{"id":236430,"date":"2022-06-13T17:15:02","date_gmt":"2022-06-13T15:15:02","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=236430"},"modified":"2024-08-28T22:46:04","modified_gmt":"2024-08-28T20:46:04","slug":"quest-ce-quun-produit-scalaire","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/quest-ce-quun-produit-scalaire\/","title":{"rendered":"Qu’est-ce qu’un produit scalaire ?"},"content":{"rendered":"\n

Vous travaillez actuellement sur la notion de produit scalaire<\/strong> ? Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours d\u00e9di\u00e9 \u00e0 la notion Qu’est-ce qu’un produit scalaire ?<\/strong>, ma\u00eetrisez tous les \u00e9l\u00e9ments li\u00e9s \u00e0 cette notion gr\u00e2ce \u00e0 des m\u00e9thodologies compl\u00e8tes !<\/p>\n

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Produit scalaire<\/h2>\n\n\n\nD\u00e9finition : Produit scalaire<\/h3>\n\n\n\n
<\/p>\nSoit $\"\varphi : E \times E \to \mathbb{R}\"$ une application. On dit que $\"\varphi\"$ est un produit scalaire sur $\"E\"$ si :
\n
$\"\varphi\"$ est lin\u00e9aire \u00e0 gauche : pour tout $\"y \in E\"$ , $\"x \mapsto \varphi \left( x, y \right)\"$ est lin\u00e9aire ; <\/li>\n
$\"\varphi\"$ est lin\u00e9aire \u00e0 droite : pour tout $\"x \in E\"$ , $\"y \mapsto \varphi \left( x, y \right)\"$ est lin\u00e9aire ; <\/li>\n
$\"\varphi\"$ est sym\u00e9trique : pour tout $\"\left( x, y \right) \in E^2\"$ , $\"\varphi \left( x, y \right) = \varphi \left( y , x \right)\"$ ; <\/li>\n
$\"\varphi\"$ est positive : pour tout $\"x \in E\"$ , $\"\varphi \left( x, x \right) \ge 0\"$ ; <\/li>\n
$\"\varphi\"$ est d\u00e9finie : pour tout $\"x \in E\"$ , $\"\varphi \left( x, x \right) = 0\"$ si, et seulement si, $\"x=0\"$ . <\/li>\n\n\n\n
Remarque<\/h4>\n\n\n\n
<\/p>\n
Par lin\u00e9arit\u00e9 \u00e0 gauche et \u00e0 droite, pour tout $\"x\in E\"$ , $\"\langle 0,x\rangle=0\"$ et $\"\langle x,0\rangle=0\"$ . <\/li>\n
Si une application est sym\u00e9trique, alors la lin\u00e9arit\u00e9 \u00e0 gauche et \u00e0 droite sont \u00e9quivalentes. <\/li>\n\n\n\n
Exemples<\/h4>\n\n\n\n
<\/p>\n Les exemples suivants sont fondamentaux et \u00e0 conna\u00eetre.
\n
Le produit scalaire canonique sur $\"E = \mathbb{R}^n\"$ est d\u00e9fini par :\n
<\/span> <\/span> $\"\[\forall \left( x, y \right) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n, \quad \varphi \left( x , y \right) = \sum_{k=1}^n x_k y_k,~où~ x=(x_1,\dots,x_n)~et~y=(y_1,\dots,y_n).\]\"$ <\/p>\nEn notant $\"X\"$ (resp. $\"Y\"$ ) la matrice de $\"x\"$ (resp. de $\"y\"$ ) dans la base canonique de $\"\mathbb{R}^n\"$ , on a $\"\varphi(x,y)={}^t\!X Y\"$ . <\/li>\n
Si $\"E = \mathcal C^0 \left( \left[ a , b \right] , \mathbb{R} \right)\"$ , l’application $\"\varphi\"$ d\u00e9finie par :\n
<\/span> <\/span> $\"\[\forall \left( f , g \right) \in \mathcal C^0 \left( \left[ a , b \right] , \mathbb{R} \right) \times \mathcal C^0 \left( \left[ a , b \right] , \mathbb{R} \right), \quad \varphi \left( f, g \right) = \int_a^b f \left( t \right) g \left( t \right) \mathrm{d}t\]\"$ <\/p> est un produit scalaire sur $\"\mathcal C^0 \left( \left[ a , b \right] , \mathbb{R} \right)\"$ . <\/li>\n
Si $\"E = \mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{R} \right)\"$ , l’application $\"\varphi\"$ d\u00e9finie par \n
<\/span> <\/span> $\"\[\forall \left( A , B \right) \in \mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{R} \right) \times \mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{R} \right) , \quad \varphi \left( A , B \right) = \mathrm{tr} \left( {}^t\!A B \right)\]\"$ <\/p>\nest un produit scalaire sur $\"\mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{R} \right)\"$ .
