{"id":236825,"date":"2022-06-08T17:13:54","date_gmt":"2022-06-08T15:13:54","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=236825"},"modified":"2024-08-28T22:47:13","modified_gmt":"2024-08-28T20:47:13","slug":"montrer-qu-un-ensemble-est-un-espace-vectoriel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/montrer-qu-un-ensemble-est-un-espace-vectoriel\/","title":{"rendered":"Montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel"},"content":{"rendered":"\n

Pour montrer qu\u2019un ensemble est un espace vectoriel<\/strong>, il faut v\u00e9rifier certaines conditions fondamentales. Une fois ma\u00eetris\u00e9es, ces concepts ne seront plus un myst\u00e8re pour toi. Notre objectif est de rendre ces notions claires et accessibles, pour que tu puisses les appliquer avec aisance.<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9couvre comment l’ensemble des fonctions continues peut constituer un espace vectoriel, et bien d’autres subtilit\u00e9s, en te plongeant dans notre cours de soutien scolaire en maths online<\/a><\/strong> d\u00e9di\u00e9 aux \u00e9tudiants en MPSI. \ud83d\udcc8<\/p>\n\n\n\n

\u261d\ufe0fProposition<\/span> : 3 conditions \u00e0 v\u00e9rifier pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoient \"(E,+,.)\" un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel et \"F\" un ensemble.\n
On a l’\u00e9quivalence : \"F\" est un sous-espace vectoriel de \"E\" si, et seulement si :\n

  • \"F \subset E\". <\/li>\n
  • \"0_E \in F\"; <\/li>\n
  • pour tout \"(u,v) \in F \times F\" et \"\lambda \in \mathbb{K}\", \"\lambda.u+v \in F\".<\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/strong> :<\/p>\n\n\n\n\n(\"\Rightarrow\") On suppose que \"F\" est un sous-espace vectoriel de \"E\" , donc \"F\" est une partie de \"E\".\n
    Comme \"F\" est non vide, il existe \"u \in F\".\n
    De plus, \"F\" est stable par combinaison lin\u00e9aire, donc \"0_E = 0.u \in F\".\n
    Le troisi\u00e8me point est clair car \"F\" est stable par combinaison lin\u00e9aire.\n
    (\"\Leftarrow\") On suppose que \"F \subset E\", \"0_E \in F\" et que, pour tout \"(u,v) \in F \times F\" et \"\lambda \in \mathbb{K}\", \"\lambda.u+v \in F\".\n
    Comme \"0_E \in F\", \"F\" est non vide.\n
    On montre par r\u00e9currence sur \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\mathcal{H}_n : " si (\lambda_1,...,\lambda_n) \in \mathbb{K}^n\" et \"(u_1,...,u_n) \in F^n\", alors \"\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \in F "\".\n
    \"\textbf{Initialisation : }\" pour \"n=1\". Soit \"\lambda \in \mathbb{K}\" et \"u \in \ F\". Comme \"0_E \in F\", le troisi\u00e8me point donne : \"\lambda.u = \lambda.u + 0_E \in F\".\n
    Donc \"\mathcal{H}_1\" est vraie.\n
    \"\textbf{Hérédité : }\" Soit \"n \in \mathbb{N}^*\". On suppose \"\mathcal{H}_n\" vraie et on montre \"\mathcal{H}_{n+1}\".\n
    Soient \"(\lambda_1,...,\lambda_n) \in \mathbb{K}^{n+1}\" et \"(u_1,...u_{n+1}) \in F^{n+1}\". Montrons que \"\lambda_1.u_1 + ... + \lambda_{n+1}.u_{n+1} \in F\".\n

  • Cas 1 : \"\lambda_{n+1} = 0\". Il suffit d’appliquer directement l’hypoth\u00e8se de r\u00e9currence \"\mathcal{H}_n\". <\/li>\n
  • Cas 2 : \"\lambda_{n+1} \ne 0\". On a :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\lambda_1.u_1 + ... + \lambda_{n+1}.u_{n+1} = \lambda_{n+1}.(\underbrace{\frac{\lambda_1}{\lambda_{n+1}}.u_1 + ... + \frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}}.u_n}_{=u} + u_{n+1}).\]\"<\/p>\nOr, par hypoth\u00e8se de r\u00e9currence \"u \in F\" et \"u_{n+1} \in F\". Par le troisi\u00e8me point, \"u + u_{n+1} \in F\". Puis, par \"\mathcal{H}_1\", \"\lambda_1.u_1 + ... + \lambda_{n+1}.u_{n+1} = \lambda_{n+1}(u + u_{n+1}) \in F\". <\/li>\nPar le principe de r\u00e9currence, pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\mathcal{H}_n\" est vraie.\n
    Maintenant, si \"(\lambda_i)_{i \in I}\" est une famille de scalaires presque nulle et \"(x_i) \in F^I\", en notant \"n\" le nombre de scalaire non nul, il suffit de remarquer que \"\sum_{i \in I} \lambda_i x_i = 0_E \in F\" lorsque \"n=0\" et, quitte \u00e0 renommer les scalaires non nuls, il suffit d’appliquer \"\mathcal{H}_n\" lorsque \"n \ne 0\".\n
    Ainsi, \"F\" est stable par combinaison lin\u00e9aire.\n\n\n

    \n

    \ud83d\udca1Conseils m\u00e9thodologiques<\/p>\n<\/div>\n

    \n