{"id":236430,"date":"2022-06-13T17:15:02","date_gmt":"2022-06-13T15:15:02","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=236430"},"modified":"2024-08-28T22:46:04","modified_gmt":"2024-08-28T20:46:04","slug":"quest-ce-quun-produit-scalaire","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/quest-ce-quun-produit-scalaire\/","title":{"rendered":"Qu’est-ce qu’un produit scalaire ?"},"content":{"rendered":"\n

Vous travaillez actuellement sur la notion de produit scalaire<\/strong> ? Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours d\u00e9di\u00e9 \u00e0 la notion Qu’est-ce qu’un produit scalaire ?<\/strong>, ma\u00eetrisez tous les \u00e9l\u00e9ments li\u00e9s \u00e0 cette notion gr\u00e2ce \u00e0 des m\u00e9thodologies compl\u00e8tes !<\/p>\n

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Produit scalaire<\/h2>\n\n\n\n

D\u00e9finition : Produit scalaire<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nSoit \"\varphi : E \times E \to \mathbb{R}\" une application. On dit que \"\varphi\" est un produit scalaire sur \"E\" si :
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  • \"\varphi\" est lin\u00e9aire \u00e0 gauche : pour tout \"y \in E\", \"x \mapsto \varphi \left( x, y \right)\" est lin\u00e9aire ; <\/li>\n
  • \"\varphi\" est lin\u00e9aire \u00e0 droite : pour tout \"x \in E\", \"y \mapsto \varphi \left( x, y \right)\" est lin\u00e9aire ; <\/li>\n
  • \"\varphi\" est sym\u00e9trique : pour tout \"\left( x, y \right) \in E^2\", \"\varphi \left( x, y \right) = \varphi \left( y , x \right)\" ; <\/li>\n
  • \"\varphi\" est positive : pour tout \"x \in E\", \"\varphi \left( x, x \right) \ge 0\" ; <\/li>\n
  • \"\varphi\" est d\u00e9finie : pour tout \"x \in E\", \"\varphi \left( x, x \right) = 0\" si, et seulement si, \"x=0\". <\/li>\n\n\n\n

    Remarque<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • Par lin\u00e9arit\u00e9 \u00e0 gauche et \u00e0 droite, pour tout \"x\in E\", \"\langle 0,x\rangle=0\" et \"\langle x,0\rangle=0\". <\/li>\n
  • Si une application est sym\u00e9trique, alors la lin\u00e9arit\u00e9 \u00e0 gauche et \u00e0 droite sont \u00e9quivalentes. <\/li>\n\n\n\n

    Exemples<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\n Les exemples suivants sont fondamentaux et \u00e0 conna\u00eetre.
    \n

  • Le produit scalaire canonique sur \"E = \mathbb{R}^n\" est d\u00e9fini par :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall \left( x, y \right) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n, \quad \varphi \left( x , y \right) = \sum_{k=1}^n x_k y_k,~où~ x=(x_1,\dots,x_n)~et~y=(y_1,\dots,y_n).\]\"<\/p>\nEn notant \"X\" (resp. \"Y\") la matrice de \"x\" (resp. de \"y\") dans la base canonique de \"\mathbb{R}^n\", on a \"\varphi(x,y)={}^t\!X Y\". <\/li>\n

  • Si \"E = \mathcal C^0 \left( \left[ a , b \right] , \mathbb{R} \right)\", l’application \"\varphi\" d\u00e9finie par :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall \left( f , g \right) \in \mathcal C^0 \left( \left[ a , b \right] , \mathbb{R} \right) \times \mathcal C^0 \left( \left[ a , b \right] , \mathbb{R} \right), \quad \varphi \left( f, g \right) = \int_a^b f \left( t \right) g \left( t \right) \mathrm{d}t\]\"<\/p> est un produit scalaire sur \"\mathcal C^0 \left( \left[ a , b \right] , \mathbb{R} \right)\". <\/li>\n

  • Si \"E = \mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{R} \right)\", l’application \"\varphi\" d\u00e9finie par \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall \left( A , B \right) \in \mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{R} \right) \times \mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{R} \right) , \quad \varphi \left( A , B \right) = \mathrm{tr} \left( {}^t\!A B \right)\]\"<\/p>\nest un produit scalaire sur \"\mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{R} \right)\".
    \nEn notant \"A=(a_{i,j})_{\substack{1\leq i\leq n \\ 1\leq j \leq p}}\" et \"B=(b_{i,j})_{\substack{1\leq i\leq n \\ 1\leq j \leq p}}\", on a :\n\"\displaystyle\varphi \left( A , B \right) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^pa_{i,j}b_{i,j}.\" <\/li>\n

  • Si \"E = \mathbb{R}_n \left[ X \right]\", l’application \"\varphi\" d\u00e9finie par \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall \left( P , Q \right) \in \mathbb{R}_n \left[ X \right]\times \mathbb{R}_n \left[ X \right] , \quad \varphi \left( P , Q \right) = \sum_{k=0}^n P^{\left( k \right)} \left( 0 \right) Q^{\left( k \right)} \left( 0 \right)\]\"<\/p> est un produit scalaire sur \"\mathbb{R}_n \left[ X \right]\". <\/li>\n\n\n\n

    <\/p>\nLe produit scalaire de \"x\" et de \"y\" est rarement not\u00e9 \"\varphi(x,y)\". On le note \"\left\langle x , y \right\rangle\", \"\left( x , y \right)\" ou plus simplement \"x\cdot y\".\n\n\n\n

    Remarque<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nUne r\u00e9currence imm\u00e9diate montre que pour tous \"\left( x_1, \dotsc, x_n \right) \in E^n\" et \"\left( y_1, \dotsc, y_m \right) \in E^m\", on a \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\left\langle \sum_{i=1}^n x_i , \sum_{j=1}^m y_j \right\rangle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \left\langle x_i , y_j \right\rangle.\]\"<\/p>\n\n\n\n

    Conseils m\u00e9thodologiques<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nPour v\u00e9rifier qu’une application \"\varphi\" d\u00e9finie sur \"E \times E\" est un produit scalaire sur \"E\", on v\u00e9rifie les points de la d\u00e9finition.
    \nPour le caract\u00e8re \u00ab d\u00e9finie \u00bb, on utilisera fr\u00e9quemment un argument du type : un polyn\u00f4me est nul lorsqu’il a une infinit\u00e9 de racines ou une fonction continue positive sur un segment d’int\u00e9grale nulle est nulle, etc.\n\n\n\n

    D\u00e9finition : Espace pr\u00e9hilbertien r\u00e9el <\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"E\" un espace vectoriel sur \"\mathbb{R}\" muni d’un produit scalaire. On dit que \"E\" est un espace pr\u00e9hilbertien r\u00e9el.
    \nSi l’on suppose de plus que \"E\" est de dimension finie, \"E\" est alors un espace euclidien.\n\n\n\n

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    \"livre<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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