{"id":236610,"date":"2022-05-29T17:12:10","date_gmt":"2022-05-29T15:12:10","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=236610"},"modified":"2025-09-29T11:47:05","modified_gmt":"2025-09-29T09:47:05","slug":"procede-de-grammaire-schmidt","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/procede-de-grammaire-schmidt\/","title":{"rendered":"Qu’est-ce que le proc\u00e9d\u00e9 de Gram-Schmidt ?"},"content":{"rendered":"\n

Tu te demandes ce qu’est le proc\u00e9d\u00e9 de Gram Schmidt ? On te r\u00e9pond juste ici, avec ce cours complet sur le proc\u00e9d\u00e9 de Gram Schmidt ! Tu pourras m\u00eame profiter de pr\u00e9cieux conseils m\u00e9thodologiques \ud83d\ude09<\/p>\n\n\n\n

Avant ton prochain TD, assure-toi de ma\u00eetriser cette notion avec l’aide de nos cours de soutien en math\u00e9matiques<\/a><\/strong>, et sois pr\u00eat(e) \u00e0 relever tous les d\u00e9fis ! \u2728<\/p>\n\n\n\n

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\u261d\ufe0f Proposition<\/span> : Proc\u00e9d\u00e9 d’orthonormalisation de Gram-Schmidt<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"(e_1,...e_p)\" une famille libre de vecteurs de E. Il existe une unique famille orthonorm\u00e9e \"(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)\" v\u00e9rifiant :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[$\forall k\in[\![1,p]\!]$, Vect$(e_1,...,e_k)=$Vect$(\varepsilon_1,...,\varepsilon_k)$.\]\"<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nOn proc\u00e8de par r\u00e9currence sur \"p\".\n
\n\"\textbf{Initialisation : }\" Lorsque \"p=1\". Soit \"(e_1)\" une famille libre. Comme \"e_1\ne1\", on peut poser \"\varepsilon_1 = \frac{1}{\| \left (e_1\right) \|} \varepsilon_1\" \n
\nPar construction, on a \"\| \left (e_1\right) \|=1\", la famille \"(\varepsilon_1)\" est orthonorm\u00e9e.\n
\n\"\textbf{Hérédité :}\" Soit \"p\in\mathbb{N}^*\", On suppose la propri\u00e9t\u00e9 vraie au rang \"p\", montrons qu\u2019elle est vraie au rang \"p+1\". Soit \"(e_1,...,e_p,e_{p+1})\" une famille libre de \"E\". La sous-famille \"(e_1,...,e_p)\" est une famille libre de \"E\", \"(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)\" telle que \n

  <\/span>   <\/span>\"\[$\forall i\in[\![1,p]\!]$, Vect$(e_1,...,e_i)=$Vect$(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)$.\]\"<\/p>\n\n\n\n\nOn cherche \"\varepsilon_{p+1}\" sous la forme\n

  <\/span>   <\/span>\"\[$ \varepsilon_{p+1}=\lambda_1\varepsilon_1+...+\lambda_p\varepsilon_p+\lambda_{p+1} e_{p+1}\]\"<\/p>\n
\nLa famille \"(\varepsilon_1,...\varepsilon_p)\" est orthonorm\u00e9e, donc\n

  <\/span>   <\/span>\"\[$\forall k\in[\![1,p]\!]$, \langle \varepsilon_{p+1},\varepsilon_k \rangle = \lambda_k+\lambda_{p+1}\langle e_{p+1},\varepsilon_k \rangle\]\"<\/p>\n
\nAinsi, la famille \"(\varepsilon_1,...\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1})\" est orthonorm\u00e9e si, et seulement si,\n

  <\/span>   <\/span>\"\[$\forall k\in[\![1,p]\!],\lambda_k=-\lambda_{p+1}\langle e_{p+1},\varepsilon_k \rangle\]\"<\/p>\n
\nde sorte que si l\u2019on pose\n

  <\/span>   <\/span>\"\[$ \varepsilon_{p+1}=\lambda_{p+1}(e_{p+1}-\langle e{p+1},\varepsilon_1 \rangle \varepsilon_1 - ... - \langle \e{p+1},\varepsilon_p \rangle \varepsilon_p)\]\"<\/p>\n
\nla famille \"(\varepsilon_1,...\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1})\" est orthogonale.\n
\nDe plus, \"(e_1,...e_p,e_{p+1})\" est libre, donc \"e_{p+1}\notin Vect(e_1,...e_p)\"\n
\nD\u2019apr\u00e8s l\u2019hypoth\u00e8se de r\u00e9currence, \"Vect(e_1,...e_p)=Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)\", donc \"e_{p+1} \notin Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)\".\n
\nDonc \"\| \left ( e_{p+1}-\langle \varepsilon_{p+1},\varepsilon_1 \rangle\varepsilon_1-...- \langle \varepsilon_{p+1},\varepsilon_p \rangle \varepsilon_p \right ) \|\ne 0\"\n
\nAinsi, en posant \"\lambda_{p+1}=\frac{1}{\| \left ( e_{p+1}-\langle e_{p+1},\varepsilon_1 \rangle\varepsilon_1-...- \langle e_{p+1},\varepsilon_p \rangle \varepsilon_p \right ) \|}\" , la famille \"(\varepsilon_1,...\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1})\" est orthonorm\u00e9e. \nDe plus, par construction\n

