{"id":237009,"date":"2022-06-08T17:14:07","date_gmt":"2022-06-08T15:14:07","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=237009"},"modified":"2024-08-28T22:47:10","modified_gmt":"2024-08-28T20:47:10","slug":"quest-ce-que-lintegrale-de-riemann","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/quest-ce-que-lintegrale-de-riemann\/","title":{"rendered":"Qu’est-ce que l’int\u00e9grale de Riemann ?"},"content":{"rendered":"\n

Vous travaillez actuellement sur l’int\u00e9grale de Riemann<\/strong> ? Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours d\u00e9di\u00e9 \u00e0 la notion , l’int\u00e9grale de Riemann <\/strong>n’aura bient\u00f4t plus aucun secret pour vous ! \u00c9tudiez par exemple l’int\u00e9grale d’une fonction en escalier pour mieux comprendre ce chapitre et r\u00e9ussir vos interrogations \u00e0 coup s\u00fbr !<\/p>\n\n\n\n

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Int\u00e9grale d’une fonction en escalier<\/h2>\n\n\n\n

D\u00e9finition : Int\u00e9grale de Riemann d’une fonction en escalier<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nSoit \"\varphi\" une fonction en escalier d\u00e9finie sur un intervalle \"[a,b]\" et \"(x_i)_{0\le i\le n}\" une subdivision adapt\u00e9e \u00e0 \"\varphi\" telle que : \"\forall i\in\ [[ 0,n-1]]\", \"\forall x\in]x_i,x_{i+1}[,\;\varphi(x)=\lambda_i\".
\nOn appelle int\u00e9grale de Riemann de la fonction en escalier \"\varphi\" l’\u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{K}\" :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_{[a,b]}\varphi =\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i(x_{i+1}-x_i).\]\"<\/p>\n\n\n\n

Remarques<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\n

  • La valeur de \"\displaystyle \int_{[a,b]}\varphi\" ne d\u00e9pend pas de la subdivision choisie. <\/li>\n
  • Si \"\varphi\" est \u00e0 valeur r\u00e9elle et \"\varphi(x) \ge 0\" pour tout \"x\in[a, b]\" alors \"\lambda_i(x_{i+1}-x_i)\" est \u00e9gal \u00e0 l’aire du rectangle illustr\u00e9 sur la figure ci-contre.
    \nIl vient naturellement que \"\displaystyle\int_{[a,b]} \varphi\" repr\u00e9sente l’aire de la portion du plan comprise entre la courbe et l’axe des abscisses si \"\varphi\" est positive sur \"[a,b]\" (l’oppos\u00e9 de l’aire si elle est n\u00e9gative). En effet, la formule revient \u00e0 additionner l’aire des rectangles form\u00e9s par la fonction en escalier. <\/li>
    \n
  • Si \"\varphi\" est une fonction constante \u00e9gale \u00e0 \"M\", alors : \"\displaystyle\int_{[a,b]} \varphi=M(b-a)\". <\/li>\n\n\n\n
    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Forme canonique<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"f\" et \"g\" deux fonctions en escaliers sur un intervalle \"[a,b]\".\nOn remarque que \"|f|\" est aussi une fonction en escaliers sur \"[a , b ]\".\n

  • Lin\u00e9arit\u00e9 : Pour tout \"(\lambda,\mu)\in\mathbb{K}^2\", \"\displaystyle \int_{[a,b]}(\lambda f+\mu g)=\displaystyle \lambda\int_{[a,b]}f+\mu\int_{[a,b]} g\". <\/li>\n
  • In\u00e9galit\u00e9 triangulaire : \"\displaystyle \left|\int_{[a,b]}f\right|\le \int_{[a,b]}\left|f\right|\". <\/li>\n
  • Relation de Chasles : Pour tout \"c\in[a,b]\", \"\displaystyle \int_{[a,b]}f=\int_{[a,c]}f+\int_{[c,b]}f\". <\/li>\n
  • Croissance (on suppose ici que \"\mathbb{K}=\mathbb{R}\") : Si pour tout \"x\in[a,b]\", \"f(x)\le g(x)\" alors : \"\displaystyle \int_{[a,b]}f\le\int_{[a,b]}g\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nPas de difficult\u00e9 dans cette preuve, la d\u00e9monstration du premier point oblige de prendre une subdivision adapt\u00e9e aux deux fonctions en escalier \"f\" et \"g\".\n\n\n\n

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    \"livre<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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