{"id":233885,"date":"2022-07-04T17:20:02","date_gmt":"2022-07-04T15:20:02","guid":{"rendered":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/?p=233885"},"modified":"2025-09-29T11:36:51","modified_gmt":"2025-09-29T09:36:51","slug":"loi-de-composition-interne","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/loi-de-composition-interne\/","title":{"rendered":"Cours sur la loi de composition interne"},"content":{"rendered":"\n

Tu cherches un cours sur la loi de composition interne<\/strong> ? C’est ici ! Tu trouveras toutes les d\u00e9finitions indispensables pour ma\u00eetriser cette notion de math\u00e9matiques et briller lors de ta prochaine interro de cours !<\/p>\n\n\n\n

Et si tu veux pousser ton apprentissage encore plus loin, pourquoi ne pas transformer l’\u00e9tude des lois associatives et commutatives en une exp\u00e9rience enrichissante ? Fais-le avec l’aide d’un prof particulier d’alg\u00e8bre<\/a>. \ud83e\uddee<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9finition : Loi de composition interne<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nOn appelle loi de composition interne toute application \"\varphi : E \times E \rightarrow E\".\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n\nSi \"(x,y)\in\mathbb{E}^2\", plut\u00f4t qu’utiliser la notation \"\varphi (x,y)\", nous utiliserons la notation \"x\star _E y\".\n\n\n\n

Exemples :<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n

  • L’addition et la multiplication sont des lois de composition interne sur \"\mathbb{Z}\", \"\mathbb{Q}\", \"\mathbb{R}\" et \"\mathbb{C}\".<\/li>\n
  • La loi \"\star\" d\u00e9finie sur \"\mathbb{N}^2\" par \"a \star b = a^b\" est une loi de composition interne sur \"\mathbb{N}\". <\/li>\n
  • La soustraction est une loi de composition interne sur \"\mathbb{Z}\", mais pas sur \"\mathbb{N}\". <\/li>\n
  • Si \"E\" est un ensemble, les op\u00e9rations \"\cap\" et \"\cup\" sont des lois de composition internes sur \"\mathcal{P}(E)\". <\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9finition :<\/strong> Associativit\u00e9 et commutativit\u00e9 d’une loi de composition interne<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"E\" un ensemble muni d’une loi de composition interne \"\star _E\".\n

  • La loi \"\star _E\" est associative si :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p>\nLorsque la loi \"\star_E\" est associative, on peut \u00e9crire plus simplement \"x\star_E y\star_E z\" car l’ordre dans lequel sont faites les op\u00e9rations n’importe pas.<\/li>\n

  • La loi \"\star _E\" est commutative si :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p><\/li>\n

  • La loi \"\star _E\" admet un \u00e9l\u00e9ment neutre \"e\" si :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p><\/li>\n

  • On suppose ici que \"\star _E\" admet un \u00e9l\u00e9ment neutre \"e\". Soit \"x \in E\". S’il existe \"x \in E\" tel que \"x\star _Ey = y\star _Ex = e\" , on dit que \"x\" est inversible et que son inverse est \"y\".<\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9finition : Distributivit\u00e9<\/strong> d’une loi de composition interne<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"E\" un ensemble muni de deux lois de composition internes not\u00e9es \"\star_1\" et \"\star_2\". On dit que :\n

  • \"\star_1\" est distributive sur \"\star_2\" \u00e0 gauche si :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p><\/li>\n

  • \"\star_1\" est distributive sur \"\star_2\" \u00e0 droite si :\n

      <\/span>   <\/span>\"\[<\/p><\/li>\n\n\n\n

    D\u00e9finition : Partie stable<\/strong><\/p>\n\n\n\n\nSoit \"E\" un ensemble muni d’une loi de composition interne \"\star_E\". Soit \"F\" une partie non vide de \"E\". On dit que \"F\" est stable pour \"\star_E\" si pour tout \"(x,y) \in E^2\", \"(x,y) \in F^2 \Rightarrow x\star_Ey \in F\".\n\n\n\n

    \n
    \n
    \"livre<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n
    \n
    <\/div>\n\n\n\n

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, m\u00e9thodes, entra\u00eenement et corrig\u00e9s <\/em>(\u00e9ditions Vuibert, juin 2021) <\/em>\u00e9crit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n\u00b09782311408720<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n

    \n \n
    \n \n
    \n
    \n \n\n
    <\/div>\n <\/div>\n
    \n \n\n
    <\/div>\n <\/div>\n
    \n \n\n
    <\/div>\n <\/div>\n
    \n \n\n
    <\/div>\n <\/div>\n
    \n \n\n
    <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n \n
    \n
    \n \n\n
    <\/div>\n <\/div>\n
    \n \n\n
    <\/div>\n <\/div>\n
    \n \n\n
    <\/div>\n <\/div>\n
    \n \n\n
    <\/div>\n <\/div>\n
    \n \n\n
    <\/div>\n <\/div>\n <\/div>\n<\/div>\n \n\n
    \n 3.6\/5 - (5 votes) <\/div>\n <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Tu cherches un cours sur la loi de composition interne ? C\u2019est ici ! Tu trouveras toutes les (…)<\/p>\n","protected":false},"author":158,"featured_media":244615,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":true,"footnotes":""},"category":[803,810],"tag":[78,345],"class_list":["post-233885","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-apprendre-matiere","category-maths","tag-prepa","tag-prepa-scientifique"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/233885","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/158"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=233885"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/233885\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/244615"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=233885"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/category?post=233885"},{"taxonomy":"tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/sherpas.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tag?post=233885"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}