\nEn notant $\"A=(a_{i,j})_{\substack{1\leq i\leq n \\ 1\leq j \leq p}}\"$ et $\"B=(b_{i,j})_{\substack{1\leq i\leq n \\ 1\leq j \leq p}}\"$ , on a :\n $\"\displaystyle\varphi \left( A , B \right) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^pa_{i,j}b_{i,j}.\"$ <\/li>\n
Si $\"E = \mathbb{R}_n \left[ X \right]\"$ , l’application $\"\varphi\"$ d\u00e9finie par \n
<\/span> <\/span> $\"\[\forall \left( P , Q \right) \in \mathbb{R}_n \left[ X \right]\times \mathbb{R}_n \left[ X \right] , \quad \varphi \left( P , Q \right) = \sum_{k=0}^n P^{\left( k \right)} \left( 0 \right) Q^{\left( k \right)} \left( 0 \right)\]\"$ <\/p> est un produit scalaire sur $\"\mathbb{R}_n \left[ X \right]\"$ . <\/li>\n\n\n\n
<\/p>\nLe produit scalaire de $\"x\"$ et de $\"y\"$ est rarement not\u00e9 $\"\varphi(x,y)\"$ . On le note $\"\left\langle x , y \right\rangle\"$ , $\"\left( x , y \right)\"$ ou plus simplement $\"x\cdot y\"$ .\n\n\n\n
Remarque<\/h4>\n\n\n\n
<\/p>\nUne r\u00e9currence imm\u00e9diate montre que pour tous $\"\left( x_1, \dotsc, x_n \right) \in E^n\"$ et $\"\left( y_1, \dotsc, y_m \right) \in E^m\"$ , on a \n
<\/span> <\/span> $\"\[\left\langle \sum_{i=1}^n x_i , \sum_{j=1}^m y_j \right\rangle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \left\langle x_i , y_j \right\rangle.\]\"$ <\/p>\n\n\n\n
Conseils m\u00e9thodologiques<\/h4>\n\n\n\n
<\/p>\nPour v\u00e9rifier qu’une application $\"\varphi\"$ d\u00e9finie sur $\"E \times E\"$ est un produit scalaire sur $\"E\"$ , on v\u00e9rifie les points de la d\u00e9finition.
\nPour le caract\u00e8re \u00ab d\u00e9finie \u00bb, on utilisera fr\u00e9quemment un argument du type : un polyn\u00f4me est nul lorsqu’il a une infinit\u00e9 de racines ou une fonction continue positive sur un segment d’int\u00e9grale nulle est nulle, etc.\n\n\n\n
D\u00e9finition : Espace pr\u00e9hilbertien r\u00e9el <\/h3>\n\n\n\n
<\/p>\nSoit $\"E\"$ un espace vectoriel sur $\"\mathbb{R}\"$ muni d’un produit scalaire. On dit que $\"E\"$ est un espace pr\u00e9hilbertien r\u00e9el.
\nSi l’on suppose de plus que $\"E\"$ est de dimension finie, $\"E\"$ est alors un espace euclidien.\n\n\n\n
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$\"livre$ <\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n
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