{"id":237592,"date":"2022-05-18T17:10:32","date_gmt":"2022-05-18T15:10:32","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=237592"},"modified":"2024-08-28T22:48:24","modified_gmt":"2024-08-28T20:48:24","slug":"probabilite-sur-un-univers-fini","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/probabilite-sur-un-univers-fini\/","title":{"rendered":"Tout conna\u00eetre de la probabilit\u00e9 sur un univers fini"},"content":{"rendered":"\n
Vous \u00eates en pr\u00e9pa MPSI\/MP21 et travaillez actuellement sur la notion de probabilit\u00e9 sur un univers fini<\/strong> ? Vous \u00eates au bon endroit ! Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours d\u00e9di\u00e9 \u00e0 la notion de probabilit\u00e9 sur un univers fini<\/strong>, vous pouvez d\u00e9sormais partir serein(e) pour votre prochaine interrogation \u00e9crite ou orale !<\/p>\n\n\n\n Si tu te sens perdu(e) dans le labyrinthe des probabilit\u00e9s sur un univers fini, des cours particuliers de maths<\/strong> en ligne<\/strong><\/a> pourrait \u00eatre le fil d\u2019Ariane dont tu as besoin pour t’en sortir ! \ud83e\uddf6<\/p>\n\n\n\n <\/p>\nOn d\u00e9finit l’ensemble des parties de <\/span> <\/span> <\/p>\nOn appelle probabilit\u00e9 sur <\/span> <\/span> <\/p>\nPar r\u00e9currence, on montre que, pour tous \u00e9v\u00e9nements <\/span> <\/span> <\/p>\nUn espace probabilis\u00e9 (fini) est un couple <\/p>\nSoit <\/p>\n <\/span> <\/span> <\/span> <\/span> <\/span> <\/span> <\/p>\nSi <\/span> <\/span> <\/p>\nL’unicit\u00e9 est claire. <\/p>\nAutrement dit, pour d\u00e9finir une probabilit\u00e9 <\/span> <\/span> <\/p>\nSi <\/span> <\/span> <\/span> <\/span> Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\nProbabilit\u00e9s sur un univers fini<\/h2>\n\n\n\n
D\u00e9finition : Ensemble des parties de \u03a9<\/h3>\n\n\n\n
, not\u00e9
, l’ensemble\n
<\/p>\n\n\n\n
D\u00e9finition : Probabilit\u00e9 sur un univers fini<\/h3>\n\n\n\n
toute application
v\u00e9rifiant :\n
; <\/li>\n
et
incompatibles, on a \n
<\/p> <\/li>\n\n\n\n
Remarque <\/h4>\n\n\n\n
deux \u00e0 deux incompatibles, on a \n
<\/p>\n\n\n\n
D\u00e9finition : Espace probabilis\u00e9 <\/h3>\n\n\n\n
o\u00f9
est un univers fini et
est une probabilit\u00e9 sur
.\n\n\n\n
Proposition : Propri\u00e9t\u00e9s fondamentales <\/h3>\n\n\n\n
un espace probabilis\u00e9. Alors :\n
,
, en particulier,
; <\/li>\n
, si
, alors
.\n\nEn particulier
(croissance de la probabilit\u00e9) ; <\/li>\n
,
. <\/li>\n\n\n\n
D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n
et
v\u00e9rifient
et
, d’apr\u00e8s la d\u00e9finition , on a \n
<\/p>\nsoit
.
\nSi l’on remarque que , alors on a
. <\/li>\n
et
sont incompatibles et v\u00e9rifient
. Ainsi, d’apr\u00e8s le second point de la d\u00e9finition, on a
.
\nComme , on a en particulier,
. <\/li>\n
. Les \u00e9v\u00e9nements \u00e9tant deux \u00e0 deux incompatibles, on a \n
<\/p>\nComme
et
, en utilisant (ii), on a
et
, ce qui donne finalement\n
<\/p> <\/li>\n\n\n\n
Proposition<\/h3>\n\n\n\n
et si
sont des nombres positifs tels que
, alors il existe une unique probabilit\u00e9
sur
telle que \n
<\/p>\nLa suite
s’appelle une distribution de probablit\u00e9 sur
.\n\n\n\n
D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n
\n\nR\u00e9ciproquement, si est une application d\u00e9finie sur
telle que pour tout
,
, il est ais\u00e9 de v\u00e9rifier que
v\u00e9rifie les deux points de la d\u00e9finition.\n\n\n\n
Remarque<\/h4>\n\n\n\n
sur un univers fini
, il suffit de d\u00e9finir
sur chaque singleton de
(aussi appel\u00e9 \u00e9v\u00e9nement \u00e9l\u00e9mentaire) de sorte que la somme donne
. La formule g\u00e9n\u00e9rale est alors donn\u00e9e par :\n
<\/p>\n\n\n\n
Exemple<\/h3>\n\n\n\n
, il existe une unique probabilit\u00e9
sur
telle que \n
<\/p>\nAinsi, pour tout
, on a \n
<\/p>\nCette probabilit\u00e9 s’appelle la probabilit\u00e9 uniforme sur
.\n\n\n\n
<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n