{"id":235731,"date":"2022-03-30T17:07:16","date_gmt":"2022-03-30T15:07:16","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=235731"},"modified":"2025-01-16T13:58:44","modified_gmt":"2025-01-16T12:58:44","slug":"fonction-derivee","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/fonction-derivee\/","title":{"rendered":"Fonction d\u00e9riv\u00e9e exercices corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"\n

Vous travaillez actuellement sur la fonction d\u00e9riv\u00e9e<\/strong> ? Avec cet article d\u00e9di\u00e9, comprenant des exercices corrig\u00e9s, vous allez rapidement assimiler toutes les notions cl\u00e9s de ce sujet.<\/p>\n

Pour encore plus de ma\u00eetrise, d\u00e9couvre des m\u00e9thodes suppl\u00e9mentaires avec un cours de soutien scolaire en maths<\/strong><\/a>\u00a0et prends une longueur d’avance sur les fonctions d\u00e9riv\u00e9es<\/strong>. \ud83d\ude80<\/p>\n\n\n\n

Exercice 1 : Fonction d\u00e9riv\u00e9e<\/h2>\n\n\n\n

\u23f0 Dur\u00e9e : 10 min<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udcaa Difficult\u00e9 : niveau 1\/3<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\nSoit \"f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}\" la fonction d\u00e9finie par \"\displaystyle f(x) = x^2 \left\lfloor\dfrac{1}{x}\right\rfloor\".
\n1. Prolonger \"f\" par continuit\u00e9 en 0. On note encore \"f\" le prolongement obtenu.
\n2. \u00c9tudier la d\u00e9rivabilit\u00e9 de \"f\" en 0.\n\n\n\n

Corrig\u00e9 de l’exercice<\/h2>\n\n\n\n

<\/p>\n1. Par d\u00e9finition de la partie enti\u00e8re, pour tout \"x\neq 0\", on a : \"x-x^2 < f(x) \leq x\". Donc, par th\u00e9or\u00e8me d’encadrement, \"f(x)\xrightarrow[x\to0]{}0\in\mathbb{R}\".
\nDonc, \"f\" est prolongeable par continuit\u00e9 en 0 et on pose \"f(0)=0\".
\n2. Pour tout \"x\neq 0\", on a \"\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= x \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor\".
\nSi \"x<0\", on a comme dans la question 1, \"1-x < f(x) \leq 1\".
\nDonc, par th\u00e9or\u00e8me d’encadrement, \"\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \xrightarrow[x\to 0^-]{}1\".
\nSi \"x>0\", de m\u00eame, on a \"1-x > f(x) \geq 1\", puis, par th\u00e9or\u00e8me d’encadrement, \"\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \xrightarrow[x\to 0^+]{}1\".
\nDonc, \"\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \xrightarrow[x\to 0]{}1\in\mathbb{R}\". On en d\u00e9duit que \"f\" est d\u00e9rivable en 0 et \"f'(0)=1\".\n\n\n\n

Exercice 2 : Fonction d\u00e9riv\u00e9e<\/h2>\n\n\n\n

Exercice 2<\/span><\/strong> :<\/p>\n\n\n\n

\u23f0 Dur\u00e9e : 45 min<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udcaa Difficult\u00e9 : niveau 1\/3<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\nJustifier que les fonctions suivantes sont de classe \"\mathcal{C}^{\infty}\" sur un (ou des) intervalle(s) \u00e0 pr\u00e9ciser puis calculer leurs d\u00e9riv\u00e9es d’ordre \"n\", pour tout \"n\in\mathbb{N}\" :
\n1. \"f:x\mapsto \dfrac{1}{1-x^2}\";
\n2. \"g:x\mapsto \cos(x)e^x\";
\n3. \"h:x\mapsto \big(\sin(x)\big)^3\";\n\n\n\n

