{"id":235924,"date":"2022-04-28T17:08:04","date_gmt":"2022-04-28T15:08:04","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=235924"},"modified":"2025-09-29T11:30:35","modified_gmt":"2025-09-29T09:30:35","slug":"exercice-corrige-matrice-inverse","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/exercice-corrige-matrice-inverse\/","title":{"rendered":"Exercice corrig\u00e9 : matrice inverse"},"content":{"rendered":"\n

Pour \u00eatre s\u00fbr d’avoir bien compris ce qu’est une matrice inverse<\/strong>, il est indispensable de s’entra\u00eener en faisant des exercices<\/strong>. Ici, tu trouveras des exercices de diff\u00e9rents niveaux ainsi que leur correction, de quoi devenir un vrai pro des math\u00e9matiques ! Deviens incollable sur la notion de matrice inverse <\/strong>!<\/p>\n\n\n\n

Les exercices sur les matrices inverses te paraissent ardus ? Simplifie-les avec un cours particulier de maths en ligne<\/a><\/strong> sur-mesure. \ud83e\uddee<\/p>\n\n\n\n

Exercices d’application : Matrice inverse<\/h2>\n\n\n\n

Exercice 1<\/span><\/strong> : <\/p>\n\n\n\n

\u23f0 Dur\u00e9e : 10 min<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udcaa Difficult\u00e9 : niveau 1\/3<\/p>\n\n\n\n

Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leur inverse : <\/p>\n\n\n\n

\n
\n

<\/p>\n1. \"A=\begin{pmatrix}\n<\/div>\n\n\n\n

\n

<\/p>\n2. \"B=\begin{pmatrix}\n<\/div>\n\n\n\n

\n

<\/p>\n3. \"C=\begin{pmatrix}\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

Exercice 2<\/span><\/strong> :<\/p>\n\n\n\n

\u23f0 Dur\u00e9e : 20 min<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udcaa Difficult\u00e9 : niveau 3\/3<\/p>\n\n\n\n

R\u00e9soudre le syst\u00e8me suivant en fonction de la valeur prise par le param\u00e8tre \"\lambda \in \mathbb{R}\".<\/p>\n\n\n\n\n\"\left \{\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

Corrig\u00e9s des exercices d’application sur les matrices inverses<\/h2>\n\n\n\n

Exercice 1<\/span> <\/strong>: <\/p>\n\n\n\n

On applique pour chaque matrice la m\u00e9thode de Gauss-Jordan.<\/p>\n\n\n\n\n\"1.\:A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}\n
\n
\"2.\:B^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix}\n
\n
\"3.\" La matrice C est inversible si et seulement si \"|\alpha| \ne 1\" et \"C^{-1} = \frac{1}{1-|\alpha|^2} \begin{pmatrix}\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

Exercice 2<\/strong><\/span> :<\/p>\n\n\n\n\nSoit \"\lambda \in \mathbb{R}\" :\n
\n
\"\left \{\n
\n
\"\Longleftrightarrow \left \{\n
\n
\"\Longleftrightarrow \left \{\n
\n
\"\Longleftrightarrow \left \{\n
\n
On va choisir \"3-2\lambda\" comme pivot, cependant il est INTERDIT de choisir un pivot qui s’annule et \"3-2\lambda = 0\" pour \"\lambda = \frac{3}{2}\". On va donc s\u00e9parer deux cas : \n

  • On suppose que \"\lambda = \frac{3}{2}\". Alors : \n
    \"\left \{\n
    \n
    On en d\u00e9duit que le syst\u00e8me est de Cramer et que la seule solution est le triplet \"(0,0,0)\".<\/li>\n
  • Supposons maintenant que \"\lambda \in \mathbb{R}\backslash \{\frac{3}{2}\}\", on choisit \"3-2\lambda\" comme pivot : \n
    \"\left \{\n
    \n
    \"\Longleftrightarrow \left \{\n
    \n
    Le syst\u00e8me est de Cramer si, et seulement si, ses pivots sont tous non nuls. On sait d\u00e9j\u00e0 que pour tout \"\lambda \ne \frac{3}{2}\" les deux premiers pivots sont non nuls. On va r\u00e9soudre : \n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n
    Pour cela factorisons le polyn\u00f4me \"P = X^3 - 3X^2 + \frac{3}{2}X + \frac{11}{2}\".\n
    \"-1\" est une racine \u00e9vidente. Donc il existe \"a, b\" et \"c\" trois r\u00e9els tels que : \n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\nAinsi :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n
    Par identification des coefficients, on a : \"a= 1, b= -4, c=\frac{11}{2}.\"\n
    \n
    Alors : \n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n
    Or le polyn\u00f4me \"X^2-4X+\frac{11}{2}\" n’admet aucune racine r\u00e9elle (discriminant n\u00e9gatif). Donc l’\u00e9quation \"\lambda^3-3\lambda^2+\frac{3}{2}\lambda+\frac{11}{2} = 0\" n’admet que \"-1\" comme solution r\u00e9elle.\n
    Pour tout \"\lambda \in \mathbb{R}\backslash \{-1,\frac{3}{2}\}\" le syst\u00e8me est de Cramer et admet une unique solution : \"(0,0,0)\".\n
    Regardons ce qu’il se passe pour \"\lambda=-1\" :\n
    \n
    \"\left \{\n
    \n
    Dans ce cas il y a donc une infinit\u00e9 de solutions et l’ensemble solution sera : \n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p><\/li>\n\n\n\n

    Passe ma\u00eetre dans l’art de trouver la matrice inverse avec l’aide d’un soutien scolaire en maths<\/a><\/strong> assur\u00e9 par l’un de nos professeurs particuliers. \ud83d\udd0d<\/p>\n\n\n\n

    \n
    \n
    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    \n
    <\/div>\n
    \n

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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    <\/div>\n <\/div>\n
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    <\/div>\n <\/div>\n
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    <\/div>\n <\/div>\n
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    <\/div>\n <\/div>\n
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    <\/div>\n <\/div>\n
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    \n 2.7\/5 - (11 votes) <\/div>\n <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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