{"id":234227,"date":"2022-07-04T17:19:07","date_gmt":"2022-07-04T15:19:07","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=234227"},"modified":"2025-09-29T11:38:57","modified_gmt":"2025-09-29T09:38:57","slug":"derivee-dune-fonction","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/derivee-dune-fonction\/","title":{"rendered":"La d\u00e9riv\u00e9e d’une fonction"},"content":{"rendered":"\n

Vous \u00e9tudiez actuellement la d\u00e9riv\u00e9e d’une fonction<\/strong> ? Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours de math\u00e9matiques d\u00e9di\u00e9 \u00e0 la d\u00e9riv\u00e9e d’une fonction<\/strong>, vous allez pouvoir sereinement calculer les d\u00e9riv\u00e9es d’une fonction<\/strong> quelconque gr\u00e2ce \u00e0 des m\u00e9thodologies compl\u00e8tes !<\/p>\n

Pour approfondir encore plus, ma\u00eetrise la d\u00e9rivation et ses subtilit\u00e9s avec des cours de soutien en math\u00e9matiques<\/strong><\/a> et excelle dans le calcul des d\u00e9riv\u00e9es de fonction. \ud83d\udcda<\/p>\n\n\n\n\n\n

Fonction d\u00e9riv\u00e9e<\/h2>\n\n\n\n

D\u00e9finition : D\u00e9riv\u00e9e d’une fonction<\/h3>\n\n\n\n

<\/p>\nSoit \"f:I\to \R\" une fonction.\n

  • On dit que \"f\" est d\u00e9rivable sur \"I\" lorsque \"f\" est d\u00e9rivable en tout point \"a\" de \"I\". <\/li>\n
  • Dans ce cas, la fonction d\u00e9riv\u00e9e de \"f\" est l’application not\u00e9e \"f'\" et d\u00e9finie par : <\/li>\n\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}[t]{lll}<\/p>\n\n

  • On note \"\mathcal{D}(I,\mathbb{R})\" l’ensemble des fonctions d\u00e9rivables sur \"I\" et \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\". <\/li>\n\n\n\n

    Exemples<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • Soit \"c\in\mathbb{R}\" et \"f\" la fonction constante \u00e9gale \u00e0 \"c\". La fonction \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et sa fonction d\u00e9riv\u00e9e est la fonction nulle. <\/li>\n
  • Soit \"n\in\mathbb{N}^*\" et \"f:x\mapsto x^n\". La fonction \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et, pour tout \"x\in\mathbb{R}\", \"f'(x)=nx^{n-1}\". <\/li>\n
  • Soit \"f:x\mapsto \dfrac{1}{x}\". La fonction \"f\" est d\u00e9rivable en tout point de \"\mathbb{R}^*\" et, pour tout \"x\in\mathbb{R}^*\", \"f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\". <\/li>\n
  • Soit \"f:x\mapsto \sqrt{x}\". La fonction \"f\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}_+^*\" et, pour tout \"x\in\mathbb{R}_+^*\", \"f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\". <\/li>\n
  • Les fonction exp,ln ,ch , sh, cos, sin, tan sont d\u00e9rivables sur leurs ensembles de d\u00e9finition. <\/li>\n\n\n\n

    Calculs de d\u00e9riv\u00e9es<\/h2>\n\n\n\n

    Th\u00e9or\u00e8me<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"f:I\to \mathbb{R}\" et \"g:I\to\mathbb{R}\" deux fonctions et \"a\in I\". On suppose que \"f\" et \"g\" sont d\u00e9rivables en \"a\".\nAlors,
    \n

  • pour tout \"(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\", la fonction \"\lambda.f+\mu.g\" est d\u00e9rivable en \"a\" et : <\/li>\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(\lambda.f+\mu.g)'(a)=\lambda f'(a)+\mu g'(a).\]\"<\/p>\n

  • la fonction \"fg\" est d\u00e9rivable en \"a\" et : <\/li>\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).\]\"<\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\". Pour tout \"x\in I\setminus\{a\}\", on a :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\frac{(\lambda.f+\mu.g)(x)-(\lambda.f+\mu.g)(a)}{x-a} = \lambda\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\mu\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \xrightarrow[x\to a]{}\lambda f'(a)+\mu g'(a).\]\"<\/p>\nDonc, \"\lambda.f+\mu.g\" est d\u00e9rivable en \"a\" et \"(\lambda.f+\mu.g)'(a)=\lambda f'(a)+\mu g'(a)\".\n\nDe plus, pour tout \"x\in I\setminus\{a\}\", on a :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}=f(x)\frac{g(x)-g(a)}{x-a}+g(a)\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]\"<\/p>\nOr, \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\", donc \"f\" est continue en \"a\". D’o\u00f9, par op\u00e9rations sur les limites,\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}\xrightarrow[x\to a]{} f(a)g'(a)+g(a)f'(a).\]\"<\/p>\nDonc, \"fg\" est d\u00e9rivable en \"a\" et \"(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).\"\n\n\n\n

