{"id":236110,"date":"2022-07-08T14:58:17","date_gmt":"2022-07-08T12:58:17","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=236110"},"modified":"2025-09-29T11:46:11","modified_gmt":"2025-09-29T09:46:11","slug":"definition-d-un-espace-vectoriel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/definition-d-un-espace-vectoriel\/","title":{"rendered":"Qu’est-ce qu’un espace vectoriel ?"},"content":{"rendered":"\n

Si tu cherches la d\u00e9finition d’un espace vectoriel<\/strong>, c’est ici ! Tu trouveras \u00e9galement des propositions math\u00e9matiques de base ainsi que des conseils m\u00e9thodologiques pour r\u00e9ussir ta prochaine interro \u00e0 coup s\u00fbr. Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours, apprends tout ce qu’il y a \u00e0 savoir sur l’espace vectoriel !<\/p>\n\n\n\n

Avant de te lancer dans ton prochain devoir sur les vecteurs, renforce tes connaissances avec l’aide d’un Sherpa expert en math\u00e9matiques<\/a><\/strong>, pour une ma\u00eetrise parfaite. \u2728<\/p>\n\n\n\n\nNB : Dans tout le chapitre, \"\mathbb{K}\" d\u00e9signe le corps \"\mathbb{R}\" ou \"\mathbb{C}\".\n\n\n\n

\ud83d\udccdD\u00e9finition<\/span> : Espace vectoriel<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"E\" ensemble muni : \n

  • d’une loi de composition interne<\/a> not\u00e9e \u00ab\u00a0+\u00a0\u00bb : c’est-\u00e0-dire, une application :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[E \times E \rightarrow E\]\"<\/p>\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(u,v) \mapsto u+v\]\"<\/p>\nCette loi est aussi appel\u00e9e addition.<\/li>\n

  • d’une loi externe not\u00e9e \u00ab\u00a0.\u00a0\u00bb : c’est-\u00e0-dire, une application :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{K} \times E \rightarrow E\]\"<\/p>\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(\lambda,u) \mapsto \lambda.u.\]\"<\/p>\nCette loi est aussi appel\u00e9e multiplication par un scalaire.<\/li>\n
    On dit que (\"E\",+,.) est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel (ou \"\mathbb{K}\"-ev) lorsque :\n

  • (\"E\",+) est un groupe ab\u00e9lien.<\/li>\n
  • La loi \u00ab\u00a0.\u00a0\u00bb est distributive par rapport \u00e0 l’addition de \"E\" :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall (u,v) \in E^2, \lambda.(u+v) = \lambda.u + \lambda.v.\]\"<\/p> <\/li>\n

  • la loi \u00ab\u00a0.\u00a0\u00bb est distributive par rapport \u00e0 l’addition de \"\mathbb{K}\" :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall (\lambda,\mu) \in \mathbb{K}^2, \forall u\in E, (\lambda+\mu.u) = \lambda.u + \mu.u.\]\"<\/p> <\/li>\n

  • Pour tout \"(\lambda,\mu) \in \mathbb{K}^2\" et \"u\in E\", on a : \"(\lambda\times\mu).u = \lambda.(\mu.u)\".<\/li>\n
  • 1 v\u00e9rifie : \"\forall u \in E\", \"1.u = u\".<\/li>\n\n\n\n

    \ud83d\udccdD\u00e9finition<\/span><\/strong> :<\/strong> <\/p>\n\n\n\n\nLes \u00e9l\u00e9ments de \"E\" sont appel\u00e9s vecteurs et les \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{K}\" sont appel\u00e9s scalaires.\n\n\n\n

