{"id":237743,"date":"2022-06-02T17:13:51","date_gmt":"2022-06-02T15:13:51","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=237743"},"modified":"2025-09-29T11:27:55","modified_gmt":"2025-09-29T09:27:55","slug":"espace-vectoriel-de-dimension-finie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/espace-vectoriel-de-dimension-finie\/","title":{"rendered":"Fiche de cours : l’espace vectoriel de dimension finie"},"content":{"rendered":"\n

Qu’est-ce qu’un espace vectoriel de dimension finie<\/strong> ? Comment montrer qu’un espace vectoriel est de dimension finie ? Autant de questions auxquelles nous allons r\u00e9pondre dans ce cours de math\u00e9matiques sur l’espace vectoriel de dimension finie.<\/p>\n\n\n\n

Si tu rencontres des difficult\u00e9s avec la dimension des espaces vectoriels, sache qu’un cours particulier de maths<\/a><\/strong> peut t’aider \u00e0 tout remettre en ordre. \ud83d\udd22<\/p>\n\n\n\n

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\ud83d\udc49 Th\u00e9or\u00e8me<\/span> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"E\" un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie non r\u00e9duit au vecteur nul. Toutes les bases de \"E\" ont le m\u00eame nombre d’\u00e9l\u00e9ments.\n\n\n\n

D\u00e9monstration<\/strong> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoient \"(e_1,...,e_n)\" et \"(f_1,..., f_p)\" deux bases de \"E\". \n

  • La famille \"(f_1,..., f_p)\" est g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E\", donc, la famille libre \"(e_1,...,e_n)\" poss\u00e8de au plus \"p\" vecteurs. Donc \"n \leq p\". <\/li>\n
  • De m\u00eame, la famille \"(e_1,...,e_n)\" est g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E\" et la famille \"(f_1,..., f_p)\" est libre, donc \"p \leq n\". <\/li>\nAinsi, \"n=p\" et les deux bases consid\u00e9r\u00e9es ont le m\u00eame nombre d’\u00e9l\u00e9ments.\n\n\n\n
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    \ud83d\udccdD\u00e9finition<\/span> : Dimension<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n

  • Soit \"E\" un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie non r\u00e9duit au vecteur nul. On appelle dimension de \"E\", et on note \"dim_\mathbb{K}(E)\" ou \"dim(E)\", le nombre de vecteurs d’une de ses bases. <\/li>\n
  • Par convention, lorsque \"E = \{0_E\}\", on pose \"dim_\mathbb{K}(E) = dim(E) = 0\". <\/li>\n\n\n
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    \ud83d\udca1 Conseils m\u00e9thodologiques<\/p>\n<\/div>\n

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    Pour montrer qu’un espace vectoriel E est de dimension finie et d\u00e9terminer sa dimension, on d\u00e9termine une base de E. Par cons\u00e9quent, E est de dimension finie (en effet, il existe une famille g\u00e9n\u00e9ratrice finie de E) et dim(E) est \u00e9gale au nombre de vecteurs de la base trouv\u00e9e.<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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