{"id":234243,"date":"2022-07-04T17:19:24","date_gmt":"2022-07-04T15:19:24","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=234243"},"modified":"2025-09-29T11:56:11","modified_gmt":"2025-09-29T09:56:11","slug":"equation-diophantienne","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/equation-diophantienne\/","title":{"rendered":"M\u00e9thode : r\u00e9soudre une \u00e9quation diophantienne"},"content":{"rendered":"\n

Dans cet article, nous te pr\u00e9sentons la m\u00e9thode pour r\u00e9soudre une \u00e9quation diophantienne<\/strong> rapidement et simplement. Autrement dit, voil\u00e0 la cl\u00e9 pour briller lors de ta prochaine interro de math\u00e9matiques !<\/p>\n\n\n\n

Si tu rencontres encore des difficult\u00e9s avec ces \u00e9quations complexes, ne te laisse pas d\u00e9courager : des cours de<\/strong> soutien scolaire en alg\u00e8bre<\/strong><\/a> peuvent te guider et te permettre de les ma\u00eetriser rapidement. \ud83d\udee3\ufe0f<\/p>\n\n\n\n

Conseils m\u00e9thodologiques pour r\u00e9soudre une \u00e9quation diophantienne<\/h2>\n\n\n\n
<\/div>\n\n\n\n\nOn souhaite r\u00e9soudre l’\u00e9quation \"(E)ax+by = c\" d’inconnues \"x\in\mathbb{Z}\" et \"y\in\mathbb{Z}\", o\u00f9 \"a\", \"b\" et \"c\" des entiers relatifs donn\u00e9s.\n
  • On commence par calculer \"a \wedge b\". Si \"c\" n’est pas divisible par \"a \wedge b\", alors l’\u00e9quation n’admet pas de solution. <\/li>\n
  • On pose \"a' = \frac{a}{a \wedge {b'}} , b' = \frac{b}{a \wedge {b}}\" et \"c' = \frac{c}{a \wedge {b}}\". On divise tous les membres de l’\u00e9quation (\"E\") par \"a \wedge b\". On est alors amen\u00e9s \u00e0 r\u00e9soudre <\/li>\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n

  • On trouve une solution particuli\u00e8re de l’\u00e9quation \"(E')\" en d\u00e9terminant la relation de B\u00e9zout entre \"a'\" et \"b'\". On obtient \"(u,v)\in\mathbb{Z}^2\" tel que \"a'u + b'v = 1\". On multiplie cette relation par \"c'\" pour obtenir la solution particuli\u00e8re \"(c'u, c'v)\" de \"(E')\" :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p> <\/li>\n
    \n

  • On remarque alors, en soustrayant terme \u00e0 terme les relations \"(E')\" et \"(E'')\", que le couple \"(x-c'u, y-c'v)\" v\u00e9rifie :\n
    \n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n
    \nEn utilisant le th\u00e9or\u00e8me de Gauss, comme \"a' \wedge {b'} = 1\", on en d\u00e9duit que \"b'\" divise \"x-c'u\", soit :\n
    \n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n
    \nOn trouve \"y\" en fonction de \"k\" en substituant dans la relation pr\u00e9c\u00e9dente.<\/li>\n\n\n\n

    Application de la m\u00e9thode<\/h2>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n\nR\u00e9soudre dans \"\mathbb{Z}^2\" l’\u00e9quation \"60y - 32y = 12\".\n
  • En appliquant l’algorithme d’Euclide, on peut montrer que \"60 \wedge 32 = 4\". 12 est divisible par 4 donc, donc l’\u00e9quation admet des solutions. <\/li>\n
  • On divise l’\u00e9quation par 4. On va donc r\u00e9soudre \"15x-8y = 3\" o\u00f9 \"15 \wedge 8 = 1\". <\/li>\n
  • On cherche une solution particuli\u00e8re de \"15x - 8y = 3\". Comme \"15 \wedge 8 =1\", il existe \"(u,v)\in\mathbb{Z}^2\" tel que \"15u + 8v = 1\". On va d\u00e9terminer les coefficients de B\u00e9zout \"u\" et \"v\" :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[ <\/p>\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n
    Finalement, on a : \n

      <\/span>   <\/span>\"\[ <\/p>\n
    Une solution particuli\u00e8re de l’\u00e9quation modifi\u00e9e est \"(-3,-6)\".<\/li>\n

  • On a :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\n
    Donc 15 divise le produit \"-8(y+6)\", mais \"15 \wedge 8 = 1\", d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Gauss, 15 divise \"y+6\". On en d\u00e9duit qu’il existe \"k \in\mathbb{Z}\" tel que \"y+6 = 15k \Longleftrightarrow y=15k-6\". De plus :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p><\/li>\n
    Finalement, les solutions de l’\u00e9quation sont les couples \"(-8k-3, 15k-6)\" avec \"k \in\mathbb{Z}\".\n\n\n\n

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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    \n
    <\/div>\n\n\n\n

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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    \n Tu as aim\u00e9 cet article ?<\/span>\n <\/div>\n <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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