{"id":237952,"date":"2022-07-08T14:53:09","date_gmt":"2022-07-08T12:53:09","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=237952"},"modified":"2025-09-29T11:32:21","modified_gmt":"2025-09-29T09:32:21","slug":"definition-isomorphisme","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/definition-isomorphisme\/","title":{"rendered":"Fiche de cours : d\u00e9finition de l’isomorphisme"},"content":{"rendered":"\n

Qu’est-ce qu’un isomorphisme <\/strong>? Un mot compliqu\u00e9 mais une notion assez simple en r\u00e9alit\u00e9. On te donne la d\u00e9finition de l’isomorphisme juste ici ! Tu trouveras aussi toutes les propositions du cours accompagn\u00e9es de leur d\u00e9monstration. Deviens incollable sur la notion d’isomorphisme<\/strong> !<\/p>\n\n\n\n

Et si tu souhaites encore plus progresser, nos cours particuliers d’alg\u00e8bre<\/a><\/strong> sont l\u00e0 pour te guider, rendant l’isomorphisme facilement accessible et compr\u00e9hensible. \ud83d\udd04<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9finition de l’isomorphisme et propositions<\/h2>\n\n\n\n
<\/div>\n\n\n\n

\ud83d\udccd D\u00e9finition<\/span> : Isomorphisme<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"f : E \to F\" une application de \"E\" dans \"F\". On dit que \"f\" est un isomorphisme de \"E\" sur \"F\" lorsque \"f\" est lin\u00e9aire et est une bijection de \"E\" sur \"F\".\n\n\n\n

\u261d\ufe0f Proposition<\/span> : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"f\" un isomorphisme de \"E\" sur \"F\". Alors, sa bijection r\u00e9ciproque \"f^{-1}\" est une application lin\u00e9aire. \n
C’est donc un isomorphisme de \"F\" sur \"E\".\n\n\n\n

D\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"(y_1,y_2) \in F \times F\" et \"\lambda \in \mathbb{K}\". Par bijectivit\u00e9 de \"f\", il existe \"(x_1,x_2) \in E \times E\" tel que \"y_1 = f(x_1)\" et \"y_2 = f(x_2)\". Par lin\u00e9arit\u00e9 de \"f\", on a : \"\lambda.y_1 + y_2 = f(\lambda.x_1 +x_2)\".\n
D’o\u00f9, par bijectivit\u00e9 de \"f\", \"f^{-1}(\lambda.y_1+y_2) = \lambda.x_1 + x_2\". On a aussi \"x_1 = f^{-1}(y_1)\" et \"x_2 = f^{-1}(y_2)\". Donc,\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f^{-1}(\lambda.y_1+y_2) = \lambda. f^{-1}(y_1) + f^{-1}(y_2) .\]\"<\/p>\nAinsi, \"f^{-1}\" est lin\u00e9aire.\n\n\n\n

\ud83d\udccd D\u00e9finition<\/span> : Espaces vectoriels isomorphes<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nOn dit que deux espaces vectoriels \"E\" et \"F\" sont isomorphes lorsqu’il existe un isomorphisme de \"E\" sur \"F\".\n\n\n\n

\u261d\ufe0f Proposition<\/span> : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"f \in \mathcal{L}(E,F)\".\n
L’application lin\u00e9aire \"f\" est un isomorphisme si, et seulement si, il existe une application \"g \in \mathcal{F}(F,E)\" telle que \"g \circ f = \text{Id}_E\" et \"f \circ g = \text{Id}_F\". Dans ce cas, \"g = f^{-1}\" et \"g\" est lin\u00e9aire.\n\n\n\n

D\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nLe sens direct est imm\u00e9diat.\n
R\u00e9ciproquement, si \"g \circ f = \text{Id}_E\", alors \"f\" est injective (revenir \u00e0 la d\u00e9finition d’injection) si et \"f \circ g = \text{Id}_F\" alors \"f\" est surjective (revenir \u00e0 la d\u00e9finition de surjection).\n
La lin\u00e9arit\u00e9 de \"g\" vient de la proposition pr\u00e9c\u00e9dente.\n\n\n\n

Remarque :<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La bijection r\u00e9ciproque d\u2019un isomorphisme est lin\u00e9aire, on en d\u00e9duit que la d\u00e9finition d\u2019espaces vectoriels isomorphes peut aussi s\u2019\u00e9noncer sous la forme : on dit que deux espaces vectoriels \"E\" et \"F\" sont isomorphes lorsqu\u2019il existe un isomorphisme de \"F\" sur \"E\" .<\/p>\n\n\n\n

\u261d\ufe0f Proposition<\/span> : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"f \in \mathcal{L}(E,F)\" et \"g \in \mathcal{L}(F,G)\". Si \"f\" et \"g\" sont des isomorphismes, alors \"g \circ f\" est un isomorphisme de \"E\" sur \"G\" et :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ <\/p>\n\n\n\n

D\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nOn a :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n\n\n\n

et<\/p>\n\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n\n\n\n\nAinsi, \"g\;\circ\;f\" est une bijection de \"E\" sur \"G\" et \"(g\;\circ\;f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\".\n
Par la proposition pr\u00e9c\u00e9dente, \"f^{-1}\" et \"g^{-1}\" sont lin\u00e9aires. Donc la compos\u00e9e \"f^{-1} \circ g^{-1}\" est lin\u00e9aire.\n\n\n\n

\ud83d\udca1 Conseils m\u00e9thodologiques : Montrer qu’une application est un isomorphisme<\/strong><\/h2>\n\n\n\n
<\/div>\n\n\n\n\nPour montrer qu’une application \"f : E \to F\" est un isomorphisme de \"E\" sur \"F\", on peut :\n
  • Montrer que \"f\" est lin\u00e9aire, injective sur \"E\" et surjective de \"E\" sur \"F\".<\/li>\n
  • Montrer que \"f\" est lin\u00e9aire et d\u00e9terminer \"g \in \mathcal{F}(F,E)\" telle que \"g\;\circ\;f = \text{Id}_E\" et \"f\;\circ\;g = \text{Id}_F\".<\/li>\n\n\n\n

    Exemple :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nConsid\u00e9rons les applications lin\u00e9aires :\n
    \n
    \"\begin{array}{ccccc} \n
    \n
    On v\u00e9rifie facilement que \"g\;\circ\;f = \text{Id}_{\mathbb{C}[X]}\" et \"f\;\circ\;g = \text{Id}_{\mathbb{C}[X]}\". Donc \"f\" est un isomorphisme de \"\mathbb{C}[X]\" sur \"\mathbb{C}[X]\".\n\n\n\n

    <\/p>\n\n\n\n

    Les isomorphismes sont le c\u0153ur de l’alg\u00e8bre moderne : ma\u00eetrise-les avec l’aide de nos soutiens scolaires en maths<\/a><\/strong>. \ud83d\udc8e<\/p>\n\n\n\n

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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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