{"id":238323,"date":"2022-05-25T17:11:26","date_gmt":"2022-05-25T15:11:26","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=238323"},"modified":"2024-08-28T22:47:40","modified_gmt":"2024-08-28T20:47:40","slug":"topologie-de-r%c2%b2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/topologie-de-r%c2%b2\/","title":{"rendered":"Fiche de cours : Topologie de R\u00b2"},"content":{"rendered":"\n
Vous \u00e9tudiez actuellement la topologie de R\u00b2<\/strong>\u00a0? Pas de panique ! Gr\u00e2ce \u00e0 cette fiche de cours d\u00e9di\u00e9e \u00e0 la notion de topologie de R\u00b2, <\/strong>vous pourrez ma\u00eetriser cette notion sur le bout des doigts !<\/p>\n Et si la topologie de<\/strong> R\u00b2<\/strong> vous semble toujours aussi abstraite que les dessins d’Escher, nos cours particuliers de maths<\/strong><\/a> peuvent \u00e9clairer votre compr\u00e9hension et rendre cette abstraction en une r\u00e9alit\u00e9 math\u00e9matique tangible. \ud83c\udf00<\/p>\n \u00a0<\/p>\n\n\n\n <\/p>\nLa norme euclidienne de <\/span> <\/span> <\/p>\nAinsi la norme euclidienne mesure la distance de <\/p>\nLa norme euclidienne a les propri\u00e9t\u00e9s suivantes. <\/p>\n <\/span> <\/span> <\/p>\nSoient <\/span> <\/span> <\/p>\nSoit <\/span> <\/span> <\/p>\n Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\nTopologie de R\u00b2<\/strong><\/h2>\n\n\n\n
D\u00e9finition : Norme euclidienne sur R\u00b2<\/strong><\/h3>\n\n\n\n
est l’application
d\u00e9finie par :\n
<\/p>\n\n\n\n
au point
de coordonn\u00e9es
.\n\n\n\n
Proposition : Propri\u00e9t\u00e9s de la norme euclidienne <\/h3>\n\n\n\n
\n, on a
; <\/li>\n
,
implique
; <\/li>\n
,
; <\/li>\n
,
. <\/li>\n\n\n\n
D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n
, en notant
, alors
, d’o\u00f9
car une somme de r\u00e9els positifs est nulle si, et seulement si, tous les r\u00e9els sont nuls. <\/li>\n
. <\/li>\n
et
. On raisonne par \u00e9quivalence :\n
<\/p>
\nCette derni\u00e8re in\u00e9galit\u00e9 est vraie : c’est l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz dans muni de son produit scalaire usuel. <\/li>\n\n\n\n
D\u00e9finition : Boule ouverte<\/h3>\n\n\n\n
et
. On appelle la boule ouverte de centre
et de rayon
, not\u00e9e
, le sous-ensemble de
d\u00e9fini par :\n
<\/p>\n\n\n\n
D\u00e9finition : Ouvert de R\u00b2<\/strong><\/h3>\n\n\n\n
. On dit que
est un ouvert de
(ou une partie ouverte de
) si
est vide ou si : \n
<\/p>\n\n\n\n
Exemples<\/h4>\n\n\n\n
. <\/li>\n
est un ouvert de
. <\/li>\n
est un ouvert de
, alors qu’une intersection finie d’ouverts de
est un ouvert de
. <\/li>\n\n\n\n\n\n
<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n