    Remarque<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nPlus g\u00e9n\u00e9ralement, si \"f_1:I\to\mathbb{R}\", \"f_2:I\to\mathbb{R}\", … , \"f_N:I\to\mathbb{R}\" sont d\u00e9rivables en \"a\in I\", alors, pour tout \"(\lambda_1,\dots,\lambda_N)\in\mathbb{R}^N\", la fonction \"\lambda.f_1+\lambda_2.f_2+\dots+\lambda_N.f_N\" est d\u00e9rivable en \"a\" et :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(\lambda.f_1+\lambda_2.f_2+\dots+\lambda_N.f_N)'(a)=\lambda.f_1'(a)+\lambda_2.f_2'(a)+\dots+\lambda_N.f_N'(a).\]\"<\/p>\nAutrement dit, toute combinaison lin\u00e9aire de fonctions d\u00e9rivables en \"a\" est d\u00e9rivable en \"a\".\n\n\n\n

    Corollaire <\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"f:I\to \mathbb{R}\" et \"g:I\to\mathbb{R}\" deux fonctions. On suppose que \"f\" et \"g\" sont d\u00e9rivables sur \"I\".\nAlors,\n

  • pour tout \"(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\", la fonction \"\lambda.f+\mu.g\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et : <\/li>\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(\lambda.f+\mu.g)'=\lambda.f'+\mu.g'.\]\"<\/p>\n

  • la fonction \"fg\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et : <\/li>\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(fg)'=f'g+fg'.\]\"<\/p>\n\n\n\n

    Remarque<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nToute combinaison lin\u00e9aire de fonctions d\u00e9rivables sur \"I\" sont d\u00e9rivables sur \"I\".\n\n\n\n

    Corollaire<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nUne fonction polynomiale est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et sa d\u00e9riv\u00e9e est encore une fonction polynomiale.\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nPour tout \"n\in\mathbb{N}\", les fonctions \"x\mapsto x^n\" sont d\u00e9rivables sur \"\mathbb{R}\".\n\n\n\n

    Th\u00e9or\u00e8me<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"f:I\to \mathbb{R}\" et \"g:J\to\mathbb{R}\" deux fonctions, o\u00f9 \"J\" est un intervalle de \"\mathbb{R}\" v\u00e9rifiant \"f(I)\subset J\".\n\nSi \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\" et \"g\" est d\u00e9rivable en \"f(a)\", alors \"g\circ f\" est d\u00e9rivable en \"a\" et :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(g\circ f)'(a)=g'\big(f(a)\big) f'(a).\]\"<\/p>\n\n\n\n

    D\u00e9monstration<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\nOn sait que \"g\" est d\u00e9rivable en \"f(a)\", donc il existe \"\varepsilon_g:\{y-f(a),\;y\in J\}\to\mathbb{R}\" tel que, pour tout \"x\in I\",\n

      <\/span>   <\/span>\"\[g(f(x))=g(f(a)) + g'(f(a)) \big(f(x)-f(a)\big)+\big(f(x)-f(a)\big)\varepsilon_g\big(f(x)-f(a)\big).\]\"<\/p>\nDonc, pour tout \"x\in I\setminus\{a\}\",\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} = g'(f(a)) \frac{f(x)-f(a)}{x-a} + \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\varepsilon_g\big(f(x)-f(a)\big).\]\"<\/p>\nOr, \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\", donc \"\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\xrightarrow[x\to a]{}f'(a)\". De plus, \"f\" est continue en \"a\", donc,
    \n\"f(x)-f(a)\xrightarrow[x\to a]{}0\"
    \nPar composition des limites, \"\varepsilon_g\big(f(x)-f(a)\big)\xrightarrow[x\to a]{}0\".
    \n\nDonc, par op\u00e9rations sur les limites, \"\dfrac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} \xrightarrow[x\to a]{} g'(f(a)) f'(a)\".\n\n\n\n

    Corollaire<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"f:I\to \mathbb{R}\" et \"g:J\to\mathbb{R}\" deux fonctions, o\u00f9 \"J\" est un intervalle de \"\mathbb{R}\" v\u00e9rifiant \"f(I)\subset J\".\n\nSi \"f\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et \"g\" est d\u00e9rivable sur \"J\", alors \"g\circ f\" est d\u00e9rivable en \"I\" et :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(g\circ f)'=(g'\circ f) \times f'.\]\"<\/p>\n\n\n\n

    Exemples<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"f\" une fonction d\u00e9rivable sur \"I\"\n