  <\/span>   <\/span>\"\[$\varepsilon_{p+1}=\underbrace{\lambda_{p+1}}_{\ne 0} e_{p+1} + \underbrace{\lambda_{p}e_p+...+\lambda_{1}e_1}_{\in Vect(e_1,...,e_p)=Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)\]\"<\/p>\n
\nAinsi, on a bien \"Vect(e_1,...,e_p,e_{p+1})=Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1})\"\n\n\n\n

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\ud83d\udca1 Conseils m\u00e9thodologiques<\/strong><\/span><\/p>\n

Le proc\u00e9d\u00e9 d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, bien que pas toujours facile \u00e0 mettre en \u0153uvre, doit \u00eatre parfaitement ma\u00eetris\u00e9, au moins sur des exemples simples.<\/p>\n\n\n\n\n \"\mathbb{R}^3\" est muni de son produit scalaire usuel. Soit \"F=Vect((1,2,0),(1,1,3))\". On cherche une base orthonorm\u00e9e de \"F\" .\nLa famille ((1, 2, 0) , (1, 1, 3)) est une famille libre de \"F\" , on lui applique le proc\u00e9d\u00e9 de Gram- Schmidt.\n
\nOn pose \"e_1=\frac{1}{\| \left ( 1,2,0 \right ) \|}(1,2,0)=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2,0).\"\n
\nOn cherche \"\~e_2\" sous la forme \"(1,1,3)+ae_1\" avec \"a\in \mathbb{R}\". On veut \"\langle \~e_2, e_1 \rangle=0\".\n
\nOr, \"\langle \~e_2, e_1 \rangle=\langle (1,1,3),e_1 \rangle +a\langle \~e_2, e_1 \rangle=\langle (1,1,3),e_1 \rangle +a\" car \"\langle e_1, e_1 \rangle=||e_1||^2=1\".\n
\nOn a donc \"a=-\langle (1,1,3),e_1 \rangle=-\frac{1}{\sqrt{5}} \langle (1,1,3),(1,2,0) \rangle = -\frac{3}{\sqrt{5}}\".\n
\nCe qui donne \"\~e_2=(1,1,3)-\frac{3}{\sqrt{5}}x\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2,0)=\frac{1}{5}(2,-1,15)\".\n
\nOn pose \"e_2=\frac{1}{\| \left ( \~e_2 \right ) \|}\~e_2\"\n
\nComme \"\~e_2=\sqrt{\frac{46}{5}}\", on en d\u00e9duit finalement que \"e_2=\frac{1}{\sqrt{230}}(2,-1,15)\".\n
\nAinsi, \"F=Vect(e_1,e_2)\" et la famille \"(e_1,e_2)\" est libre. Donc la famille \"(e_1,e_2)\" est une base orthonorm\u00e9e de \"F\" .\n\n\n\n

Corollaire<\/span> : Existence de bases orthonorm\u00e9es dans le cas euclidien<\/strong><\/p>\n

Tout espace euclidien admet des bases orthonorm\u00e9es<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9monstration<\/strong> :<\/p>\n\n\n\n\nSoit \"(f_1,...,f_n)\" une base de \"E\". On applique le proc\u00e9d\u00e9 d\u2019orthonormalisation de Gram-Schmidt \u00e0 cette famille libre.\n
\nOn note \"(e_1,...,e_n)\" la famille obtenue. Par construction, elle est orthonormale, donc libre. De plus,\n

  <\/span>   <\/span>\"\[$Vect(e_1,...,e_n)=Vect(f_1,...,f_n)=E,\]\"<\/p>\n
\nDonc \"(e_1,...,e_n)\" est g\u00e9n\u00e9ratrice : c’est une base orthonorm\u00e9e de \"E\".\n\n\n\n

Corollaire<\/span> :<\/strong><\/p>\n

Toute famille orthonorm\u00e9e d’un espace euclidien peut \u00eatre compl\u00e9t\u00e9e en une base orthonorm\u00e9e de E.<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"(e_1,...,e_r)\" une famille orthonorm\u00e9e d\u2019un espace euclidien \"E\". Cette famille \u00e9tant libre, on la compl\u00e8te en une base de E, disons \"(e_1,...,e_r,e^*_{r+1},...,e^*_n)\" .\nOn applique le proc\u00e9d\u00e9 d\u2019orthonormalisation de Gram-Schmidt. On notera que le proc\u00e9d\u00e9 ne change pas les vecteurs \"e_1,...,e_r\" car la famille \"(e_1,...,e_r)\" est orthonorm\u00e9e.\nLa famille \"(e_1,...,e_r ,e_{r+1},...,e_n)\" obtenue est une base orthonorm\u00e9e de \"E\" .\n\n\n\n

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\u261d\ufe0f Proposition<\/span> : Expression du produit scalaire dans une base orthonorm\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"E\" un espace euclidien dont on note \"(e_1,...,e_n)\" une base orthonorm\u00e9e.\n
\nPour tout \"(x=\sum_{i=1}^n x_{i}e_{i}, y=\sum_{i=1}^n y_{i}e_{i}) \in ExE\", on a \n\"\langle (x,y) \rangle =\sum_{i=1}^n x_{i}y_{i}\" et \"||x||^2= \sum_{i=1}^n x^2_i\".\n\n\n\n

Remarque :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nCette proposition assure que dans une base orthonorm\u00e9e le calcul du produit scalaire et de la norme se fait comme dans \"\mathbb{R}^n\" muni de son produit scalaire usuel.\n\n\n\n

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\"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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