{"id":235293,"date":"2022-07-07T17:50:27","date_gmt":"2022-07-07T15:50:27","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=235293"},"modified":"2024-08-28T22:42:19","modified_gmt":"2024-08-28T20:42:19","slug":"calcul-de-primitives-exercice-corrige","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/calcul-de-primitives-exercice-corrige\/","title":{"rendered":"Calcul de primitives : exercice corrig\u00e9"},"content":{"rendered":"\n

Vous \u00e9tudiez actuellement un calcul de primitives<\/strong> ? Cet article est sp\u00e9cialement con\u00e7u pour vous aider \u00e0 comprendre et \u00e0 r\u00e9ussir vos exercices sur cette notion essentielle en math\u00e9matiques.<\/p>\n

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Exercice 1 : Calcul de primitives<\/h2>\n\n\n\n

\u23f0 Dur\u00e9e : 20 min<\/p>\n\n\n\n

\ud83d\udcaa Difficult\u00e9 : niveau 2\/3<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\nTrouver les primitives des fonctions \u00e0 valeurs r\u00e9elles suivantes :
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<\/p>\n1. \"f(x)=\e^{x}\sin(x)\";\n<\/div>\n\n\n\n

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<\/p>\n2. \"g(x)=\sqrt{\e^x-1}\";\n<\/div>\n\n\n\n

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<\/p>\n3. \"h(x)=x^2\e^{x}\";\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

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<\/p>\n4. \"i(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+1}\";\n<\/div>\n\n\n\n

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<\/p>\n5. \"j(x)=\dfrac{1}{2x^2+2x-12}\";\n<\/div>\n\n\n\n

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<\/p>\n6. \"k(x)=\dfrac{1}{x^2-2x+5}\".\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

Corrig\u00e9 de l’exercice 1 : Calcul de primitives<\/h2>\n\n\n\n

<\/p>\n1. Pour tout \"x\in\R\", \"f(x)=e^{x}\mathfrak{Im}\left(e^{\i x}\right)=\mathfrak{Im}\left(e^{(1+\i) x}\right)\". Les primitives de la fonction \"x\mapsto e^{(1+\i) x}\" sont les fonctions \"x\mapsto \dfrac{e^{(1+\i) x}}{1+\i}+C\" avec \"C\in\mathbb{C}\". Par cons\u00e9quent, les primitives de \"f\" sont les fonctions \"F\" telles que :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\mathbb{R},\;F(x)=\mathfrak{Im}\left(\dfrac{1}{1+\i}e^{(1+\i) x}+C\right)=-\dfrac{\cos(x)}{2}e^x+\dfrac{\sin(x)}{2}e^x+C,\;C\in\mathbb{R}.\]\"<\/p>
\n2. Commen\u00e7ons par calculer la primitive de \"g\" qui s’annule en \"0\" : \"\displaystyle G(x)=\int_0^x \sqrt{e^t-1}\mathrm{d}t\". \nOn va calculer cette int\u00e9grale en effectuant le changement de variable \"u=\sqrt{e^t-1}\Longleftrightarrow t=\ln(1+u^2)\".
\nOn a : \"\mathrm{d}t=\dfrac{2u}{1+u^2}\mathrm{d}u\". Finalement :\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\mathbb{R},\;G(x)=\int_{0}^{\sqrt{e^x-1}}u \dfrac{2u}{1+u^2}\mathrm{d}u=2\int_{0}^{\sqrt{e^x-1}}\left(1-\dfrac{1}{1+u^2}\right)\mathrm{d}u=2\sqrt{e^x-1}- $ 2\arctan\left(\sqrt{e^x-1}\right) $.\]\"<\/p>\n\nLes primitives recherch\u00e9es sont les fonctions \"\displaystyle x\mapsto 2\sqrt{e^x-1}-2\arctan\left(\sqrt{e^x-1}\right)+ C\" avec \"C\in\mathbb{R}\".
\n3. Pour trouver les primitives de \"h\" on effectue deux int\u00e9grations par parties cons\u00e9cutives. Les primitives recherch\u00e9es sont les fonctions \"x\mapsto (x^2-2x+2)e^x+ C\" avec \"C\in\mathbb{R}\".
\n4. On va essayer de factoriser le d\u00e9nominateur, on remarque qu’il s’agit d’une identit\u00e9 remarquable<\/a> \"x^2+2x+1=(x+1)^2\". La fonction \"i\" est donc sous la forme \"u'/u^n\", les primitives de \"i\" sont les fonctions \"x\mapsto \dfrac{-1}{x+1}+C,\" \"C\in\mathbb{R}\".
\n5. On va factoriser le d\u00e9nominateur. \"x\mapsto 2x^2+2x-12\" est une fonction polynomiale du second degr\u00e9 ayant deux racines r\u00e9elles : \"2\" et \"-3\". On va chercher \"(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\" tel que :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[j(x)=\dfrac{\alpha}{x+3}+\dfrac{\beta}{x-2}.\]\"<\/p>\nEn r\u00e9duisant au m\u00eame d\u00e9nominateur et en identifiant les coefficients, il vient : \n

  <\/span>   <\/span>\"\[\alpha=-\dfrac{1}{10},\;\;\beta=\dfrac{1}{10}.\]\"<\/p>\nFinalement, les primitives de \"j\" sont les fonctions :

  <\/span>   <\/span>\"\[x\mapsto -\dfrac{1}{10}\ln(|x+3|)+\dfrac{1}{10}\ln(|x-2|)+C=\dfrac{1}{10}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right|+C,\;C\in\mathbb{R}.\]\"<\/p>
\n6. Le d\u00e9nominateur n’admet aucune racine r\u00e9elle, on va le r\u00e9\u00e9crire sous forme canonique :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[x^2-2x+5=(x-1)^2+4.\]\"<\/p>\nAinsi :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[k(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2+4}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1/2}{((x-1)/2)^2+1}.\]\"<\/p>\nOn remarque que \"k\" est sous la forme \"\dfrac{u'}{u^2+1}\" dont une primitive est \"\arctan(u)\". Les primitives de \"k\" sont les fonctions :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[x\mapsto \dfrac{1}{2}\arctan\left(\dfrac{x-1}{2}\right)+C,\;C\in\mathbb{R}.\]\"<\/p>\n\n\n\n

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\"livre<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/a><\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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