{"id":233968,"date":"2022-06-28T17:19:00","date_gmt":"2022-06-28T15:19:00","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=233968"},"modified":"2025-09-29T11:18:51","modified_gmt":"2025-09-29T09:18:51","slug":"equation-differentielle-du-premier-ordre","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/equation-differentielle-du-premier-ordre\/","title":{"rendered":"Comment r\u00e9soudre une \u00e9quation diff\u00e9rentielle du premier ordre ?"},"content":{"rendered":"\n

Vous cherchez \u00e0 r\u00e9soudre une \u00e9quation diff\u00e9rentielle du premier ordre<\/strong> ? Rassurez-vous, vous \u00eates au bon endroit ! Gr\u00e2ce \u00e0 ce cours d\u00e9di\u00e9 \u00e0 la r\u00e9solution d’\u00e9quation diff\u00e9rentielle du premier ordre<\/strong>, vous profitez de conseils m\u00e9thodologiques de pointe pour faire face \u00e0 ce type d’exercices.<\/p>\n

Et si tu te sens toujours perdu avec ces \u00e9quations, nos cours de soutien en math\u00e9matiques<\/strong><\/a>\u00a0sont l\u00e0 pour \u00eatre ta bou\u00e9e de sauvetage dans cette mer complexe de fonctions ! \ud83c\udf0a<\/p>\n\n\n\n

M\u00e9thode 1 : R\u00e9soudre une \u00e9quation diff\u00e9rentielle du premier degr\u00e9.<\/h2>\n\n\n\n

<\/p>\nR\u00e9soudre l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle sur \"\mathbb{R}_+^*\" :\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(E)\;\;t(1+\ln(t)^2)y'+2\ln(t)y=1.\]\"<\/p>\n\n\n\n

Conseils m\u00e9thodologiques<\/h4>\n\n\n\n

<\/p>\nOn souhaite r\u00e9soudre l’\u00e9quation

  <\/span>   <\/span>\"\[(E)\;\;\;\;\forall t\in I,\; a(t)y'+b(t)y=c(t),\]\"<\/p>\navec \"a\", \"b\" et \"c\", 3 fonctions continues sur un intervalle \"I\" de \"\mathbb{R}\" et \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\".\n\n\n

  • On normalise l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle, quitte \u00e0 d\u00e9couper l’intervalle \"I\". On est amen\u00e9 \u00e0 r\u00e9soudre

      <\/span>   <\/span>\"\[(E_1)\;\;\;\;\forall t\in I,\; y'+a_1(t)y=b_1(t).\]\"<\/p> <\/li>\n\n

  • On d\u00e9termine une primitive de \"a_1\" pour trouver l’ensemble des solutions \u00e0 l’\u00e9quation homog\u00e8ne associ\u00e9e \u00e0 \"(E_1)\". <\/li>\n
  • On cherche une solution particuli\u00e8re de \"(E_1)\", pour cela plusieurs solutions : <\/li>\n – une solution simple et \u00e9vidente fonctionne;
    \n – le second membre est de la forme \"P(t)e^{\lambda t}\" o\u00f9 \"P\" est une fonction polynomiale;
    \n – on utilise la m\u00e9thode de la variation de la constante.
    \nSi le second membre est sous la forme d’une somme de fonction, on pourra utiliser le principe de superposition.\n
  • On trouve l’ensemble des solutions de \"(E)\". <\/li>\n\n\n\n

    Application de la m\u00e9thode<\/h3>\n\n\n\n

    <\/p>\n

  • On normalise l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle :

      <\/span>   <\/span>\"\[(E_1)\;\;\;\;\forall t\in I,\; y'+\dfrac{2\ln(t)}{t(1+\ln(t)^2)}y=\dfrac{1}{t(1+\ln(t)^2)}.\]\"<\/p> <\/li>\n

  • On d\u00e9termine une primitive de \"t\mapsto \dfrac{2\ln(t)}{t(1+\ln(t)^2)}\".<\/li>
    \nCette fonction est sous la forme \"\dfrac{u'}{u}\" avec \"u:t\mapsto 1+\ln(t)^2\". Une primitive de cette fonction est \"\displaystyle t\mapsto \ln\left(1+\ln(t)^2\right)\".\n
  • Les solutions de l’\u00e9quation homog\u00e8ne sont les fonctions \"t\longmapsto Ce^{-\ln\left(1+\ln(t)^2\right)}=\dfrac{C}{1+\ln(t)^2}\" avec \"C\in \mathbb{R}\". <\/li>\n
  • On cherche une solution particuli\u00e8re de \"(E_1)\", on va utiliser la m\u00e9thode de la variation de la constante. <\/li>
    \nOn cherche une solution particuli\u00e8re de \"(E_1)\" sous la forme \"y_1: t\longmapsto \dfrac{C(t)}{1+\ln(t)^2}\" o\u00f9 \"C\" est une fonction d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}_+^*\". On a alors :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\forall t\in I,\; C'(t)=\dfrac{1}{t}.\]\"<\/p>\nOn en d\u00e9duit que \"C:t\longmapsto \ln(t)\". On obtient la solution particuli\u00e8re suivante : \"t\mapsto \dfrac{\ln(t)}{1+\ln(t)^2}\".\n

  • L’ensemble des solutions de \"(E)\" est :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\mathcal{S}=\left\{t\mapsto \dfrac{C+\ln(t)}{1+\ln(t)^2},\; C\in\mathbb{R}\right\} .\]\"<\/p> <\/li>\n\n\n\n

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    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

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    \n Tu as aim\u00e9 cet article ?<\/span>\n <\/div>\n <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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