/p>\n\nDe plus, pour simplifier les notations, on identifie tout vecteur de \"\mathbb{K}^p\" (resp. de \"\mathbb{K}^n\") \u00e0 sa matrice des coordonn\u00e9es dans la base canonique de \"\mathbb{K}^p\" (resp. de \"\mathbb{K}^n\").
\n\nOn identifie \"(x_1,\dots,x_p)\in\mathbb{K}^p\" \u00e0 \"X=\begin{pmatrix}, et \"(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{K}^n\" \u00e0 \"Y=\begin{pmatrix}. Avec cette identification, l’application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"A\" se r\u00e9\u00e9crit :

  <\/span>   <\/span>\"\[f : \begin{array}[t]{ccc}<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9finition : Noyau et image d’une matrice<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nSoient \"A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\" et \"f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n\" l’application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"A\".
\n

  • Le noyau de \"A\" est le noyau de \"f\" (c’est un sous-espace vectoriel de \"\mathbb{K}^p\"). <\/li>\n
  • L’image de \"A\" est l’image de \"f\" (c’est un sous-espace vectoriel de \"\mathbb{K}^n\"). <\/li>\n\n\n\n

    Remarques<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nOn note \"A=(a_{i,j})_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq p}}\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\".
    \n

  • Soit \"(x_1,\dots,x_p)\in\mathbb{K}^p\". On a :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(x_1,\dots,x_p) \in \mathrm{Ker}(A) \Longleftrightarrow A \begin{pmatrix}<\/p>\nLes lignes de \"A\" donnent un syst\u00e8me d’\u00e9quations lin\u00e9aires du noyau de \"A\". <\/li>\n

  • On note \"\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_p)\" la base canonique de \"\mathbb{K}^p\".
    \n\nPour tout \"j\in [[1,p]]\", en identifiant \"\mathbb{K}^p\" \u00e0 \"\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})\", on a \"A\times e_j= \begin{pmatrix}. Autrement dit, \"A\times e_j\" est la \"j\"-\u00e8me colonne \"C_j\" de \"A\".
    \n\nOn a alors : \"\mathrm{Im}(A)=\mathrm{Vect}(A\times e_1,\dots,A\times e_p)=\mathrm{Vect}(C_1,\dots,C_p)\". Autrement dit, l’image de \"A\" est engendr\u00e9e par les colonnes de \"A\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9finition : Rang d’une matrice<\/h4>\n\n\n\n
    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Remarque<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\" et \"f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n\" l’application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"A\".
    \nLes espaces vectoriels \"\mathbb{K}^p\" et \"\mathbb{K}^n\" sont de dimensions finies, donc \"f\" est de rang fini et on sait que \"\mathrm{rg}(f) \leq \min\big(\mathrm{dim}(\mathbb{K}^n),\mathrm{dim}(\mathbb{K}^p)\big)\".
    \nDonc, par d\u00e9finition du rang de \"A\",\n\"\mathrm{rg}(A) \leq \min(n,p).\"\n\n\n\n

    Th\u00e9or\u00e8me<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" une matrice carr\u00e9e. On note \"f:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\" l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A\".
    \nOn a l’\u00e9quivalence : \n\"A\" est inversible si, et seulement si, \"f\" est un automorphisme.\n\nPar cons\u00e9quent, on a : \n

      <\/span>   <\/span>\"\[$A$ ~ est ~ inversible \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Ker}(A)=\big\{(0,\dots,0)\big\} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Im}(A)=\mathbb{K}^n \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{rg}(A)=n.\]\"<\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nComme \"A\" est carr\u00e9e d’ordre \"n\", on sait que \"f\" est un endomorphisme de \"\mathbb{K}^n\". De plus, sa matrice dans la base canonique de \"\mathbb{K}^n\" est \"A\".
    \nPar th\u00e9or\u00e8me, \"A\" est inversible si, et seulement si, \"f\" est un automorphisme.
    \nDe plus, comme \"f\" est un endomorphisme et \"\mathbb{K}^n\" est de dimension finie, on sait que \n