  • La fonction \"\e^f:x\mapsto \exp(f(x))\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et : <\/li>\n\"(\e^f)'=f' \e^f.\"\n
  • Si \"f\" ne s’annule pas sur \"I\", alors la fonction \"\ln(|f|):x\mapsto \ln(|f(x)|)\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et : <\/li>\n\"\big(\ln(|f|)\big)'=\dfrac{f'}{f}.\"\n
  • La fonction \"\cos(f):x\mapsto \cos(f(x))\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et : <\/li>\n\"\cos(f)'=-f'\sin(f).\"\n
  • La fonction \"\sin(f):x\mapsto \sin(f(x))\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et : <\/li>\n\"\sin(f)'=f'\cos(f).\"\n
  • La fonction \"\cos(f):x\mapsto ch(f(x))\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et : <\/li>\n\"ch(f)'=f'sh(f).\"\n
  • La fonction \"\cos(f):x\mapsto sh(f(x))\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et : <\/li>\n\"sh(f)'=f'ch(f).\"\n
  • Si la fonction \"f\" est \u00e0 valeurs strictement positives et \"\alpha\in\mathbb{R}\", alors la fonction \"f^\alpha : x\mapsto \big(f(x)\big)^\alpha\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et : \n\"(f^\alpha)'=\alpha f'f^{\alpha-1}.\" <\/li>\n\n\n\n

    Corollaire <\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"f:I\to \mathbb{R}\" une fonction et \"a\in I\".
    \n\nOn suppose que \"f\" est d\u00e9rivable en \"a\". On a :\n

  • pour tout \"n\in\mathbb{N}^*\",

      <\/span>   <\/span>\"\[f^n=\underbrace{f\times f \ldots\times f}_{n\ \mathrm{fois}}\]\"<\/p> est d\u00e9rivable en \"a\" et :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(f^n)'(a)=n f'(a) f^{n-1}(a).\]\"<\/p> <\/li>\n

  • pour tout \"n\in\mathbb{Z}_-^*\", si \"f(a)\neq 0\", alors \"f^n=\dfrac{1}{f^{-n}}\" est d\u00e9rivable en \"a\" et :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(f^n)'(a)=n f'(a) f^{n-1}(a).\]\"<\/p> <\/li>\n\n\n\n

    Corollaire <\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoit \"f:I\to \mathbb{R}\" une fonction.
    \nOn suppose que \"f\" est d\u00e9rivable sur \"I\". On a :\n

  • pour tout \"n\in\mathbb{N}^*\",

      <\/span>   <\/span>\"\[f^n=\underbrace{f\times f \ldots\times f}_{n\ \mathrm{fois}}\]\"<\/p> est d\u00e9rivable sur \"I\" et :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(f^n)'=n f' f^{n-1}.\]\"<\/p> <\/li>\n

  • pour tout \"n\in\mathbb{Z}_-^*\", si \"f\" ne s’annule pas sur \"I\", alors \"f^n=\dfrac{1}{f^{-n}}\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[(f^n)'=n f' f^{n-1}.\]\"<\/p> <\/li>\n\n\n\n

    Th\u00e9or\u00e8me<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"f:I\to \mathbb{R}\" et \"g:I\to\mathbb{R}\" deux fonctions et \"a\in I\". On suppose que \"f\" et \"g\" sont d\u00e9rivables en \"a\".\nSi \"g(a)\neq 0\", alors \"\dfrac{f}{g}\" est d\u00e9rivable en \"a\" et \n

      <\/span>   <\/span>\"\[\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{\big(g(a)\big)^2}\]\"<\/p>\n\n\n\n

    Corollaire<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\nSoient \"f:I\to \mathbb{R}\" et \"g:I\to\mathbb{R}\" deux fonctions et \"a\in I\". On suppose que \"f\" et \"g\" sont d\u00e9rivables sur \"I\".\n\nSi \"g\" ne s’annule pas sur \"I\", alors \"\dfrac{f}{g}\" est d\u00e9rivable sur \"I\" et :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.\]\"<\/p>\n\n\n\n

    Exemples<\/h4>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • Soit \"k\in\mathbb{Z}\". La fonction \"\tan = \dfrac{\sin}{\cos}\" est d\u00e9rivable sur \"\displaystyle\left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[\" et sa d\u00e9riv\u00e9e est \"\tan'=\dfrac{1}{\cos^2}=1+\tan^2\". <\/li>\n
  • La fonction \"th =\dfrac{sh}{ch}\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et sa d\u00e9riv\u00e9e est \"th'=\dfrac{1}{ch^2}=1-th^2\". <\/li>\n\n\n\n

    Corollaire<\/h4>\n\n\n\n

    Une fonction rationnelle sur tout intervalle o\u00f9 son d\u00e9nominateur ne s’annule pas et sa d\u00e9riv\u00e9e est encore une fonction rationnelle.<\/p>\n

    \u00c9l\u00e8ve tes comp\u00e9tences en math\u00e9matiques \u00e0 un niveau sup\u00e9rieur gr\u00e2ce \u00e0 des cours de soutien en visio<\/strong><\/a>\u00a0sp\u00e9cialis\u00e9s sur la d\u00e9riv\u00e9e d’une fonction. \ud83d\ude80<\/span><\/p>\n\n\n\n

    \n
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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    \n
    <\/div>\n\n\n\n

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

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