{"id":236825,"date":"2022-06-08T17:13:54","date_gmt":"2022-06-08T15:13:54","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=236825"},"modified":"2025-09-29T11:54:57","modified_gmt":"2025-09-29T09:54:57","slug":"montrer-qu-un-ensemble-est-un-espace-vectoriel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/montrer-qu-un-ensemble-est-un-espace-vectoriel\/","title":{"rendered":"Montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel"},"content":{"rendered":"\n

Pour montrer qu\u2019un ensemble est un espace vectoriel<\/strong>, il faut v\u00e9rifier certaines conditions fondamentales. Une fois ma\u00eetris\u00e9es, ces concepts ne seront plus un myst\u00e8re pour toi. Notre objectif est de rendre ces notions claires et accessibles, pour que tu puisses les appliquer avec aisance.<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9couvre comment l’ensemble des fonctions continues peut constituer un espace vectoriel, et bien d’autres subtilit\u00e9s, en te plongeant dans notre cours de soutien scolaire en maths online<\/a><\/strong> d\u00e9di\u00e9 aux \u00e9tudiants en MPSI. \ud83d\udcc8<\/p>\n\n\n\n

\u261d\ufe0fProposition<\/span> : 3 conditions \u00e0 v\u00e9rifier pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoient \"(E,+,.)\" un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel et \"F\" un ensemble.\n
On a l’\u00e9quivalence : \"F\" est un sous-espace vectoriel de \"E\" si, et seulement si :\n

  • \"F \subset E\". <\/li>\n
  • \"0_E \in F\"; <\/li>\n
  • pour tout \"(u,v) \in F \times F\" et \"\lambda \in \mathbb{K}\", \"\lambda.u+v \in F\".<\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/strong> :<\/p>\n\n\n\n\n(\"\Rightarrow\") On suppose que \"F\" est un sous-espace vectoriel de \"E\" , donc \"F\" est une partie de \"E\".\n
    Comme \"F\" est non vide, il existe \"u \in F\".\n
    De plus, \"F\" est stable par combinaison lin\u00e9aire, donc \"0_E = 0.u \in F\".\n
    Le troisi\u00e8me point est clair car \"F\" est stable par combinaison lin\u00e9aire.\n
    (\"\Leftarrow\") On suppose que \"F \subset E\", \"0_E \in F\" et que, pour tout \"(u,v) \in F \times F\" et \"\lambda \in \mathbb{K}\", \"\lambda.u+v \in F\".\n
    Comme \"0_E \in F\", \"F\" est non vide.\n
    On montre par r\u00e9currence sur \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\mathcal{H}_n : " si (\lambda_1,...,\lambda_n) \in \mathbb{K}^n\" et \"(u_1,...,u_n) \in F^n\", alors \"\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \in F "\".\n
    \"\textbf{Initialisation : }\" pour \"n=1\". Soit \"\lambda \in \mathbb{K}\" et \"u \in \ F\". Comme \"0_E \in F\", le troisi\u00e8me point donne : \"\lambda.u = \lambda.u + 0_E \in F\".\n
    Donc \"\mathcal{H}_1\" est vraie.\n
    \"\textbf{Hérédité : }\" Soit \"n \in \mathbb{N}^*\". On suppose \"\mathcal{H}_n\" vraie et on montre \"\mathcal{H}_{n+1}\".\n
    Soient \"(\lambda_1,...,\lambda_n) \in \mathbb{K}^{n+1}\" et \"(u_1,...u_{n+1}) \in F^{n+1}\". Montrons que \"\lambda_1.u_1 + ... + \lambda_{n+1}.u_{n+1} \in F\".\n

  • Cas 1 : \"\lambda_{n+1} = 0\". Il suffit d’appliquer directement l’hypoth\u00e8se de r\u00e9currence \"\mathcal{H}_n\". <\/li>\n
  • Cas 2 : \"\lambda_{n+1} \ne 0\". On a :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\lambda_1.u_1 + ... + \lambda_{n+1}.u_{n+1} = \lambda_{n+1}.(\underbrace{\frac{\lambda_1}{\lambda_{n+1}}.u_1 + ... + \frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}}.u_n}_{=u} + u_{n+1}).\]\"<\/p>\nOr, par hypoth\u00e8se de r\u00e9currence \"u \in F\" et \"u_{n+1} \in F\". Par le troisi\u00e8me point, \"u + u_{n+1} \in F\". Puis, par \"\mathcal{H}_1\", \"\lambda_1.u_1 + ... + \lambda_{n+1}.u_{n+1} = \lambda_{n+1}(u + u_{n+1}) \in F\". <\/li>\nPar le principe de r\u00e9currence, pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\mathcal{H}_n\" est vraie.\n
    Maintenant, si \"(\lambda_i)_{i \in I}\" est une famille de scalaires presque nulle et \"(x_i) \in F^I\", en notant \"n\" le nombre de scalaire non nul, il suffit de remarquer que \"\sum_{i \in I} \lambda_i x_i = 0_E \in F\" lorsque \"n=0\" et, quitte \u00e0 renommer les scalaires non nuls, il suffit d’appliquer \"\mathcal{H}_n\" lorsque \"n \ne 0\".\n
    Ainsi, \"F\" est stable par combinaison lin\u00e9aire.\n\n\n

