{"id":235631,"date":"2022-06-22T17:16:15","date_gmt":"2022-06-22T15:16:15","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=235631"},"modified":"2025-10-25T11:40:12","modified_gmt":"2025-10-25T09:40:12","slug":"puissance-d-une-matrice","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/puissance-d-une-matrice\/","title":{"rendered":"Qu’est-ce que la puissance d’une matrice ?"},"content":{"rendered":"\n

Si tu as compris ce qu’\u00e9tait la puissance d’un nombre, alors il n’y a aucune raison que tu ne parviennes pas \u00e0 comprendre ce qu’est la puissance d’une matrice<\/strong>. Dans ce cours, tu trouveras toutes les d\u00e9finitions et les propositions indispensables pour ma\u00eetriser la notion de puissance d’une matrice. Et si malgr\u00e9 tout, les matrices te donnent des maux de t\u00eate, nos professeurs d’alg\u00e8bre<\/a><\/strong> t’accompagneront pour que tu puisses les apprivoiser et les manipuler avec aisance. \ud83e\udde0<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udccdD\u00e9finition<\/span> : Puissance d’une matrice<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"A\" une matrice carr\u00e9e d’ordre \"n\". On d\u00e9finit les puissances successives de \"A\" par : \n

  <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n
Autrement dit, \n

  <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n
Pur tout \"k \in \mathbb{N}\", la matrice \"A^k\" est appel\u00e9e la puissance k-i\u00e8me de \"A\".\n\n\n\n

Exemple<\/strong> : Calculons les puissances de la matrice <\/p>\n\n\n\n\n\"A= \begin{pmatrix}\n
\n
On a : \"A^0 = I_4\", de plus, \n
\n
\"A^2 = \begin{pmatrix} \n\"A^3 = \begin{pmatrix} \n\"A^4 = \begin{pmatrix} \n
\n
Donc, pour tout \"n \geq 4, A^n = 0_4 .\"\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

\ud83d\udccd D\u00e9finition<\/span> : Matrice nilpotente<\/b><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})\". On dit que \"A\" est une matrice nilpotente s’il existe \"p \in \mathbb{N}\" tel que \"A^p = 0\". Le plus petit entier \"p\" v\u00e9rifiant \"A^p = 0\" est appel\u00e9 indice de \"A\".\n\n\n\n

Remarque :<\/strong> Une matrice strictement triangulaire (sup\u00e9rieure ou inf\u00e9rieure) est nilpotente.<\/p>\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

\u261d\ufe0f Proposition<\/span> : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"A = Diag(\lambda_1,...,\lambda_n)\" une matrice diagonale de \"\mathscr{M}_n(\mathbb{K})\". Avec la convention \"0^0 = 1\", on a, pour tout \"k \in \mathbb{N}, A^k = Diag(\lambda_1^k,...,\lambda_n^k)\".\n\n\n\n

D\u00e9monstration : <\/strong>On le prouve par r\u00e9currence sur \"k \in \mathbb{N}\".<\/p>\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

\ud83d\udccdD\u00e9finition<\/span> : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoient \"A = (a_{i,j})_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})\" et \"B = (b_{i,j})_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})\". On dit que \"A\" et \"B\" commutent lorsque \"AB = BA\".\n\n\n\n

Exemple : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\n

  • Soit \"A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})\". On sait que, pour tout \"n \in \mathbb{N}, I_n \times A = A \times I_n\".\n
    Donc, la matrice \"I_n\" commute avec toutes les matrices de \"\mathbb{M}_n(\mathbb{K})\". Plus g\u00e9n\u00e9ralement, les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices de \"\mathbb{M}_n(\mathbb{K})\". <\/li>\n
  • On a montr\u00e9 que deux matrices diagonales commutent.<\/li>\n
  • Par r\u00e9currence, on montre que : si \"A\" et \"B\" commutent, alors \"B\" commute avec toute puissance de \"A\". <\/li>\n
  • Les matrices \"A= \begin{pmatrix} et \"B= \begin{pmatrix} ne commutent pas, en effet : \n
    \n
    \"AB = \begin{pmatrix} et \"BA = \begin{pmatrix}.<\/li>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n