Corrig\u00e9 de l’exercice<\/h2>\n\n\n\n

<\/p>\n1. La fonction \"f\" est rationnelle donc de classe \"\mathcal{C}^{\infty}\" sur \"]-\infty,-1[\", \"]-1,1[\" et \"]1,+\infty[\". Dans la suite, \"I\" d\u00e9signe un de ces intervalles.\\\\\nOn d\u00e9compose en \u00e9l\u00e9ments simples \"f\" : pour tout \"x\in I\",\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f(x)=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right).\]\"<\/p>\n\nOn note \"\displaystyle f_1(x)=\frac{1}{1-x}\" et \"\displaystyle f_2(x)=\frac{1}{1+x}\". Les fonctions \"f_1\" et \"f_2\" sont de classe \"\mathcal{C}^\infty\" comme fonctions rationnelles dont le d\u00e9nominateur ne s’annule pas sur \"I\".
\n\nOn montre ensuite par r\u00e9currence, que pour tout \"n\in\N\" et , pour tout \"x\in I\", \"\displaystyle f_1^{(n)}(x)= \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\" et \"\displaystyle f_2^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}\".
\n\n\nDonc, pour tout \"x\in I\",\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f^{(n)}= \frac{1}{2} \left(\frac{n!}{(1-x)^{n+1}} +\frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}\right)= \frac{n!}{2} \times \frac{(1+x)^{n+1}+(-1)^n\times (1-x)^{n+1}}{(1-x^2)^{n+1}}.\]\"<\/p>
\n2. La fonction \"g\" est de classe \"\mathcal{C}^{\infty}\" sur \"\mathbb{R}\" comme produit de fonctions de classe \"\mathcal{C}^{\infty}\".
\nOn remarque que, pour tout \"x\in \mathbb{R}\", \"g(x)= \Re(\varphi(x))\" o\u00f9 \"\varphi(x)= e^{(1+\i) x}\".
\nOn sait que la fonction \"\varphi\" est de classe \"\mathcal{C}^{\infty}\" sur \"\mathbb{R}\" et, pour tout \"n\in\mathbb{N}\", \n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x \in \mathbb{R},\,\,g^{(n)}(x)= \Re\big(\varphi^{(n)}(x)\big).\]\"<\/p>\nDe plus, pour tout \"n\in\mathbb{N}\",\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x \in \mathbb{R},\,\varphi^{(n)}(x)=(1+\i)^n e^{(1+\i) x} .\]\"<\/p>\nOr, \"\displaystyle (1+\i)^n=\sqrt{2}^n\left(e^{\i\frac{\pi}{4}}\right)^n=\sqrt{2}^ne^{\i\,\frac{n\pi}{4}}\".\nDonc,\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n \in \mathbb{N},\quad \forall x \in \mathbb{R},\, \varphi^{(n)}(x)= \sqrt{2}^n e^{\i\left(\frac{n\pi}{4}+x\right)}e^x \quad\text{ et } \quad g^{(n)}(x)=\sqrt{2}^n \cos\left(\frac{n\pi}{4}+x\right)e^{x}.\]\"<\/p>
\n3. Ici, on lin\u00e9arise (formule d’Euler) :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in \mathbb{R}, \quad \sin(x)^3= -\frac{\sin(3 x)}{4} + \frac{3\sin(x)}{4} .\]\"<\/p>\nPour tout \"x\in\mathbb{R}\", on pose \"h_1(x)= \sin(x)\", et \"h_2(x)=\sin(3 x)\". On a alors, pour tout \"x\in\mathbb{R}\", \"h_2(x)=h_1(3 x)\".
\n\nOn sait que \"h_2\" est de classe \"\mathcal{C}^{\infty}\" sur \"\mathbb{R}\", donc \"h_1\" aussi (compos\u00e9e de fonctions de classe \"\mathcal{C}^\infty\") et, pour tout \"n\in\mathbb{N}\", pour tout \"x\in\mathbb{R}\", \"h_2^{(n)}(x)=3^n h_1^{(n)}(3x)\".
\n\nDe plus, pour tout \"x\in \mathbb{R}\", on a \"h_1(x)=\Im(e^{\i x})\", donc, pour tous \"n\in\mathbb{N}\" et \"x\in\mathbb{R}\" : \n

  <\/span>   <\/span>\"\[h_1^{(n)}(x)= \Im\big(i^ne^{\i x}\big)= \Im\big(e^{\i\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)}\big)=\sin\left(x+ \frac{n\pi}{2}\right).\]\"<\/p>\nAinsi,\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in\mathbb{R}, \quad h^{(n)}(x)=- \frac{ 3^n\sin\left(3 x+ \frac{n\pi}{2}\right)}{4} + \frac{3 \sin\left(x+ \frac{n\pi}{2}\right)}{4} .\]\"<\/p>\n\n\n\n

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\"livre<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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\n Tu as aim\u00e9 cet article ?<\/span>\n <\/div>\n <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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