{"id":236116,"date":"2022-06-22T17:15:48","date_gmt":"2022-06-22T15:15:48","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=236116"},"modified":"2025-09-29T11:24:30","modified_gmt":"2025-09-29T09:24:30","slug":"comprendre-lanalyse-asymptotique-en-mpsi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/comprendre-lanalyse-asymptotique-en-mpsi\/","title":{"rendered":"Comprendre l’analyse asymptotique en MPSI"},"content":{"rendered":"\n

Vous \u00e9tudiez actuellement l’analyse asymptotique<\/strong> en fili\u00e8re MPSI ? Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours sp\u00e9cifiquement con\u00e7u pour comprendre l’analyse asymptotique en MPSI<\/strong>, vous allez acqu\u00e9rir une ma\u00eetrise compl\u00e8te de ce sujet gr\u00e2ce \u00e0 des m\u00e9thodologies \u00e9labor\u00e9es sur mesure !<\/p>\n

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\u00a0<\/p>\n\n\n\n

Relation de comparaison : cas des fonctions<\/h2>\n\n\n\n

<\/p>\nOn suppose que \"I\" est un intervalle de \"\mathbb{R}\" non vide et non r\u00e9duit \u00e0 un point. On consid\u00e8re \"a\" un point ou une extr\u00e9mit\u00e9 (finie ou infinie) de \"I\".
\nDans toute cette partie, \"X\" d\u00e9signe \"I\" ou \"I\setminus\{a\}\". De plus, dans le cas o\u00f9 \"X=I\" et \"a\in I\", on suppose les fonctions continues en \"a\".\n\n\n\n

D\u00e9finition : Relation de domination de l’analyse asymptotique<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nSoient \"f:X\to \mathbb{K}\" et \"g:X\to \mathbb{K}\" des fonctions. On suppose que \"g\" ne s’annule pas au voisinage de \"a\", sauf \u00e9ventuellement en \"a\".
\nOn dit que \"f\" est domin\u00e9e par \"g\" au voisinage de \"a\" lorsque la fonction \"\frac{f}{g}\" est born\u00e9e au voisinage de \"a\".
\nDans ce cas, on note \"f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big)\" et on lit \u00ab \"f\" est un grand O de \"g\" au voisinage de \"a\" \u00bb.\n\n\n\n

Remarques<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\n

  • On suppose que \"X=I\" et que \"a\in I\". \nLorsque \"g\" ne s’annule pas en \"a\" (resp. s’annule en \"a\"), la fonction \"\dfrac{f}{g}\" est d\u00e9finie en \"a\" (resp. n’est pas d\u00e9finie en \"a\"). <\/li>\n
  • Soit \"\lambda\in\mathbb{R}^*\". Si \"f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(\lambda g(x)\big)\", alors \"f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big)\". <\/li>\n
  • On a \"f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(1\big)\" si, et seulement si, \"f\" est born\u00e9e au voisinage de \"a\".
    \nPlus g\u00e9n\u00e9ralement, pour tout \"c\in\mathbb{R}^*\", on a \"f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(c\big)\" si, et seulement si, \"f\" est born\u00e9e au voisinage de \"a\". <\/li>\n\n\n\n

    Exemple<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nLa fonction \"\sin\" est born\u00e9e, donc \"x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)\underset{x\to0}{=}O(x^2)\".\n\n\n\n

    D\u00e9finition : Relation de n\u00e9gligeabilit\u00e9 de l’analyse asymptotique<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"f:X\to \mathbb{K}\" et \"g:X\to \mathbb{K}\". On suppose que \"g\" ne s’annule pas au voisinage de \"a\", sauf \u00e9ventuellement en \"a\".
    \nOn dit que \"f\" est n\u00e9gligeable devant \"g\" au voisinage de \"a\" lorsque \"\dfrac{f(x)}{g(x)}\xrightarrow[x\to a]{} 0\".
    \nDans ce cas, on note \"f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(g(x)\big)\" et on lit \u00ab \"f\" est un petit o de \"g\" au voisinage de \"a\" \u00bb.\n\n\n\n

    Remarques<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • On suppose que \"X=I\" et que \"a\in I\". \nLorsque \"g\" ne s’annule pas en \"a\" (resp. s’annule en \"a\"), la fonction \"\frac{f}{g}\" est d\u00e9finie en \"a\" (resp. n’est pas d\u00e9finie en \"a\"). <\/li> \n
  • Soit \"\lambda\in\mathbb{R}^*\". Si \"f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(\lambda g(x)\big)\", alors \"f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(g(x)\big)\". <\/li> \n
  • On a \"f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(1\big)\" si, et seulement si, \"f(x)\xrightarrow[x\to a]{}0\".
    \nPlus g\u00e9n\u00e9ralement, pour tout \"c\in\mathbb{R}^*\", on a \"f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(c\big)\" si, et seulement si, \"f(x)\xrightarrow[x\to a]{}0\". <\/li>\n\n\n\n

    Exemples<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • Par croissances compar\u00e9es, on a \"\ln(x)\underset{x\to+\infty}{=}o(x)\". <\/li> \n
  • Soient \"(p,q)\in\mathbb{N} ^2\". Si \"p<q\", alors \"x^p \underset{x\to +\infty}{=} o(x^q)\", \"x^p \underset{x\to -\infty}{=} o(x^q)\" et \"x^q \underset{x\to 0}{=} o(x^p)\" <\/li>\n\n\n\n

    Attention !<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nLa notation \"f(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big)\" n’est pas une \u00e9galit\u00e9 entre fonctions. En particulier, il ne faut pas \u00e9crire : si \"f_1(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big)\" et \"f_2(x)\underset{x\to a}{=} O\big(g(x)\big)\", alors \"f_1(x)=f_2(x)\". C’est faux !
    \nCette remarque est \u00e9galement vraie pour \"f(x)\underset{x\to a}{=} o\big(g(x)\big)\".\n\n\n\n

    Th\u00e9or\u00e8me : Croissances compar\u00e9es<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"\alpha\in\mathbb{R}_+^*\" et \"\beta \in\mathbb{R}_+^*\".
    \nOn a : \n

  • \"\big(\ln(x)\big)^\beta \underset{x\to +\infty}{=}o(x^{\alpha})\" et \"x^\beta \underset{x\to +\infty}{=}o(e^{\alpha x})\". <\/li>\n
  • \"\displaystyle \big(|\ln(x)|\big)^\beta \underset{x\to 0^+}{=}o\left(\dfrac{1}{x^{\alpha}}\right)\". <\/li>\n
  • on suppose de plus \"\alpha\in\mathbb{N}\" : \"\displaystyle e^{\beta x} \underset{x\to -\infty}{=}o\left(\frac{1}{x^{\alpha}}\right)\". <\/li>\n\n\n\n
    \n
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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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