      <\/span>   <\/span>\"\[$f$ ~ est ~ automorphisme \quad \Longleftrightarrow \quad $f$ ~ est ~injectif \quad \Longleftrightarrow \quad $f$~ est ~ surjectif.\]\"<\/p>\nD’o\u00f9,\n

      <\/span>   <\/span>\"\[$f$~est~automorphisme \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Ker}(f)=\big\{(0,\dots,0)\big\} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Im}(f)=\mathbb{K}^n.\]\"<\/p>\nDe plus, \"\mathrm{Im}(f)\subset\mathbb{K}^n\" et \"\mathrm{rg}(f)=\mathrm{dim}\big(\mathrm{Im}(f)\big)\". Donc, \"\mathrm{Im}(f)=\mathbb{K}^n\" si, et seulement si, \"\mathrm{rg}(f)=n\".
    \n\nD’o\u00f9, par d\u00e9finition du noyau, de l’image et du rang d’une matrice,\n

      <\/span>   <\/span>\"\[$A$~est~inversible \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Ker}(A)=\big\{(0,\dots,0)\big\} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{Im}(A)=\mathbb{K}^n \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{rg}(A)=n.\]\"<\/p>\n\n\n\n

    Remarque<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"T=(t_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\" une matrice triangulaire sup\u00e9rieure.
    \nLe vecteur \"(x_1,\dots,x_n)\" appartient au noyau de \"T\" si, et seulement si, \"(x_1,\dots,x_n)\" est solution du syst\u00e8me homog\u00e8ne\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\left\lbrace\begin{array}{rcl}<\/p>\nSi tous les coefficients \"t_{1,1}\", … , \"t_{n,n}\" sont non nuls, alors en r\u00e9solvant le syst\u00e8me (en partant de la derni\u00e8re ligne), on trouve \"x_n=x_{n-1}=\dots=x_1=0\". Donc, \"\mathrm{Ker}(T)=\big\{(0,\dots,0)\big\}\". Donc, \"T\" est inversible.
    \nSupposons que les coefficients \"t_{1,1}\", … , \"t_{n,n}\" ne soient pas tous non nuls. On peut alors consid\u00e9rer le plus petit entier \"i\" de \"[[1,n]]\" tel que \"t_{i,i}=0\". On pose alors le vecteur \"(u_1,\dots,u_n)\" o\u00f9 :\n

  • pour tout \"j\in [[i+1,n\rrbracket]]\", \"u_{j}=0\"; <\/li>\n
  • \"u_i=1\"; <\/li>\n
  • on d\u00e9finit r\u00e9cursivement : <\/li>\n\n\n\n
    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    <\/p>\nLe vecteur \"(u_1,\dots,u_n)\" est non nul et appartient \u00e0 \"\mathrm{Ker}(T)\". Donc, \"T\" n’est pas inversible.\nOn retrouve que \"T\" est inversible si, et seulement si, ses coefficients diagonaux sont non nuls.
    \nEn transposant, on obtient un r\u00e9sultat similaire pour les matrices triangulaires inf\u00e9rieures.\n\n\n\n

    Th\u00e9or\u00e8me<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\". On a :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[p = \mathrm{rg}(A) + \mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(A)).\]\"<\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n\" l’application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"A\". Comme \"\mathbb{K}^p\" est de dimension finie, on peut appliquer le th\u00e9or\u00e8me du rang \u00e0 l’application lin\u00e9aire \"f\" :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{dim}(\mathbb{K}^p)=\mathrm{rg}(f) + \mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(f)).\]\"<\/p>\nOr, \"\mathrm{dim}(\mathbb{K}^p)=p\" et, par d\u00e9finition \"\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Ker}(A)\", \"\mathrm{rg}(f)=\mathrm{rg}(A)\". Donc,\n

      <\/span>   <\/span>\"\[p = \mathrm{rg}(A) + \mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(A)).\]\"<\/p>\n\n\n\n

