{"id":237592,"date":"2022-05-18T17:10:32","date_gmt":"2022-05-18T15:10:32","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=237592"},"modified":"2025-09-29T11:22:25","modified_gmt":"2025-09-29T09:22:25","slug":"probabilite-sur-un-univers-fini","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/probabilite-sur-un-univers-fini\/","title":{"rendered":"Tout conna\u00eetre de la probabilit\u00e9 sur un univers fini"},"content":{"rendered":"\n

Vous \u00eates en pr\u00e9pa MPSI\/MP21 et travaillez actuellement sur la notion de probabilit\u00e9 sur un univers fini<\/strong> ? Vous \u00eates au bon endroit ! Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours d\u00e9di\u00e9 \u00e0 la notion de probabilit\u00e9 sur un univers fini<\/strong>, vous pouvez d\u00e9sormais partir serein(e) pour votre prochaine interrogation \u00e9crite ou orale !<\/p>\n\n\n\n

Si tu te sens perdu(e) dans le labyrinthe des probabilit\u00e9s sur un univers fini, des cours particuliers de maths<\/strong> en ligne<\/strong><\/a> pourrait \u00eatre le fil d\u2019Ariane dont tu as besoin pour t’en sortir ! \ud83e\uddf6<\/p>\n\n\n\n

Probabilit\u00e9s sur un univers fini<\/h2>\n\n\n\n

D\u00e9finition : Ensemble des parties de \u03a9<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nOn d\u00e9finit l’ensemble des parties de \"\Omega\", not\u00e9 \"\mathcal P \left( \Omega \right)\", l’ensemble\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathcal P \left( \Omega \right) = \left\{ A, \; A \subset \Omega \right\}.\]\"<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9finition : Probabilit\u00e9 sur un univers fini<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nOn appelle probabilit\u00e9 sur \"\Omega\" toute application \"\mathbb{P} : \mathcal P \left( \Omega \right) \rightarrow \left[ 0 , 1 \right]\" v\u00e9rifiant :\n

  • \"\mathbb{P} \left( \Omega \right)= 1\" ; <\/li>\n
  • pour tous \u00e9v\u00e9nements \"A\" et \"B\" incompatibles, on a \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P} \left( A \cup B \right) = \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right).\]\"<\/p> <\/li>\n\n\n\n

    Remarque <\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nPar r\u00e9currence, on montre que, pour tous \u00e9v\u00e9nements \"A_1, \dotsc, A_n\" deux \u00e0 deux incompatibles, on a \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P} \left( A_1 \cup \cdots \cup A_n \right) = \sum_{k=1}^n \mathbb{P} \left( A_k \right).\]\"<\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9finition : Espace probabilis\u00e9 <\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nUn espace probabilis\u00e9 (fini) est un couple \"\left( \Omega, \mathbb{P} \right)\" o\u00f9 \"\Omega\" est un univers fini et \"\mathbb{P}\" est une probabilit\u00e9 sur \"\Omega\".\n\n\n\n

    Proposition : Propri\u00e9t\u00e9s fondamentales <\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"\left( \Omega, \mathbb{P} \right)\" un espace probabilis\u00e9. Alors :\n

  • pour tout \"A \in \mathcal P \left( \Omega \right)\", \"\mathbb{P} \left( \overline{A} \right)=1 - \mathbb{P} \left( A \right)\", en particulier, \"\mathbb{P} \left( \varnothing \right) = 0\" ; <\/li>\n
  • pour tout \"\left( A, B \right) \in \mathcal P \left( \Omega \right)^2\", si \"A \subset B\", alors \"\mathbb{P} \left( B \backslash A \right) = \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \right)\".\n\nEn particulier \"\mathbb{P} \left( A \right) \le \mathbb{P} \left( B \right)\" (croissance de la probabilit\u00e9) ; <\/li>\n
  • pour tout \"\left( A, B \right) \in \mathcal P \left( \Omega \right)^2\", \"\mathbb{P} \left( A \cup B \right) =\mathbb{P} \left( A \right)+ \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right)\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • Comme les \u00e9v\u00e9nements \"A\" et \"\overline{A}\" v\u00e9rifient \"A \cap \overline{A} = \varnothing\" et \"A \cup \overline{A} = \Omega\", d’apr\u00e8s la d\u00e9finition , on a \n

