{"id":238405,"date":"2022-05-29T17:12:06","date_gmt":"2022-05-29T15:12:06","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=238405"},"modified":"2025-09-29T11:18:07","modified_gmt":"2025-09-29T09:18:07","slug":"corps-des-nombres-complexes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/corps-des-nombres-complexes\/","title":{"rendered":"Le corps des nombres complexes"},"content":{"rendered":"\n

Vous travaillez actuellement sur la th\u00e9orie du corps des nombres complexes<\/strong> ? Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours d\u00e9di\u00e9 au corps des nombres complexes<\/strong>, cette notion n’aura bient\u00f4t plus aucun secret pour vous ! Vous allez donc pouvoir tout d\u00e9chirer \u00e0 vos prochaines interrogations \u00e9crites et orales !<\/p>\n

Si la notation alg\u00e9brique des nombres complexes<\/strong> te semble encore abstraite, d\u00e9crypte-la avec l’aide d’un prof particulier de maths sp\u00e9cialis\u00e9 en alg\u00e8bre<\/strong><\/a> pour exceller dans tes \u00e9tudes. \ud83d\udcda<\/p>\n\n\n\n

Le corps des nombres complexes <\/h2>\n\n\n\n

Quelques pr\u00e9requis<\/h3>\n\n\n\n

Rappel<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nOn appelle produit cart\u00e9sien de deux ensembles \"A\" et \"B\" l’ensemble, not\u00e9 \"A\times B\", des couples \"(a,b)\" o\u00f9 \"a\in A\" et \"b\in B\".\n\n\n\n

D\u00e9finition : Loi de composition interne<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nSoit \"E\" un ensemble. On appelle loi de composition interne<\/a> une application de \"E\times E\" dans \"E\" :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\varphi:\begin{array}[t]{ccc}<\/p>\n\n\n\n

Construction du corps des complexes<\/h2>\n\n\n\n

D\u00e9finition<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nNous appellerons corps des nombres complexes, not\u00e9 \"\C\", l’ensemble \"\mathbb{R}^2\" muni de deux lois internes \"\oplus\" et \"\otimes\", d\u00e9finies pour tout \"(a,b)\in\mathbb{R}^2\", \"(a',b')\in\mathbb{R}^2\" par :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(a,b)\oplus (a',b')= (a+a',b+b'),\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(a,b)\otimes (a',b')= (aa'-bb',ab'+a'b) .\]\"<\/p>\n\n\n\n

Remarques<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\n

  • En vue de simplifier les \u00e9critures, dans la suite, nous noterons \"+\" et \"\times\" (notations habituelles) les lois de composition interne \"\oplus\" et \"\otimes\". <\/li>\n
  • La notion de \"corps\" sera vue ult\u00e9rieurement. <\/li>\n
  • Pour tout nombre r\u00e9el \"a\", nous identifions le nombre complexe \"(a,0)\" avec le r\u00e9el \"a\", et \"\i\" le nombre complexe \"(0,1)\". En utilisant cette notation et la d\u00e9finition de l’addition et de la multiplication dans \"\C\" d\u00e9finies ci-dessus, on peut \u00e9crire pour tout nombre complexe \"(a,b)\" : \"(a,b)=a+\i b.\"
    \nLe signe \u00e9gal ici est un abus de notation. Dans la suite, nous noterons un nombre complexe \"a+\i b\", c’est ce que l’on appelle la notation alg\u00e9brique d’un nombre complexe. Avec cette notation, on notera classiquement \"\oplus\" avec le signe \"+\" et \"\otimes\" avec \"\times\". <\/li>\n\n\n\n

    Proposition<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nLe nombre complexe \"\i\" v\u00e9rifie \"\i^2=-1\".\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nOn a :

      <\/span>   <\/span>\"\[\i^2=(0,1)\otimes (0,1)=(0\times 0-1\times 1, 0\times 1+1\times 0)=(-1,0)=-1.\]\"<\/p>\n\n\n\n

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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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