{"id":236570,"date":"2022-07-08T14:57:12","date_gmt":"2022-07-08T12:57:12","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=236570"},"modified":"2024-08-28T22:42:06","modified_gmt":"2024-08-28T20:42:06","slug":"exercice-espace-vectoriel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/exercice-espace-vectoriel\/","title":{"rendered":"Exercice : espaces vectoriels"},"content":{"rendered":"\n

Tu cherches un exercice sur les espaces vectoriels<\/strong> ? C’est ton jour de chance, car nous t’en proposons m\u00eame deux, avec leur corrig\u00e9 bien s\u00fbr ! Gr\u00e2ce aux Sherpas, obtiens 20 sur 20 \u00e0 ta prochaine interro de math\u00e9matiques !<\/p>\n\n\n\n

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Exercices d’application sur les espaces vectoriels<\/h2>\n\n\n\n

Exercice 1<\/span> :<\/strong> Espace vectoriel<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udcaa Difficult\u00e9 : niveau 1\/3<\/p>\n\n\n\n

Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels.<\/p>\n\n\n\n\n1. \"E_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3, x=y=z\}\";\n
2. \"E_2 = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C}), \forall x\in\mathbb{R}, f(x)=f(2x)\}\";\n
3. \"E_3 = \{u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=3nu_{n+1}+n^2u_n\}\";\n
4. \"E_4 = \{(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0\}\";\n
5. \"E_5 = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R}), \int_{-1}^1 f(t) \text{d}t = 0 \}\".\n\n\n\n

Exercice 2<\/span> : <\/strong>Espace vectoriel<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udcaa Difficult\u00e9 : niveau 2\/3<\/p>\n\n\n\n\nSoient \"E\" un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel et \"F\" et \"G\" deux sous-espaces vectoriels de \"E\".\n
Montrer que \"F \cup G\" est un sous-espace vectoriel de \"E\" si, et seulement si, \"F \subset G\" ou \"G \subset F\".\n\n\n\n

Corrig\u00e9s des exercices d’application sur les espaces vectoriels<\/h2>\n\n\n\n