      <\/span>   <\/span>\"\[1 = \mathbb{P} \left( \Omega \right) =\mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( \overline{A} \right),\]\"<\/p>\nsoit \"\mathbb{P} \left( \overline{A} \right) = 1 - \mathbb{P} \left( A \right)\".
    \nSi l’on remarque que \"\varnothing = \overline{\Omega}\", alors on a \"\mathbb{P} \left( \varnothing \right) = 1 - 1=0\". <\/li>\n

  • Il est clair que les \u00e9v\u00e9nements \"A\" et \"B \backslash A\" sont incompatibles et v\u00e9rifient \"B = A \cup \left( B \backslash A \right)\". Ainsi, d’apr\u00e8s le second point de la d\u00e9finition, on a \"\mathbb{P} \left( B \right)= \mathbb{P} \left( A \right)+ \mathbb{P} \left( B \backslash A \right)\".
    \nComme \"\mathbb{P} \left( B \backslash A \right) \ge 0\", on a en particulier, \"\mathbb{P} \left( A \right) \le \mathbb{P} \left( B \right)\". <\/li>\n
  • Il suffit de remarquer que \"A \cup B = \left( A \backslash \left( A \cap B \right) \right) \cup \left( A \cap B \right) \cup \left( B \backslash \left( A \cap B \right) \right)\". Les \u00e9v\u00e9nements \u00e9tant deux \u00e0 deux incompatibles, on a \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P} \left( A \cup B \right)= \mathbb{P} \left( A \backslash \left( A \cap B \right) \right)+ \mathbb{P} \left( A \cap B \right) + \mathbb{P} \left( B \backslash \left( A \cap B \right) \right) .\]\"<\/p>\nComme \"A \cap B \subset A\" et \"A \cap B \subset B\", en utilisant (ii), on a \"\mathbb{P} \left( A \backslash \left( A \cap B \right) \right) = \mathbb{P} \left( A \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right)\" et \"\mathbb{P} \left( B \backslash \left( A \cap B \right) \right) = \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right)\", ce qui donne finalement\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P} \left( A \cup B \right) =\mathbb{P} \left( A \right)+ \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right).\]\"<\/p> <\/li>\n\n\n\n

    Proposition<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nSi \"\Omega = \left\{ \omega_1, \dotsc, \omega_n \right\}\" et si \"p_1, \dotsc ,p_n\" sont des nombres positifs tels que \"p_1 + \cdots + p_n =1\", alors il existe une unique probabilit\u00e9 \"\mathbb{P}\" sur \"\Omega\" telle que \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall i \in [[1, n]], \quad \mathbb{P} \left( \left\{ \omega_i \right\} \right) = p_i.\]\"<\/p>\nLa suite \"\left( p_1, \dotsc, p_n \right)\" s’appelle une distribution de probablit\u00e9 sur \"\Omega\".\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nL’unicit\u00e9 est claire.
    \n\nR\u00e9ciproquement, si \"\mathbb{P}\" est une application d\u00e9finie sur \"\mathcal P \left( \Omega \right)\" telle que pour tout \"i \in [[1, n]]\", \"\mathbb{P} \left( \left\{ \omega_i \right\} \right) = p_i\", il est ais\u00e9 de v\u00e9rifier que \"\mathbb{P}\" v\u00e9rifie les deux points de la d\u00e9finition.\n\n\n\n

    Remarque<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nAutrement dit, pour d\u00e9finir une probabilit\u00e9 \"\mathbb{P}\" sur un univers fini \"\Omega\", il suffit de d\u00e9finir \"\mathbb{P}\" sur chaque singleton de \"\Omega\" (aussi appel\u00e9 \u00e9v\u00e9nement \u00e9l\u00e9mentaire) de sorte que la somme donne \"1\". La formule g\u00e9n\u00e9rale est alors donn\u00e9e par :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall A \in \mathcal P \left( \Omega \right), \quad \mathbb{P} \left( A \right) = \sum_{\omega \in A} \mathbb{P} \left( \left\{ \omega \right\} \right).\]\"<\/p>\n\n\n\n

    Exemple<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nSi \"\Omega = [[1 , n]]\", il existe une unique probabilit\u00e9 \"\mathbb{P}\" sur \"\Omega\" telle que \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall k \in \Omega , \quad \mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right) = \frac1n.\]\"<\/p>\nAinsi, pour tout \"A \subset \Omega\", on a \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P} \left( A \right) = \frac{\mathrm{card} \left( A \right)}{n}.\]\"<\/p>\nCette probabilit\u00e9 s’appelle la probabilit\u00e9 uniforme sur \"\Omega\".\n\n\n\n

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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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