{"id":234473,"date":"2022-06-23T15:16:52","date_gmt":"2022-06-23T13:16:52","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=234473"},"modified":"2025-10-25T11:36:03","modified_gmt":"2025-10-25T09:36:03","slug":"les-fractions-rationnelles","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/les-fractions-rationnelles\/","title":{"rendered":"Les fractions rationnelles : m\u00e9thode et d\u00e9finition"},"content":{"rendered":"\n

Tu cherches un cours sur les<\/strong> fractions rationnelles<\/strong> ? C’est ici ! Retrouve toutes les d\u00e9finitions et les m\u00e9thodes indispensables autour de cette notion. <\/p>\n\n\n\n

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D\u00e9finitions et g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9s sur les fractions rationnelles <\/h2>\n\n\n\n

D\u00e9finition<\/span> : Fraction rationnelle<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nUne fraction rationnelle \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\" est un quotient de deux polyn\u00f4mes de \"\mathbb{K}[X]\". On note \"\mathbb{K}(X)\" l’ensemble des fractions rationnelles \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\".\n\n\n\n

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Proposition<\/span> : Relation d’\u00e9quivalence<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nOn d\u00e9finit sur \"\mathbb{K}(X)\" la relation binaire \"\mathscr{R}\" par : \npour tous \"\frac {P_1}{Q_1}\" et \"\frac {P_2}{Q_2}\" dans \"\mathbb{K}(X)\" avec \"P_1\", \"Q_1\", \"P_2\", \"Q_2\" quatre polyn\u00f4mes de \"\mathbb{K}[X]\" avec \"Q_1\" et \"Q_2\" non nuls :\n
\n\"\frac{P_1}{Q_1}\" \"\mathscr{R}\" \"\frac{P_2}{Q_2}\" \"\Longleftrightarrow P_1Q_2 = P_2Q_1\".\n
\nAlors, \"\mathscr{R}\" est une relation d’\u00e9quivalence sur \"\mathbb{K}(X)\".\n\n\n\n

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D\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nOn v\u00e9rifie facilement que \"\mathscr{R}\" est r\u00e9flexive, sym\u00e9trique et transitive.\n\n\n\n

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D\u00e9finition<\/span> : \u00c9galit\u00e9 entre deux fractions rationnelles<\/strong> <\/p>\n\n\n\n\nDeux fractions rationnelles sont \u00e9gales si, et seulement si, elles sont dans la m\u00eame classe d’\u00e9quivalence pour la relation d’\u00e9quivalence \"\mathscr{R}\".\n\n\n\n

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Exemple :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n\"\frac{1}{X-1}\", \"\frac{X}{X^2-X}\", \"\frac{X+1}{X^2-1}\" sont des fractions rationnelles \u00e9gales. On dit que ce sont des repr\u00e9sentants de la m\u00eame fraction rationnelle.\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

Remarque :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nL’ensemble des polyn\u00f4mes \"\mathbb{K}[X]\" s’injecte naturellement dans \"\mathbb{K}(X)\" en consid\u00e9rant l’application injective \n
\"\varphi\" : \"\mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}(X)\"\n
\"P \mapsto \frac{P}{1}\"\n\n\n\n

D\u00e9finition<\/span> :<\/strong> <\/p>\n\n\n\n\nSoit \"F \in \mathbb{K}(X)\" et \"P\",\"Q \in \mathbb{K}[X]\". On dit que \"\frac{P}{Q}\" est un repr\u00e9sentant irr\u00e9ductible de \"F\" si \"F=\frac{P}{Q}\" et \"P \wedge Q = 1\".\n\n\n\n

D\u00e9finition<\/span> : Op\u00e9rations<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nOn d\u00e9finit la somme et le produit de deux fractions rationnelles par les formules suivantes : \n
\"\frac{P_1}{Q_1} + \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1Q_2 + P_2Q_1}{Q_1Q_2}\"\n
\"\frac{P_1}{Q_1} \times \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1P_2}{Q_1Q_2}\".\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

Remarque :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nOn v\u00e9rifie facilement que le r\u00e9sultat de la somme ou du produit de deux fractions rationnelles ne d\u00e9pend pas du choix du repr\u00e9sentant dans la classe d’\u00e9quivalence pour la relation d’\u00e9quivalence \"\mathscr{R}\".\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/span> : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nPour l’addition et la multiplication d\u00e9finies ci-dessus, \"(\mathbb{K}(X),+,\times)\" est un corps.\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

D\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nOn v\u00e9rifie chaque point un par un.\n\n\n\n

D\u00e9finition<\/span> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"F = \frac{P}{Q}\" une fraction rationnelle de \"\mathbb{K}(X)\" non nulle. On appelle degr\u00e9 de \"F\" l’entier relatif not\u00e9 \"deg(F)\" d\u00e9fini par : \n

  <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\nPar convention, on pose \"deg0 = -\infty\".\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

Remarque : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nOn montre facilement que la notion de degr\u00e9 d’une fraction rationnelle ne d\u00e9pend pas du choix du repr\u00e9sentant dans la classe d’\u00e9quivalence pour la relation d’\u00e9quivalence \"\mathscr{R}\".\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

Exemple :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n\"deg(\frac{X^3}{X-1}) = 3-1 = 2\", \"deg(\frac{X^3}{X^4-1})= 3-4 = -1\".\n\n\n\n

Proposition<\/span> :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nLes propri\u00e9t\u00e9s sur degr\u00e9 des polyn\u00f4mes restent valables pour les fractions rationnelles : \n

  • \"deg(F_1 + F_2) \leq max\{deg(F_1), deg(F_2)\}\"; <\/li> \n
  • \"deg(F_1F_2) = deg(F_1) + deg(F_2)\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration :<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Se d\u00e9duit directement des propri\u00e9t\u00e9s sur les degr\u00e9s des polyn\u00f4mes.<\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9finition<\/span> : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"F = \frac{P}{Q}\" une fraction rationnelle irr\u00e9ductible de \"\mathbb{K}(X)\".\n

  • Les racines de \"P\" sont appel\u00e9es z\u00e9ros de \"F\"; <\/li> \n
  • Les racines de \"Q\" sont appel\u00e9es p\u00f4les de \"F\". <\/li>\n\n\n\n

    Remarque : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSi \"a\" est une racine de multiplicit\u00e9 \"k\" de \"P\", on dit que \"a\" est un z\u00e9ro de multiplicit\u00e9 \"k\" de \"F\". De la m\u00eame fa\u00e7on, si \"a\" est une racine de multiplicit\u00e9 \"k\" de \"Q\", on dit que \"a\" est un p\u00f4le de multiplicit\u00e9 \"k\" de \"F\".\n\n\n\n

    D\u00e9finition<\/span> : <\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"F = \frac{P}{Q}\" une fraction rationnelle irr\u00e9ductible de \"\mathbb{K}(X)\", on note \"\mathscr{P}\" l’ensemble des p\u00f4les de \"F\". On d\u00e9finit la fonction rationnelle associ\u00e9e \u00e0 \"F\" par : \n
    \n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\nOn note \"\mathbb{K}(x)\" l’ensemble des fonctions rationnelles \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\".\n\n\n\n

    Remarque :<\/strong><\/p>\n\n\n\n \nComme pour les polyn\u00f4mes, on ne fera pas de diff\u00e9rence entre \"\~ F\" et \"F\".\n\n\n\n

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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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