{"id":236414,"date":"2022-07-08T14:52:36","date_gmt":"2022-07-08T12:52:36","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=236414"},"modified":"2025-09-29T11:56:45","modified_gmt":"2025-09-29T09:56:45","slug":"sous-espaces-vectoriels-supplementaires","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/sous-espaces-vectoriels-supplementaires\/","title":{"rendered":"Sous-espace vectoriel suppl\u00e9mentaire : exercice corrig\u00e9"},"content":{"rendered":"\n

Tu cherches \u00e0 approfondir ta compr\u00e9hension des sous-espaces vectoriels suppl\u00e9mentaires <\/strong>? Nous avons ce qu’il te faut avec deux exercices d\u00e9taill\u00e9s ! Ces exercices sont con\u00e7us pour te transformer en expert des sous-espaces vectoriels suppl\u00e9mentaires et t’assurer une excellente note lors de ton prochain contr\u00f4le !<\/p>\n\n\n\n

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Exercices d’application sur les sous-espaces vectoriels suppl\u00e9mentaires<\/h2>\n\n\n\n

Exercice 1<\/span> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udcaa Difficult\u00e9 : niveau 1\/3<\/p>\n\n\n\n\nOn note \"E=\mathbb{R}^3\", \"F = Vect((1,0,1))\" et \"G = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3, 2x-z = 0\}\".\n
1. Montrer que \"F\" et \"G\" sont des sous-espaces vectoriels de \"E\".\n
2. Montrer que \"F\" et \"G\" sont suppl\u00e9mentaires dans \"E\".\n\n\n\n

Exercice 2<\/span> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udcaa Difficult\u00e9 : niveau 2\/3<\/p>\n\n\n\n\n\"E = \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{K})\", \"F = \{f\in\E, f(\pi)=0\}\" et \"G\" l’ensemble des fonctions constantes. \n
Montrer que \"F\" et \"G\" sont des sous-espaces vectoriels suppl\u00e9mentaires de \"E\".\n\n\n\n

Corrig\u00e9s des exercices d’application sur les sous-espaces vectoriels suppl\u00e9mentaires<\/h2>\n\n\n\n

Exercice 1<\/span> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n1. Comme \"F\" est l’espace vectoriel engendr\u00e9 par la famille \"((1,0,1))\", c’est un sous-espace vectoriel de \"E\".\n
On a \"G\subset\mathbb{R}^3\" et on v\u00e9rifie que \"(0,0,0)\in G\".\n
Soient \"(x_1,y_1,z_1)\in G\", \"(x_2,y_2,z_2)\in G\" et \"\lambda \in \mathbb{R}\".\n
On a \"\lambda.(x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) = (\lambda x_1 + x_2, \lambda y_1 + y_2, \lambda z_1 + z_2)\".\n
De plus, \"2(\lambda x_1 + x_2)-(\lambda z_1 + z_2) = \lambda(2x_1 - z_1)+(2x_2 - z_2) = 0\".\n
Donc, \"\lambda.(x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) \in G\". Ainsi, \"G\" est un sous-espace vectoriel de \"E\".\n
\n
\n2. Soit \"(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\". On proc\u00e8de par analyse-synth\u00e8se.\n
\n
\"\mathbf{Analyse :}\" On suppose qu’il existe \"(u,v) \in F \times G\" tel que \"(x,y,z) = u + v\".\n
Il existe alors \"\lambda \in \mathbb{R}\" tel que \"u = \lambda.(1,0,1)\" et on note \"v=(a,b,c) \in G\". On a alors : \n
\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(x,y,z) = \underbrace{\lambda.(1,0,1)}_{\in F} + \underbrace{(a,b,c)}_{\in G}\]\"<\/p>\n
Or, \"2a-c=0\", d’o\u00f9 \"2x-z=\lambda + 2a - c = \lambda\".\n
Puis, \"a=x-\lambda = -x+z, b=y\" et \"c=-2x+2z\".\n
\n
\"\mathbf{Synthèse :}\" On pose \"u=(2x-z).(1,0,1)\" et \"v=(-x+z, y, -2x+2z)\".\n
On a :\n

  • \"u \in F\" ; <\/li>\n
  • \"v \in G\" car \"2(-x+z)-(-2x+2z) = 0\"; <\/li>\n
  • \"u + v = (x,y,z)\". <\/li>\nDonc, il existe un unique couple \"(u,v) \in F \times G\" tel que \"(x,y,z) = u+v\".\n
    Ceci est vrai pour tout \"(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\". Donc, \"F\" et \"G\" sont suppl\u00e9mentaires dans \"E\".\n\n\n\n

    Exercice 2<\/span> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n

  • On v\u00e9rifie les trois points : \n
    – \"F \subset E\", par d\u00e9finition.\n
    – La fonction nulle appartient bien \u00e0 \"F\".\n
    – Soient \"(f,g) \in F^2\" et \"\lambda \in \mathbb{K}\". Alors : \"(\lambda.f + g)(\pi) = \lambda f(\pi) + g(\pi) = 0\".\n
    \"F\" est un sous-espace vectoriel de \"E\". <\/li>\n
  • On note \"\mathbbm{1}\" la fonction constante \u00e9gale \u00e0 1. On a alors \"G=Vect((\mathbbm{1}))\". Donc, \"G\" est un sous-espace vectoriel de \"E\". <\/li>\n
  • Soit \"f \in E\". On proc\u00e8de par analyse-synth\u00e8se.\n
    \"\mathbf{Analyse :}\" On suppose qu’il existe \"h \in F\" et \"g \in G\" tels que \"f = h + g\".\n
    On sait qu’il existe \"a \in \mathbb{K}\" tel que, pour tout \"x \in \mathbb{R}\", \"g(x)=a\".\n
    Or, \"h(\pi)=0\". Donc, \"a=f(\pi)\". D’o\u00f9 pour tout \"x \in \mathbb{R}\", \"h(x) = f(x)-a = f(x)-f(\pi)\".\n
    \"\mathbf{Synthèse :}\" On d\u00e9finit les fonctions \"h\" et \"g\", pour tout \"x \in \mathbb{R}\", par \"h(x)=f(x)-f(\pi)\" et \"g(x)=f(\pi)\".\n
    On a : \n
    – \"h(x)=f(x)-f(\pi) = 0\", donc \"h \in F\";\n
    – \"g \in G\";\n
    – \"f = h+g\".\n
    Donc, il existe un unique couple \"(h,g) \in F \times G\" tel que \"f = h+g\".\n
    Ceci est vrai pour tout \"f \in E\", donc \"F\" et \"G\" sont suppl\u00e9mentaires dans \"E\".\n\n\n\n
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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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