Exercice 1<\/span> : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\n1. Soit \"(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\". Le vecteur \"(x,y,z)\" appartient \u00e0 \"E_1\" si, et seulement si, \"(x,y,z) = x.(1,1,1)\". Donc, \"E_1 = Vect((1,1,1))\" et \"E_1\" est un sous-espace vectoriel de \"\mathbb{R}^3\".\n
Ainsi, \"E_1\" est un espace vectoriel.\n\n
\n
2. On a \"E_2 \subset \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})\" et \"\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})\" est un \"\mathbb{C}\"-espace vectoriel.\n
La fonction nulle, not\u00e9e \"\tilde{0}\", est continue sur \"\mathbb{R}\" et v\u00e9rifie, pour tout \"x \in \mathbb{R}\", \"\tilde{0}(x) = 0 = \tilde{0}(2x)\". Donc, \"\tilde{0} \in E_2\".\n
Soient \"(f,g) \in E_2 \times E_2\" et \"\lambda \in \mathbb{C}\". La fonction \"\lambda.f+g\" est continue comme combinaison lin\u00e9aire de fonctions continues.\n
De plus, comme \"(f,g)\in E_2 \times E_2\", pour tout \"x \in \mathbb{R}\", on a :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(\lambda.f+g)(x)=\lambda f(x)+g(x)=\lambda f(2x)+g(2x)=(\lambda.f+g)(2x).\]\"<\/p>\nDonc, \"\lambda.f+g \in E_2\".\n
D’o\u00f9, \"E_2\" est un sous-espace vectoriel de \"\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})\" et est donc un espace vectoriel.\n\n
\n
3. On a \"E_3 \subset \mathbb{R}^\mathbb{N}\" et \"\mathbb{R}^\mathbb{N}\" est un \"\mathbb{R}\"-espace vectoriel.\n
La suite \"w=(0)_{n \in \mathbb{N}}\" v\u00e9rifie, pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"w_{n+2} = 0 = 3nw_{n+1} + n^2 w_n\". Donc, \"w \in E_3\". Soient \"(u,v) \in E_3 \times E_3\" et \"\lambda \in \mathbb{R}\".\n
D’o\u00f9, \"E_3\" est un sous-espace vectoriel de \"\mathbb{R}^\mathbb{N}\" et est donc un espace vectoriel.\n\n
\n
4. On a \"E_4 \subset \mathbb{R}^\mathbb{N}\" et \"\mathbb{R}^\mathbb{N}\" est un espace vectoriel.\n
La suite nulle converge vers 0, donc, \"w \in E_4\".\n
Soient \"(u,v) \in E_4 \times E_4\" et \"\lambda \in \mathbb{R}\".\n
La suite \"\lambda.u+v\" converge comme combinaison lin\u00e9aire de suites convergentes et :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim\limits_{n \to +\infty} \lambda u_n + v_n = \lambda \lim\limits_{n \to +\infty} u_n + \lim\limits_{n \to +\infty} \lambda v_n= 0\]\"<\/p>\nDonc, \"\lambda.u+v \in E_4\".\n
D’o\u00f9, \"E_4\" est un sous-espace vectoriel de \"\mathbb{R}^\mathbb{N}\" et est donc un espace vectoriel.\n\n
\n
5. On a \"E_5 \subset \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\" et \"\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\" est un espace vectoriel.\n
La fonction nulle, not\u00e9e \"\tilde{0}\", est continue sur \"\mathbb{R}\" et v\u00e9rifie, \"\int_{-1}^1 \tilde{0}(t) \text{d}t = 0\". Donc, \"\tilde{0} \in E_5\".\n
Soient \"(f,g) \in E_5 \times E_5\" et \"\lambda \in \mathbb{R}\". La fonction \"\lambda.f+g\" est continue comme combinaison lin\u00e9aire de fonctions continues.\n
De plus, par lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9grale, \"\int_{-1}^1 \lambda.f+g(t) \text{d}t = \lambda \int_{-1}^1 f(t) \text{d}t + \int_{-1}^1 g(t) \text{d}t = 0\".\n
Donc, \"\lambda.f+g \in E_5\".\n
D’o\u00f9, \"E_5\" est un sous-espace vectoriel de \"\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{C})\" et est donc un espace vectoriel.\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

Exercice 2<\/span> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nOn raisonne par double implication.\n
(\"\Leftarrow\") L’implication r\u00e9ciproque est claire. En effet, si \"F \subset G\" ou \"G \subset F\", alors \"F \cup G = F\". Dans les deux cas, \"F \cup G\" est un sous-espace vectoriel de \"E\".\n
(\"\Rightarrow\") Pour l’implication directe, on raisonne par contrapos\u00e9e : on suppose que \"F \not\subset G\" et \"G \not\subset F\".\n
Il existe alors \"u \in F\" tel que \"u \notin G\" et \"v \in G\" tel que \"v \notin F\".\n
On a \"u \in F \cup G\" et \"v \in F \cup G\". Montrons que \"u+v \notin F \cup G\" :\n

  • si \"u+v \in F\", alors, comme \"F\" est un sous-espace vectoriel de \"E\", \"v=(u+v)-u \in F\", ce qui n’est pas;<\/li>\n
  • si \"u+v \in G\", alors, comme \"G\" est un sous-espace vectoriel de \"E\", \"u=(u+v)-v \in G\", ce qui n’est pas.<\/li>\nDonc \"u+v \notin F \cup G\".\n
    On en d\u00e9duit que \"F \cup G\" n’est pas stable par combinaison lin\u00e9aire et n’est donc pas un sous-espace vectoriel de \"E\".\n\n\n\n
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    \"livre<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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