    Remarques : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\n

  • Pour all\u00e9ger les notations, on \u00e9crit parfois \"E\" au lieu de (\"E\",+,.), et, s’il n’y a pas d’ambigu\u00eft\u00e9 sur le corps \"\mathbb{K}\", on dit que \"E\" est un espace vectoriel.<\/li>\n
  • L’\u00e9l\u00e9ment neutre pour la loi + est not\u00e9 \"0_E\" et est appel\u00e9 \"vecteur\:nul\".<\/li>\n
  • Par d\u00e9finition, (\"E\",+) est un groupe. Pour tout \"x \in E\", il existe donc un unique vecteur \"x' \in E\" tel que \"x+x' = x'+x = 0_E\". On note \"x' = -x\" et on dit que \"x'\" est \"l'opposé\" du vecteur \"x\" (pour la loi +).<\/li>\n
  • Pour x et y deux vecteurs, on note \"x-y = x+(-y)\".<\/li>\n\n\n\n

    Exemple :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nL’ensemble \"\mathbb{R}^2\" des couples \"(x_1,x_2)\" de r\u00e9els \"x_1\" et \"x_2\" est muni des op\u00e9rations suivantes : pour tous vecteurs \"(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2\" et \"(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2\", et tout scalaire \"\lambda \in \mathbb{R}\",\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(x_1,x_2) + (y_1,y_2) = (x_1+y_1,x_2+y_2)\enspace et\enspace \lambda.(x_1,x_2) = (\lambda x_1,\lambda x_2).\]\"<\/p>\nOn v\u00e9rifie alors que \"(\mathbb{R}^2,+,.)\" est un \"\mathbb{R}\"-espace vectoriel et que son vecteur nul est = \"0_{\mathbb{R}^2} = (0,0)\".\n\n\n\n

    \ud83d\udca1Conseils m\u00e9thodologiques<\/span> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nLa notion d’espace vectoriel est une notion abstraite. Pour se l’approprier et comprendre les concepts, on s’appuie largement sur des illustrations dans \"\mathbb{R}^2\", ou dans \"\mathbb{R}^3\".\n\n\n\n

    Exemple<\/strong> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Le sch\u00e9ma suivant illustre l’associativit\u00e9 de l’addition de \"E\".<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Le sch\u00e9ma suivant illustre la distributivit\u00e9 de la multiplication externe par rapport \u00e0 l\u2019addition de \"E\".<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    \u261d\ufe0fProposition<\/span> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit (\"E\",+,.) un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel. Pour tous \"u\in E\" et \"\lambda \in \mathbb{K}\", on a :\n

  • \"0.u = 0_E\" ;<\/li>\n
  • \"\lambda.0_E = 0_E\" ;<\/li>\n
  • \"(-\lambda).u = \lambda.(-u) = -\lambda.u\" ;<\/li> \n
  • \"\lambda.u = 0_E\" si, et seulement si, \"\lambda = 0\" ou \"u=0_E\". <\/li>\n\n\n\n\n
  • Par distributivit\u00e9, on a : \"0.u = (0+0).u = 0.u + 0.u\". Donc, en ajoutant \"-0.u\" de part et d’autre de l’\u00e9galit\u00e9, il vient \"0.u = 0_E\". <\/li>\n
  • Par distributivit\u00e9, on a : \"\lambda.0_E = \lambda.(0_E+0_E) = \lambda.0_E + \lambda.0_E\". Donc, en ajoutant \"-\lambda.0_E\" de part et d’autre de l’\u00e9galit\u00e9, il vient \"\lambda.0_E = 0_E\". <\/li>\n
  • On a : \"(-\lambda).u + \lambda.u = (-\lambda + \lambda).u = 0.u = 0_E\". Donc, par unicit\u00e9 de l’oppos\u00e9, \"(-\lambda).u = -\lambda.u\".\n
    L’\u00e9galit\u00e9 \"\lambda.(-u) = \lambda.u\" se montre de la m\u00eame mani\u00e8re.<\/li>\n
  • L’implication r\u00e9ciproque est une cons\u00e9quence des deux premiers points.\n
    Montrons l’implication directe. On suppose que \"\lambda.u = 0_E\".\n
    – Cas 1 : \"\lambda = 0\". Il n’y a rien \u00e0 faire.\n
    – Cas 2 : \"\lambda \ne 0\". On a \"u = \frac{\lambda}{\lambda}.u = \frac{1}{\lambda}.(\lambda.u) = \frac{1}{\lambda}.0_E\". Donc, \"u=0_E\".\n\n\n\n
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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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