    \n

    \ud83d\udca1Conseils m\u00e9thodologiques<\/p>\n<\/div>\n

    \n
      \n
    • C’est cette proposition qui est utilis\u00e9e en pratique pour montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel.<\/li>\n
    • Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, on montre en g\u00e9n\u00e9ral que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de r\u00e9f\u00e9rence.<\/li>\n<\/ul>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

      Exemple :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"I\" un intervalle de \"\mathbb{R}\". \n
      Montrons que l’ensemble \"\mathcal{C}(I,\mathbb{K})\" des fonctions continues sur \"I\" et \u00e0 valeur dans \"\mathbb{K}\" est un sous-espace vectoriel de \"\mathcal{F}(I,\mathbb{K})\".\n

    • On a l’inclusion \"\mathcal{C}(I,\mathbb{K}) \subset \mathcal{F}(I,\mathbb{K})\". <\/li>\n
    • La fonction nulle est continue sur \"I\". <\/li>\n
    • Soit \"(f,g) \in \mathcal{C}(I,\mathbb{K}) \times \mathcal{C}(I,\mathbb{K})\" et \"\lambda \in \mathbb{K}\". La fonction \"\lambda.f+g\" est continue comme combinaison lin\u00e9aire de fonctions continues.<\/li>\nDonc, \"\mathcal{C}(I,\mathbb{K})\" est un sous-espace vectoriel de \"\mathcal{F}(I,\mathbb{K})\".\n
      En particulier, muni des op\u00e9rations de \"\mathcal{F}(I,\mathbb{K})\", \"\mathcal{C}(I,\mathbb{K})\" est un espace vectoriel.\n\n\n
      \n

      \ud83d\udca1 Conseils m\u00e9thodologiques<\/p>\n<\/div>\n

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      Soient E un sous-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E.<\/div>\n
        \n
      • On a toujours l’inclusion {0<\/span>E<\/span><\/sub>}\u00a0\u2282\u00a0 F. En particulier, pour montrer que F = {0<\/span>E<\/span><\/sub>} il suffit de montrer que F \u2282 {0<\/span>E<\/span><\/sub>}.<\/li>\n
      • On a toujours l’inclusion F \u2282 \u00a0E. En particulier, pour montrer que F = E, il suffit de montrer que E\u00a0\u2282 \u00a0F.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n

        \u261d\ufe0fProposition<\/span> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoient \"E\" un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel et \"(F_i)_{i \in I}\" une famille de sous-espaces vectoriels de \"E\" index\u00e9e par un ensemble non vide \"I\".\n
        L’intersection \"\bigcap_{i \in I} F_i\" est un sous-espace vectoriel de \"E\".\n\n\n\n

        D\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nOn note \"F = \bigcap_{i \in I} F_i\".\n

      • Pour tout \"i \in I\", \"F_i \subset E\", donc, \"F \subset E\". <\/li>\n
      • Pour tout \"i \in I\", \"0_E \in F_i\" car \"F_i\" est un sous-espace vectoriel de \"E\", donc, \"0_E \in F\".<\/li>\n
      • Soient \"(u,v) \in F \times F\" et \"\lambda \in \mathbb{K}\".\n
        Alors, pour tout \"i \in I\", \"(u,v) \in F_i \times F_i\".\n
        Or, pour tout \"i \in I\", \"F_i\" est un sous-espace vectoriel de \"E\", donc \"\lambda.u+v \in F_i\". D\u2019o\u00f9, \"\lambda.u+v \in F\". <\/li>\nAinsi, \"F\" est un sous-espace vectoriel de \"E\" .\n\n\n\n

        \ud83d\udea8 Attention ! <\/strong>\ud83d\udea8<\/p>\n\n\n\n\nEn g\u00e9n\u00e9ral, l’union de sous-espaces vectoriels n’est pas un sous-espace vectoriel.\n
        En effet, si on note \"E = \mathbb{R}^2\" et on consid\u00e8re les droites vectorielles \"F_1 = \{(x,y) \in E, y=0\}\" et \"F_2 = \{(x,y) \in E, x=0\}\". Ce sont deux sous-espaces vectoriels de \"E\".\n
        Les vecteurs \"x_1 = (1,0)\" et \"x_2 = (0,1)\" appartiennent \u00e0 \"F_1 \cup F_2\" mais \"x_1 + x_2 = (1,1) \ne F_1 \cup F_2\".\n\n\n

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        \"Sous-espaces<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
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        \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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        Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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        Pour montrer qu\u2019un ensemble est un espace vectoriel, il faut v\u00e9rifier certaines conditions fondamentales. Une fois ma\u00eetris\u00e9es, ces (…)<\/p>\n","protected":false},"author":158,"featured_media":237724,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":true,"footnotes":""},"category":[803,810],"tag":[78,345],"class_list":["post-236825","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-apprendre-matiere","category-maths","tag-prepa","tag-prepa-scientifique"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/236825","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/158"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=236825"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/236825\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/237724"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=236825"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/category?post=236825"},{"taxonomy":"tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tag?post=236825"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}