    \u261d\ufe0f Proposition<\/span> : Formule du bin\u00f4me de Newton<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoient \"A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})\" et \"B \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})\" deux matrices qui commutent. Pour tout \"N \in \mathbb{N}\", on a : \n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration : <\/strong>On prouve cette formule par r\u00e9currence sur \"N \in \mathbb{N}\" en utilisant la formule de Pascal.<\/p>\n\n\n

    \n

    \ud83d\udea8ATTENTION \ud83d\udea8<\/p>\n<\/div>\n

    \n

    La commutativit\u00e9 est indispensable, sans l’hypoth\u00e8se “A et B commutent”, on ne peut pas appliquer la formule du bin\u00f4me de Newton !<\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n\n\n\n\nPar exemple, avec \"A= \begin{pmatrix} et \"B= \begin{pmatrix}, on a \n
    \n
    \n\"(A+B)^2 = \begin{pmatrix}\n
    \n
    et \"A^2+2AB+B^2 = \begin{pmatrix}.\n
    \n
    Donc, \"(A+B)^2 \ne A^2 + 2AB + B^2\".\n
    Tout ce qu’on peut \u00e9crire est : \"(A+B)^2 = (A+B)(B+A) = A^2 + AB + BA + B^2\".\n\n\n\n

    Remarque<\/strong> : On sait que les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices de \"\mathscr{M}_n(\mathbb{K})\". Cette remarque peut faciliter le calcul des puissances de matrices.<\/p>\n\n\n\n

    Exemple<\/strong> : <\/p>\n\n\n\n\nSoit \"n \in \mathbb{N}^*\". Calculer la puissance n-i\u00e8me de la matrice : \"A = \begin{pmatrix}.\n
    On pose \"N = \begin{pmatrix} de sorte que \"A = 2I_3 + N\". On peut v\u00e9rifier facilement que la matrice \"N\" est nilpotente d’ordre 3, ainsi : \"\forall n \geq 3, N^n = 0\". Les matrices \"N\" et \"2I_3\" commutent, d’apr\u00e8s la formule du bin\u00f4me de Newton : \n
    \n
    \"\forall n\in\mathbb{N}, (2I_3+N)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}N^k(2I_3)^{n-k} = 2^nI_3+n2^{n-1}N+ \frac{n(n-1)}{2}2^{n-2}N^2\".\n
    \n
    Notons que : \"N^2 = \begin{pmatrix}. \n
    \n
    On en d\u00e9duit que : \"\forall n\in\mathbb{N}\", \"A^n= \begin{pmatrix}.\n\n\n\n

    \ud83d\udccdD\u00e9finition<\/span><\/strong> : <\/p>\n\n\n\n\nSoient \"P \in \mathbb{K}[X]\" tel que \"P= \sum_{k=0}^n a_kX^k\" et \"A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})\".\n
    On d\u00e9finit la matrice \"P(A)\" par :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\nOn dit que \"P\" est un polyn\u00f4me annulateur de \"A\" si \"P(A) = 0_n\".\n\n\n\n

    Exemple<\/strong> : <\/p>\n\n\n\n\nSoit \"M = \begin{pmatrix}. On a : \"M^2 - 5M + 6I_2 = M^2 - 5M + 6M^0 = 0_2\". On en d\u00e9duit que le polyn\u00f4me \"P = X^2 - 5X + 6\" est un polyn\u00f4me annulateur de \"M\".\n\n\n\n

    Un polyn\u00f4me annulateur permet notamment de trouver les puissances d\u2019une matrice (voir dans la partie \u00ab m\u00e9thodes pas \u00e0 pas \u00bb).<\/p>\n\n\n\n

    \n
    \n
    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    \n
    <\/div>\n
    \n

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s<\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) \u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n\n <\/div>\n <\/section>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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    \n Tu as aim\u00e9 cet article ?<\/span>\n <\/div>\n <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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