    Proposition<\/h4>\n\n\n\n

    On ne modifie pas le rang d’une matrice en la multipliant \u00e0 droite ou \u00e0 gauche par une matrice inversible.<\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\" et \"Q\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\". On consid\u00e8re \"f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n\" (respectivement \"g:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\") l’application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"A\" (respectivement \"Q\").\nPar op\u00e9ration, \"g\circ f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n\" est l’application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"Q A\". D’o\u00f9,\n\"\mathrm{Im}(g\circ f) = \mathrm{Im}(Q A).\"
    \nDe plus, \"Q\" est inversible, donc \"g\" est un automorphisme. Or, on ne change pas le rang d’une application lin\u00e9aire en composant \u00e0 gauche par un isomorphisme<\/a>. Donc,\n\"\mathrm{rg}(Q A) = \mathrm{rg}(g\circ f) = \mathrm{rg}(f) = \mathrm{rg}(A).\"
    \nOn traite de la m\u00eame mani\u00e8re la multiplication \u00e0 droite par une matrice inversible.\n\n\n\n

    Corollaire<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\", \"P\in\mathrm{GL}_p(\mathbb{K})\" et \"Q\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\". Alors,\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(Q A P).\]\"<\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nD’apr\u00e8s la proposition pr\u00e9c\u00e9dentes, comme les matrices \"P\" et \"Q\" sont inversibles : \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{rg}(Q A P)=\mathrm{rg}(Q A)=\mathrm{rg}(A).\]\"<\/p>\n\n\n\n

    Th\u00e9or\u00e8me<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\".
    \n

  • S’il existe \"B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" tel que \"A B= I_n\", alors \"A\" est inversible et \"A^{-1}=B\". <\/li>\n
  • S’il existe \"B\in \mathcal{M}_n(\K)\" tel que \"B A= I_n\", alors \"A\" est inversible et \"A^{-1}=B\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nOn suppose qu’il existe \"B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" tel que \"A B= I_n\".
    \nOn consid\u00e8re \"f:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\" (respectivement \"g:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\") l’application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"A\" (respectivement \"B\"). Par op\u00e9ration, \"f\circ g:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\" est l’application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"A B\". Comme \"A B=I_n\", on a \"f\circ g=\mathrm{Id}_{\mathbb{K}^n}\".
    \nOr, \"f\" est un endomorphisme et \"\mathbb{K}^n\" est de dimension finie. Donc, par th\u00e9or\u00e8me \"f\" est un automorphisme et \"f^{-1}=g\". Donc, \"A\" est inversible et \"A^{-1}=B\".
    \nL’autre cas se traite de la m\u00eame mani\u00e8re.\n\n\n\n

    Proposition<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\times \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\". On a :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathrm{rg}(AB)\leq \min\big(\mathrm{rg}(A),\mathrm{rg}(B)\big).\]\"<\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nOn consid\u00e8re \"f:\mathbb{K}^p\to\mathbb{K}^n\" (respectivement \"g:\mathbb{K}^q\to\mathbb{K}^p\") l’application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"A\" (respectivement \"B\").\nPar op\u00e9ration, \"f\circ g:\mathbb{K}^q\to\mathbb{K}^n\" est l’application lin\u00e9aire canoniquement associ\u00e9e \u00e0 \"A B\".
    \nOr, en dimension finie, \"\mathrm{rg}(f\circ g)\leq \min\big(\mathrm{rg}(f),\mathrm{rg}(g)\big).\"
    \nDonc, par d\u00e9finition du rang d’une matrice \"\mathrm{rg}(AB)\leq \min\big(\mathrm{rg}(A),\mathrm{rg}(B)\big).\"\n\n\n\n

    Pour tout \u00e9tudiant en qu\u00eate d’une compr\u00e9hension plus profonde, un cours particuliers de math\u00e9matiques<\/a> peut \u00e9clairer la notion complexe de la matrice d’une application lin\u00e9aire. \ud83d\udcd8<\/p>\n\n\n\n

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    \"livre<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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